1、第 1 页（共 23 页）26.2 用函数观点看一元二次方程同步练习卷一选择题（共 13 小题）1已知抛物线 yx 2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y 0，则 x 的取值范围是（ ）A1x4 B1x3 Cx1 或 x4 Dx 1 或 x32已知二次函数 ykx 27x7 的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为（ ）Ak Bk 且 k0 Ck Dk 且 k03若函数 yx 22x +b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是（ ）Ab1 且 b0 Bb1 C0b1 Db14已知二次函数 yx 23x +m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于x 的一
2、元二次方程 x23x+m 0 的两实数根是（ ）Ax 11，x 21 Bx 11，x 23 Cx 11，x 22 Dx 11，x 235已知抛物线 y x2+ x+6 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C若 D 为 AB 的中点，则 CD 的长为（ ）A B C D6如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）A B2 C3 D4第 2 页（共 23 页）7若二次函数 yax 2+bx+c（ a0）的图象如图所示，且关于 x 的方程 ax2+bx+ck 有两个不相等的实根，则常数 k 的取
3、值范围是（ ）A0k4 B3k1 Ck3 或 k1 Dk 48二次函数 yx 2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x 2，若关于 x 的一元二次方程x 2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）At5 B5t3 C3t4 D5t49二次函数 ya（x 4） 24（a0）的图象在 2x 3 这一段位于 x 轴的下方，在6x7 这一段位于 x 轴的上方，则 a 的值为（ ）A1 B1 C2 D210二次函数 yax 2+bx+c（ a0）和正比例函数 y x 的图象如图所示，则方程ax2+（b ）x+ c0（a0）的两根之和（ ）A大于 0 B等于 0 C小于
4、0 D不能确定11如图，坐标平面上，二次函数 yx 2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k0若ABC 与ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？（ ）第 3 页（共 23 页）A1 B C D12如图，抛物线 y2x 2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C 2 与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C 2 共有3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）A2m B3m C3m2 D3m 13如图所示，抛物线 yax 2+bx+c 的顶点为 B（1，3
5、） ，与 x 轴的交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，以下结论：b2 4ac0；a+b+ c0 ；2ab0；ca3其中正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4二填空题（共 5 小题）14若函数 y（a1）x 24x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 15若抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A（m ，n） ，B（m+6，n） ，则 n 16若二次函数 y2x 24x 1 的图象与 x 轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，则 +第 4 页（共 23 页）的值为 17如图，抛物线 yx 22x +3 与 x 轴交于点 A、B，把抛物
6、线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 关于点 B 的中心对称得 C2，C 2 与 x 轴交于另一点 C，将 C2 关于点 C 的中心对称得 C3，连接 C1 与 C3 的顶点，则图中阴影部分的面积为 18关于 x 的一元二次方程 ax23x 10 的两个不相等的实数根都在 1 和 0 之间（不包括1 和 0） ，则 a 的取值范围是 三解答题（共 4 小题）19已知关于 x 的一元二次方程：x 2（m 3）xm0（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线 yx 2（m3）xm 与 x 轴交于 A（x 1，0） ，B（x 2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在
7、，求出这个值；若不存在，请说明理由（友情提示：AB|x 2x 1|）20已知抛物线 y（x m） 2（xm） ，其中 m 是常数（1）求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线 x 求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点21如图，抛物线 yx 23x+ 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E（1）求直线 BC 的解析式；（2）当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐
8、标第 5 页（共 23 页）22如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B （3，0） ，于 y 轴交于 C（1）求该抛物线的解析式；（2）若 M 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点，N 是抛物线的顶点，求 MN 的长；（3）若点 P 是抛物线上点，当 SPAB 8 时，求点 P 的坐标第 6 页（共 23 页）参考答案与试题解析一选择题（共 13 小题）1已知抛物线 yx 2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y 0，则 x 的取值范围是（ ）A1x4 B1x3 Cx1 或 x4 Dx 1 或 x3【分析】根据抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴求出它与 x 轴的
9、另一交点坐标，求当y0，x 的取值范围就是求函数图象位于 x 轴的下方的图象相对应的自变量 x 的取值范围【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴交于（1，0） ，对称轴为 x1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（3，0） ，y0 时，函数的图象位于 x 轴的下方，且当1x3 时函数图象位于 x 轴的下方，当1x3 时，y 0故选：B【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目2已知二次函数 ykx 27x7 的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为（ ）Ak Bk 且 k0 Ck Dk 且 k0【分析】ykx 27x 7 的图象与 x 轴无交
10、点，当图象在 x 轴上方时， ，当图象在 x 轴下方时， ，由此能够求出 k 的取值范围【解答】解：ykx 27x 7 的图象与 x 轴无交点，第 7 页（共 23 页）当图象在 x 轴上方时， ， ，解为空集当图象在 x 轴下方时， ， ，k k 的取值范围是 k|k ，故选：C【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与 x 轴无交点的特点进行求解3若函数 yx 22x +b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取值范围是（ ）Ab1 且 b0 Bb1 C0b1 Db1【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与 x 轴有 2 个交
11、点，与 y 轴有一个交点【解答】解：函数 yx 22x +b 的图象与坐标轴有三个交点， ，解得 b1 且 b0故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点该题属于易错题，解题时，往往忽略了抛物线与 y 轴有交点时，b0 这一条件4已知二次函数 yx 23x +m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于x 的一元二次方程 x23x+m 0 的两实数根是（ ）Ax 11，x 21 Bx 11，x 23 Cx 11，x 22 Dx 11，x 23【分析】将点（1，0）代入 yx 23x +m，求出 m，即可确定一元二次方程为x23x+20，即可求解；第 8 页（共 23
12、页）【解答】解：将点（1，0）代入 yx 23x +m，解得 m2，yx 23x+2，x 23x+20 的两个根为 x1，x2；故选：C【点评】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程的解；熟练掌握点与解析式的关系，正确求解一元二次方程是解题的关键5已知抛物线 y x2+ x+6 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C若 D 为 AB 的中点，则 CD 的长为（ ）A B C D【分析】令 y0，则 x2+ x+60，由此得到 A、B 两点坐标，由 D 为 AB 的中点，知 OD 的长，x 0 时，y 6，所以 OC6，根据勾股定理求出 CD 即可【解答】解：令 y0，则 x2+
13、x+60，解得：x 112，x 23A、B 两点坐标分别为（12，0） （3，0）D 为 AB 的中点，D（4.5，0） ，OD4.5，当 x0 时，y6，OC6，CD 故选：D【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出 AB中点 D 的坐标是解决问题的关键6如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）过原点 O，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 B，若AOB 为等边三角形，则 b 的值为（ ）第 9 页（共 23 页）A B2 C3 D4【分析】根据已知求出 B（ ， ） ，由AOB 为等边三角形，得到 tan60（ ） ，即可求解；【解答】解：抛物线 yax 2
14、+bx+c（a0）过原点 O，c0，B（ ， ） ，AOB 为等边三角形， tan60（ ） ，b2 ；故选：B【点评】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键7若二次函数 yax 2+bx+c（ a0）的图象如图所示，且关于 x 的方程 ax2+bx+ck 有两个不相等的实根，则常数 k 的取值范围是（ ）A0k4 B3k1 Ck3 或 k1 Dk 4【分析】根据图象信息确定抛物线的对称轴、与 x 轴的交点，利用待定系数法求出抛物线的解析式，得到关于 x 的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根时，判别式大于 0，求出 k 的取
15、值范围第 10 页（共 23 页）【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为 x1，顶点坐标为（1，4） ，设抛物线的解析式为：ya（x+1） 2+4，把（1，0）代入解析式得，a1，解析式为：yx 22x +3，方程x 22x +3k 有两个不相等的实根，4+124k0，解得：k4故选：D【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和一元二次方程的根的判别式的运用，正确获取图象信息是解题的关键，运用待定系数法时，选择合适的解析式的形式有助于求出解析式8二次函数 yx 2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x 2，若关于 x 的一元二次方程x 2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解
16、，则 t 的取值范围是（ ）At5 B5t3 C3t4 D5t4【分析】如图，关于 x 的一元二次方程x 2+mxt 0 的解就是抛物线 yx 2+mx 与直线 yt 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题【解答】解：如图，关于 x 的一元二次方程x 2+mxt 0 的解就是抛物线 yx 2+mx与直线 yt 的交点的横坐标，当 x1 时，y3，第 11 页（共 23 页）当 x5 时，y5，由图象可知关于 x 的一元二次方程x 2+mxt 0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，直线 yt 在直线 y5 和直线 y4 之间包括直线 y4，5t4故选：D【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点
17、、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题9二次函数 ya（x 4） 24（a0）的图象在 2x 3 这一段位于 x 轴的下方，在6x7 这一段位于 x 轴的上方，则 a 的值为（ ）A1 B1 C2 D2【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x4，利用抛物线对称性得到抛物线在1x2 这一段位于 x 轴的上方，而抛物线在 2x 3 这一段位于 x 轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0） ，然后把（2，0）代入 ya（x4） 24（a0）可求出 a 的值【解答】解：抛物线 ya（x4） 24（a0）的对称轴为直线 x4，而抛物
18、线在 6x7 这一段位于 x 轴的上方，抛物线在 1x2 这一段位于 x 轴的上方，抛物线在 2x3 这一段位于 x 轴的下方，抛物线过点（2，0） ，把（2，0）代入 ya（x 4） 24（a0）得 4a40，解得 a1故选：A【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标，令 y0，即 ax2+bx+c0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0时，
19、抛物线与 x 轴没有交点10二次函数 yax 2+bx+c（ a0）和正比例函数 y x 的图象如图所示，则方程ax2+（b ）x+ c0（a0）的两根之和（ ）第 12 页（共 23 页）A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定【分析】设 ax2+bx+c0（a0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知x1+x20，a 0，设方程 ax2+（b ）x +c0（a0）的两根为 m，n 再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设 ax2+bx+c0（a0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知 x1+x20，a0， 0设方程 ax2+（b ）x +c0（a0）的两根为 m，
20、n，则 m+n + ，a0， 0，m+ n 0故选：A【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键11如图，坐标平面上，二次函数 yx 2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k0若ABC 与ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？（ ）A1 B C D【分析】求出顶点和 C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于 k 的方程，解方程即可第 13 页（共 23 页）【解答】解：yx 2+4x k（x2） 2+4k，顶点 D（2，4k） ，C （0，k） ，OCk，ABC 的面积 A
21、BOC ABk，ABD 的面积 AB（4k） ，ABC 与ABD的面积比为 1：4，k （4k） ，解得：k 故选：D【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键12如图，抛物线 y2x 2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C 2 与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C 2 共有3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）A2m B3m C3m2 D3m 【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2 解析式，分别求出直线 yx+m 与抛
22、物线 C2 相切时 m 的值以及直线 yx+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案【解答】解：令 y2x 2+8x60，即 x24x+30 ，解得 x1 或 3，则点 A（1，0） ，B（3，0） ，由于将 C1 向右平移 2 个长度单位得 C2，则 C2 解析式为 y2（x4） 2+2（3x5） ，当 yx+m 1 与 C2 相切时，令 yx+m 1y2（x 4） 2+2，第 14 页（共 23 页）即 2x215x+30+m 10，8m 1150，解得 m1 ，当 yx+m 2 过点 B 时，即 03+m 2，m23，当3m 时直线 yx+m 与 C1、C 2 共有 3 个不同的
23、交点，故选：D【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度13如图所示，抛物线 yax 2+bx+c 的顶点为 B（1，3） ，与 x 轴的交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，以下结论：b2 4ac0；a+b+ c0 ；2ab0；ca3其中正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点，第 15 页（共 23 页）0，b 24ac0，故 错误；由于对称轴为 x1，x3 与 x1 关于 x 1 对称，x3 时，y 0，x1
24、时，ya+b+ c0，故错误；对称轴为 x 1，2ab0，故正确；顶点为 B（1，3） ，yab+c 3，ya2a+c 3，即 ca3，故 正确；故选：B【点评】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型二填空题（共 5 小题）14若函数 y（a1）x 24x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 1 或2 或 1 【分析】直接利用抛物线与 x 轴相交，b 24ac0，进而解方程得出答案【解答】解：函数 y（a1）x 24x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b 24ac164（a1）2a0，解得：a 1
25、1，a 22，当函数为一次函数时，a10，解得：a1故答案为：1 或 2 或 1【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确得出关于 a 的方程是解题关键15若抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A（m ，n） ，B（m+6，n） ，则 n 9 【分析】因为这个抛物线过点 A（m ，n） ，B（m +6，n） ，可以直接看出对称轴xm+3，故设抛物线解析式为 y（xm3） 2，直接将 A（m，n）代入，所以第 16 页（共 23 页）n3【解答】解：抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A（m ，n） ，B（m+6，n） ，该抛物线的对称轴是
26、：xm +3，设抛物线解析式为 y（x m 3） 2，把 A（m，n）代入，得n（mm3） 2，解得 n9故答案是：9【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c0 根之间的关系b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点16若二次函数 y2x 24x 1 的图象与 x 轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，则 +的值为 4 【分析】设 y0，则
27、对应一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出 + 的值【解答】解：设 y0，则 2x24x 10，一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标，即 x1，x 2，x 1+x2 2，x 1，x 2 ， + 4，故答案为：4【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键第 17 页（共 23 页）17如图，抛物线 yx 22x +3 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 关于点 B 的中心对称得 C2，C 2 与 x 轴交于另一点 C，将 C2
28、 关于点 C 的中心对称得 C3，连接 C1 与 C3 的顶点，则图中阴影部分的面积为 32 【分析】将 x 轴下方的阴影部分沿对称轴分成两部分补到 x 轴上方，即可将不规则图形转换为规则的长方形，则可求出【解答】解：抛物线 yx 22x +3 与 x 轴交于点 A、B，当 y0 时，则x 22x +30，解得 x3 或 x1，则 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （1，0） ，AB 的长度为 4，从 C1，C 3 两个部分顶点分别向下作垂线交 x 轴于 E、F 两点根据中心对称的性质，x 轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到 C1 与 C2如图所示，阴影部分转化为矩形根据对称性，可得
29、BECF422，则 EF8利用配方法可得 yx 22x+3（x+1） 2+4则顶点坐标为（1，4） ，即阴影部分的高为 4，S 阴 8432【点评】本题考查了中心对称的性质、配方法求抛物线的顶点坐标及求抛物线与 x 轴交点坐标，解题关键是将不规则图形通过对称转换为规则图形，求阴影面积经常要使用转化的数学思想18关于 x 的一元二次方程 ax23x 10 的两个不相等的实数根都在 1 和 0 之间（不包第 18 页（共 23 页）括1 和 0） ，则 a 的取值范围是 a2 【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得 a 的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在1 和 0 之间（不包括1 和
30、 0） ，结合函数图象确定其函数值的取值范围得 a，易得 a 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax23x 10 的两个不相等的实数根（3） 24a（1）0，解得：a设 f（x）ax 23x1，如图，实数根都在1 和 0 之间，1 ，a ，且有 f（1）0，f（0）0，即 f（1）a（1） 2 3（1）10，f （0） 10，解得：a2， a2，故答案为： a2【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与 x 轴的交点，数形结合确定当 x0 和当 x1 时函数值的取值范围是解答此题的关键三解答题（共 4 小题）19已知关于 x 的一元二次方程：x 2（m 3）xm0
31、（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线 yx 2（m3）xm 与 x 轴交于 A（x 1，0） ，B（x 2，0）两点，则第 19 页（共 23 页）A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由（友情提示：AB|x 2x 1|）【分析】 （1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得 A、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案【解答】解：（1）（ m3） 24（m）m 2 2m+9（m1） 2+8，（m1） 20，（m1） 2+80，原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知 x1，x 2 是原方程的两根，x 1+x2m3，x 1
32、x2mAB|x 1x 2|，AB 2（x 1x 2） 2（x 1+x2） 24x 1x2（m3） 24（m）（m1） 2+8，当 m1 时，AB 2 有最小值 8，AB 有最小值，即 AB 2【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质20已知抛物线 y（x m） 2（xm） ，其中 m 是常数（1）求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线 x 求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共
33、点【分析】 （1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算的值，得到10，于是根据b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数即可判断不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；（2） 根据对称轴方程得到 ，然后解出 m 的值即可得到抛物线解析第 20 页（共 23 页）式；根据抛物线的平移规律，设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 yx 25 x+6+k，再利用抛物线与 x 轴的只有一个交点得到5 24（6+k）0，然后解关于 k 的方程即可【解答】 （1）证明：y（x m ） 2（xm）x 2（2m+1）x+m 2+m
34、，（2m+1） 24（m 2+m）10，不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点；（2）解： x ，m2，抛物线解析式为 yx 25x+6；设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 yx 25x +6+k，抛物线 yx 25x +6+k 与 x 轴只有一个公共点，5 24（6+k）0，k ，即把该抛物线沿 y 轴向上平移 个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标，令 y0，即 ax2+b
35、x+c0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0时，抛物线与 x 轴没有交点21如图，抛物线 yx 23x+ 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E（1）求直线 BC 的解析式；（2）当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标第 21 页（共 23 页）【分析】 （1）利用坐标轴上点的特点求出 A、B、C 点的坐
36、标，再用待定系数法求得直线 BC 的解析式；（2）设点 D 的横坐标为 m，则纵坐标为（m， ） ，E 点的坐标为（m，） ，可得两点间的距离为 d ，利用二次函数的最值可得 m，可得点D 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yx 23x + 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点C，令 y0，可得 x 或 x ，A（ ，0） ，B（ ，0） ；令 x0，则 y ，C 点坐标为（0， ） ，设直线 BC 的解析式为：y kx+ b，则有，解得： ，直线 BC 的解析式为：y x ；（2）设点 D 的横坐标为 m，则坐标为（m， ） ，第 22 页（共 23 页）E 点的坐标为（m， m
37、 ） ，设 DE 的长度为 d，点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，则 d m+ （m 23m+ ） ，整理得，dm 2+ m，a10，当 m 时，d 最大 ，D 点的坐标为（ ， ） 【点评】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出 D 的坐标，利用二次函数最值得 D 点坐标是解答此题的关键22如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B （3，0） ，于 y 轴交于 C（1）求该抛物线的解析式；（2）若 M 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点，N 是抛物线的顶点，求 MN 的长；（3）若点 P 是抛物线上点，当 SPAB 8 时，求点 P 的
38、坐标【分析】 （1）把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数 b、c 的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）结合抛物线的解析式得到点 C、N 的坐标，利用 B、 C 的坐标可以求得直线 BC 的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；（3）根据 P 点在抛物线上设出 P 点，然后再由 SPAB 8，从而求出 P 点坐标【解答】解：（1）如图 1，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（1，0） ，B（3，0） ，第 23 页（共 23 页） ，解得 ，所求抛物线的解析式为：yx 22x 3；（2）由（1）知，该抛物线的解析
39、式为：yx 22x 3，则 C（0，3） 又yx 22x 3（x1） 24，N（1，4） 设直线 BC 的解析式为 ykx 3（k0） 把 B（3，0）代入，得03k3，解得 k1，则该直线解析式为：yx 3故当 x1 时，y 2，即 M（1，2） ，MN|3| |2|1即 MN1；（3）设点 P 的坐标为（x ，y） ，由题意，得SPAB 4|y|8，|y |4，y4当 y4 时，x 22x 34，x 11+2 ，x 212 ，当 y4 时，x 22x 3 4，x1，当 P 点的坐标分别为（1+2 ，4） 、 （12 ，4） 、 （1，4）时，S PAB 8【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键
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