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    2019年全国高考高三最新信息理科数学试卷(一)含答案

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    2019年全国高考高三最新信息理科数学试卷(一)含答案

    1、2019 年高考高三最新信息卷理 科 数 学(一)注 意 事 项 :1、 本 试 卷 分 第 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 卷 ( 非 选 择 题 ) 两 部 分 。 答 题 前 , 考 生 务 必 将 自己 的 姓 名 、 考 生 号 填 写 在 答 题 卡 上 。 2、 回 答 第 卷 时 , 选 出 每 小 题 的 答 案 后 , 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ,如 需 改 动 , 用 橡 皮 擦 干 净 后 , 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 写 在 试 卷 上 无 效 。 3、 回 答 第 卷 时 , 将 答 案 填 写 在 答

    2、 题 卡 上 , 写 在 试 卷 上 无 效 。 4、 考 试 结 束 , 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第 卷一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019吉林实验中学在复平面内与复数 所对应的点关于实轴对称的点为 ,则 对2i1zA应的复数为( )A B C Di1ii1i22019哈六中 是 成立的( )03x2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件32019衡阳联考比较甲、乙两名学生的数学学科素

    3、养的各项能力指标值(满分为 5 分,分值高者为优) ,绘制了如图 1 所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为 4,乙的数学抽象指标值为 5,则下面叙述正确的是( )A乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值42019西安中学若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )A B C D1232346452019郑州一中已知函数 ,则不等式 的解集为( )2log,1xf1fxA B C D,2,01,0,

    4、 ,0,262019烟台一模将函数 的图象向右平移 个单位长度后,sin,2fx6所得图象关于 轴对称,且 ,则当 取最小值时,函数 的解析式为( )y12f fxA Bsin26fxsin6fxC Dsi4fsi4f72019聊城一模数学名著九章算术中有如下问题:“今有刍甍(mng) ,下广三丈,袤(mo)四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽 3 丈,长 4 丈;上棱长 2 丈,高 1 丈,问它的体积是多少?” 现将该楔体的三视图给出,其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈,则该楔体的体积为(单位:立方丈) ( )A B5 C6 D5.

    5、 6.582019哈六中实数 , 满足不等式组 ,若 的最大值为 5,则正数xy20xym3zxy的值为( )mA2 B C10 D12 1092019镇海中学已知正项等比数列 满足 ,若存在两项 , ,使得na7652aman,则 的最小值为( )216mna9nA B C D31483103102019聊城一模如图,圆柱的轴截面为正方形 , 为弧 的中点,则异面直线ABEAC与 所成角的余弦值为( )EBCA B C D353066112019天津毕业已知双曲线 ,过原点的直线与双曲线交于 , 两21,xyabAB点,以 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 ,若 的面积为 ,则双曲线的渐近线方

    6、程AB 2a为( )A B C D2yx2yx3yx3yx122019上高二中定义:若数列 对任意的正整数 ,都有 ,则称nan1nad为 常 数为“绝对和数列” , 叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列” 中, ,绝对公和为nad 123,则其前 2019 项的和 的最小值为( )2019SA B C D2019330253027第 卷二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 132019呼和浩特质检在 的展开式中, 的系数为_12x2x142019衡水二中已知函数 ,则 _2sinta,0,exxf254f152019福建联考在边长为 2 的等边三角形 中,

    7、 ,则向量 在 上的投影ABCBDAD为_162019德州一模已知函数 , ,设两曲线 ,2fxax24lngaxbyfx有公共点 ,且在 点处的切线相同,当 时,实数 的最大值是_ygxP0,三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 大 题 , 共 70 分 , 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 (12 分)2019甘肃联考在 中, , ABC 3sin2iBtan35C(1)求 ;cos2C(2)若 ,求 的周长1AB18 (12 分)2019保山统测某市移动公司为了提高服务质量,决定对使用 , 两种套餐的集AB团用户进行调查,准备从本

    8、市 个人数超过 1000 人的大集团和 8 个人数低于 200 人的小集n*N团中随机抽取若干个集团进行调查,若一次抽取 2 个集团,全是小集团的概率为 415(1)求 的值;n(2)若取出的 2 个集团是同一类集团,求全为大集团的概率;(3)若一次抽取 4 个集团,假设取出小集团的个数为 ,求 的分布列和期望X19 (12 分)2019河南名校如图所示的三棱柱 中, 平面 ,1ABC1ABC, , 的中点为 ,若线段 上存在点 使得 平面 ABC13B1COPO1A(1)求 ;(2)求二面角 的余弦值1A20 (12 分)2019烟台一模已知 为抛物线 的焦点,过 的动直线交抛物F2:0Cy

    9、pxF线 于 , 两点当直线与 轴垂直时, CABx4AB(1)求抛物线 的方程;(2)设直线 的斜率为 1 且与抛物线的准线 相交于点 ,抛物线 上存在点 使得直线 ,lMCPA, 的斜率成等差数列,求点 的坐标PMBP21 (12 分)2019济南模拟已知函数 ,其导函数 的最大值2ln1afxxfx为 0(1)求实数 的值;a(2)若 ,证明: 1212fxfx12x请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 , 如 果 多 做 , 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 (10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】2019宝鸡模拟点 是曲线 上的动点,以

    10、坐标原点 为极点, 轴的正半轴P214Cxy: Ox为极轴建立极坐标系,以极点 为中心,将点 逆时针旋转 得到点 ,设点 的轨迹为曲OP90Q线 2C(1)求曲线 , 的极坐标方程;12(2)射线 与曲线 , 分别交于 , 两点,设定点 ,求 的面积031C2AB2,0MAB23 (10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】2019上饶二模已知函数 10fxa(1)若不等式 的解集为 ,且 ,求实数 的取值范围;2fxA2,a(2)若不等式 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围13ffxaxa2019 年 高 考 高 三 最 新 信 息 卷理 科 数 学 答 案 ( 一 )一 、 选 择 题

    11、1 【答案】B【解析】 复数 , 复数的共轭复数是 ,2i1iiz1i就是复数 所对应的点关于实轴对称的点为 对应的复数,故选 B2i1A2 【答案】A【解析】解 得到 ,假设 ,一定有 ,反之不一定,12x3x03x13x故 是 成立的充分不必要条件故答案为 A033 【答案】C【解析】对于选项 A,甲的逻辑推理能力指标值为 4,优于乙的逻辑推理能力指标值为 3,所以该命题是假命题;对于选项 B,甲的数学建模能力指标值为 3,乙的直观想象能力指标值为 5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值,所以该命题是假命题;对于选项 C,甲的六维能力指标值的平均值为 ,乙的六维能力指标值

    12、的12345466平均值为 ,因为 ,所以选项 C 正确;15434623对于选项 D,甲的数学运算能力指标值为 4,甲的直观想象能力指标值为 5,所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值,故该命题是假命题故选 C4 【答案】A【解析】由题意,椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,即 ,2ca所以离心率 ,故选 A12cea5 【答案】D【解析】当 时, ,即为 ,解得 ;1x1fx2log1x2x当 时, ,即为 ,解得 ,f0综上可得,原不等式的解集为 ,故选 D,1,26 【答案】C【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度后,sin0,2fx6可得 的图象,si

    13、n6y所得图象关于 轴对称, , y62kZ ,即 ,则当 取最小值时, ,1sinsin2f 1si6 ,取 ,可得 ,63k1k4函数 的解析式为 ,故选 Cfxsin6fx7 【答案】B【解析】根据三视图知,该几何体是三棱柱,截去两个三棱锥,如图所示:结合图中数据,计算该几何体的体积为(立方丈) 11234235V三 棱 柱 三 棱 锥8 【答案】A【解析】先由 画可行域,02xy发现 ,所以 可得到 ,且 为正数0y0ymym画出可行域为 (含边界)区域AOB,转化为 ,是斜率为 的一簇平行线, 表示在 轴的截距,3zxy3yxz3zy由图可知在 点时截距最大,解 ,得 ,即 ,2yx

    14、m2y,mA此时 ,解得 ,故选 A 项ax35z29 【答案】B【解析】设正项等比数列 的公比为 ,且 ,naq0由 ,得 ,7652a662qa化简得 ,解得 或 (舍去) ,0q1q因为 ,所以 ,则 ,解得 ,216mna1216mnaa 216mnq6n所以 ,99998003当且仅当 时取等号,此时 ,解得 ,nm6nm329n因为 , 取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则 ,183验证可得,当 , 时, 取最小值为 ,故选 B2m4n19mn410 【答案】D【解析】取 的中点 ,连接 , , ,BCHEAH90设 ,则 , ,所以 ,2AB1HE5A6AE连接 , ,ED6

    15、因为 ,所以异面直线 与 所成角即为 ,C BCD在 中, ,故选 DA 46cos211 【答案】B【解析】 以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ,C以 为直径的圆的方程为 ,A22xyc由对称性知 的面积 ,BC 21OBCSha即 ,即 点的纵坐标为 ,2ahc2ayc则由 ,得 ,22axc242 2aaxcc因为点 在双曲线上,则 ,B4221ab即 ,即 ,24221cac221cac即 ,即 ,22 2241ac即 ,得 ,241cac24即 ,得 ,得 , 2233cab则双曲线的渐近线方程为 ,故选 B2yx12 【答案】C【解析】依题意,要使其前 2019 项的和 的最小

    16、值只需每一项的值都取最小值即可,2019S ,绝对公和 , 或 (舍) ,12a3d2a 或 (舍) , 或 (舍) ,33414,满足条件的数列 的通项公式 ,na2,1,na为 大 于 的 奇 数为 偶 数所求值为 2345201891 a,故选 C092二 、 填 空 题 13 【答案】80【解析】 的展开式中,通项公式 ,512x 355 211C2Cr rrrrrTxx令 ,解得 的系数 ,故答案为 8035r2r2x3258014 【答案】 31e【解析】因为 ,2552513sintan4442f所以 故答案为 3231eef 31e15 【答案】【解析】 , 为 的中点, ,2

    17、BCDBC12ADBC,112cos03AA,2 142B 则向量 在 上的投影为 ,故答案为 AD3BAD 316 【答案】 2e【解析】设 , , 0,Pxy2fxa24agx由题意知, , ,0fg00即 ,2204lnxaxb,00解 得: 或 (舍) , xa02代入 得: , , 34lnba0,,68ln21ba当 时, ;当 时, 140,e0b14e,a0b实数 的最大值是 故答案为 1144e3ln2 2e三 、 解 答 题 17 【答案】 (1) ;(2) 7851【解析】 (1) , , tan3Ccos6C217cos68(2)设 的内角 , , 的对边分别为 , ,

    18、 AB Bab , ,3sini32ab , , 1Cb3由余弦定理可得 ,22cos12cC则 , 的周长为 1cAB 518 【答案】 (1) ;(2) ;(3)详见解析7n【解析】 (1)由题意知共有 个集团,取出 2 个集团的方法总数是 ,8 28Cn其中全是小集团的情况有 ,故全是小集团的概率是 ,28C2856471n整理得到 ,即 ,解得 710n25140n(2)若 2 个全是大集团,共有 种情况;7若 2 个全是小集团,共有 种情况,28C故全为大集团的概率为 137(3)由题意知,随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4,计算 ; ; ;048715C39PX87415C

    19、9PX287415C6PX; ,387415608741523故 的分布列为:X0 1 2 3 4P139839865619529数学期望为 1825623034391915EX19 【答案】 (1) ;(2) 6【解析】 (1)方法一:设 的长为 ,依题意可知 , , 两两垂直,分别以 ,ABtBAC1BC, 的方向为 , , 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示1BAxyz则 , , , , , ,0,At3,0C1,0B13,0C31,02O1,At因此 , , 1,B,At1,At设 ,易求得点 的坐标为 ,3,0APtP3,1t所以 1,2Ot因为 平面 ,所以 P1ABC11302

    20、OPBCAt 解之得 ,所以 的长为 623tB62方法二:如图,在平面 内过点 作 的垂线分别交 和 于 , ,连接 ,1CO1BCBC1MNP在平面 内过点 作 的垂线交 于 ,连接 ABMBAR依题意易得, , , , , 五点共面1RPN P因为 平面 ,所以 PO1ABCRMONPORP 在 中, , ,因此 为线段 靠近 的三等分1N 13tan01123cos0OBN1BC1点由对称性知, 为线段 靠近 的三等分点,因此 , MBC3RA3PN代入,得 33622AON(2)由(1)方法一可知, 是平面 的一个法向量且 ,1,6P1ABC13,0BC160,2BA设平面 的法向量

    21、为 ,则 可以为 1Cn10BCAn1,30236cos,OPn因为二面角 为锐角,故所求二面角 的余弦值为 1ABC1ABC6320 【答案】 (1) ;(2) 4yx1,2P【解析】 (1)因为 ,在抛物线方程 中,令 ,可得 ,0pF2ypx2pyp于是当直线与 轴垂直时, ,解得 x4ABp所以抛物线的方程为 24yx(2)因为抛物线 的准线方程为 ,所以 1x1,2M设直线 的方程为 ,AB1yx联立 消去 ,得 241yx240y设 , ,则 , 1,A2,By12124y若点 满足条件,则 ,0,Pxy2PMAPBkk即 ,102002yx因为点 , , 均在抛物线上,所以 ,

    22、, PAB204yx2124yx代入化简可得 ,001222014yyy将 , 代入,解得 12y12将 代入抛物线方程,可得 001x于是点 为满足题意的点1,2P21 【答案】 (1) ;(2)见解析a【解析】 (1)由题意,函数 的定义域为 ,其导函数 ,fx0,ln1fxax记 ,则 hxf1ah当 时, 恒成立,所以 在 上单调递增,且 0a0xhx0,10h所以 ,有 ,故 时不成立;1,xhfa当 时,若 ,则 ;若 ,则 0a0,a10x1,a10axh所以 在 单调递增,在 单调递减hx1,a所以 maxln10令 ,则 lgag当 时, ;当 时, 01a0a10g所以 在

    23、 的单减,在 单增g,所以 ,故 10a1a(2)当 时, ,则 2lnfxx1lnfx由(1)知 恒成立,1ln0fxx所以 在 上单调递减,2lf,且 , ,1f121fxff不妨设 ,则 ,12010x欲证 ,只需证 ,x2因为 在 上单调递减,则只需证 ,f0,21fxfx又因为 ,则只需证 ,即 121fxf1ff112fxf令 (其中 ) ,且 Fffx0,F所以欲证 ,只需证 , ,112ff1x0,x由 ,lnl2xx 整理得 ,ln210,1Fx, ,210x,所以 在区间 上单调递增,ln21Fx 0,1所以 , ,0,1xln20xxF所以函数 在区间 上单调递减,2ff

    24、0,1所以有 , ,1Fx0,x故 1222 【答案】 (1) , ;(2) 1:4cosC2:4sin3【解析】 (1)曲线 的圆心为 ,半径为 2,把互化公式代入可得:曲线 的极坐标方程为,0 1C4cos设 ,则 ,则有 ,Q,2P4cos4sin2所以曲线 的极坐标方程为 2C4sin(2) 到射线 的距离为 ,M323d,4sinco1BA则 132Sd23 【答案】 (1) ;(2) ,1,【解析】 (1) , , , ax2ax3xa13,Aa, , , 的取值范围 2,A123a3,2(2)由题意 恒成立,设 ,12x1hxax,,112,ahxxxa 时,由函数单调性 , , ,01amin1hxa3121a 时, , , ,min1ahx32综上所述, 的取值范围 ,


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