1、2019 年中考数学考前压轴题练习一选择题1如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边上的两个动点，且 AEFD ，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列结论正确的个数是（ ）ABGFDGHD 平分EHGAG BES HDG：S HBG tanDAG线段 DH 的最小值是 2 2A2 B3C4 D5二填空题2如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上运动，点 F 在边 AD 上运动，且 DE AF，AE，BF 交于点 H，连接 DH，则 DH 的最小值为 3如图，在矩形 ABCD 中，AB
2、12，对角线 AC，BD 相交于点 O，OH BC 于点 H，连接 DH 交 OC 于点 O1，过 O2 作 O1H1BC 于点 H1，连接 DH1 交 OC 于 O2，过 O2 作O2H2BC 于点 H2，则线段 O10H10 4如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，过 AD 作 DFAE 交 BC 的延长线于点 F，过点 C 作 CGDF 于点 G延长 AE、GC 交于点 H，点 P 是线段 DG 上的一点，连接 CP，将CPG 沿 CP 翻折得到CPG，连接 AG，若 CH1，DH 3，则 AG长度的最小值是 5如图，将正方形 ABCD 折叠，使点 A 落在 D
3、C 边上的 A处（不与点 C、D 重合） ，点B 落在 B处折痕为 EF，若点 A恰好将 DC 分成 2：1 两部分，且 BC+CA20，则线段 DE 的长为 6如图，正方形 ABCD 的边长为 ，点 E、F 分别为边 AD、CD 上一点，将正方形分别沿 BE、BF 折叠，点 A 的对应点 M 恰好落在 BF 上，点 C 的对应点 N 恰好落在 BE 上，则图中阴影部分的面积为 7如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，折痕 DE 分别交 AB，AC 于点E，G，若 AB2，则
4、 AG 的长为 三解答题8如图，正方形 ABCD、BGFE 边长分别为 2、1，正方形 BGFE 绕点 B 旋转，直线AE、 GC 相交于点 H（1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，AHC 的大小是否始终为 90，请说明理由；（2）连接 DH、BH，在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，求 DH 的最大值；直接写出 DH 的最小值9如图，四边形 ABCD 为矩形，连接 AC，AD 2CD，点 E 在 AD 边上（1）如图 1，若ECD30，CE 4，求AEC 的面积；（2）如图 2，延长 BA 至点 F 使得 AF2CD，连接 FE 并延长交 CD 于点 G，过点 D作 DHEG
5、 于点 H，连接 AH，求证：FH AH+DH；（3）如图 3，将线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 （0360）得到线段 AE，连接 CE，点 N 始终为 CE的中点，连接 DN，已知 CDAE4，直接写出 DN 的取值范围10问题发现（1）如图 ， RtABC 中， C90，AC 3，BC 4，点 D 是 AB 边上任意一点，则 CD 的最小值为 （2）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 M、点 N 分别在 BD、BC 上，求CM+MN 的最小值（3）如图 ，矩形 ABCD 中，AB3，BC 4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F是 BC 边上的任意一点，把 B
6、EF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG、CG，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时 BF 的长度若不存在，请说明理由11问题：如图（1） ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD ，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2） ，四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD ，B+D180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍有EFBE+FD 【探
7、究应用】如图（3） ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知ABAD 80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F ，EAF75且 AEAD，DF 40（ 1）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： 1.41， 1.73）12如图，在ABC 中，CACB ，AB10，0C60，AFBC 于点 F，在 FC 上截取 FDFB ，点 E 是 AC 上一点，连接 DA、DE，且ADEB（1）求证：EDEC（2）若C30，求 BD 长；（3）在（2）的条件下，将图 1 中DEC 绕点 D 逆时针旋
8、转得到DE C ，请问在旋转的过程中，以点 D、E、 C、E为顶点的四边形可以构成平行四边形吗？若可以，请求出该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由13如图，在ABCD 中，AB20cm，AD30cm ，ABC60，点 Q 从点 B 出发沿 BA向点 A 匀速运动，速度为 2cm/s，同时，点 P 从点 D 出发沿 DC 向点 C 匀速运动，速度为 3cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，过点 P 做 PMAD 交 AD 于点M，连接 PQ、 QM设运动的时间为 ts（0t 6） （1）当 PQPM 时，求 t 的值；（2）设PQM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与
9、x 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使得 PQM 的面积是ABCD 面积的 ？若存在，求出相应t 的值；若不存在，请说明理由；（4）过点 M 作 MNAB 交 BC 于点 N，是否存在某一时刻 t，使得 P 在线段 MN 的垂直平分线上？若存在，求出相应 t 的值；若不存在，请说明理由；14 （1）如图 1，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、DC 边上的点，CE 与 BF 交于点G，BF CE，求证： BFCE；（2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB2AD，E、F 分别是 AD、DC 边上的点，CE 与 BF交于点 G，A+BGE 180 ，求证：CE2BF； （3）
10、如图 3，若（2）中的四边形 ABCD 是平行四边形，且A90，则 CE2BF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由15如图，在ABC 中，A30，C90，AB12，四边形 EFPQ 是矩形，点 P与点 C 重合，点 Q、E、F 分别在 BC、AB、AC 上（点 E 与点 A、点 B 均不重合） （1）当 AE8 时，求 EF 的长；（2）设 AEx，矩形 EFPQ 的面积为 y求 y 与 x 的函数关系式；当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速向右运动（当点 P 到达点 B
11、 时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围16在ABCD 中，ABD 90，C 45，点 E 是边 BC 上任意一点，连结 AE，交对角线 BD 与点 G（1）如图 1，当点 E 是边 BC 的中点时，若 AB2，求线段 AE 的长（2）如图 2，过点 D 作直线 AE 的垂线，交边 BC 于点 F，连结 GF，求证：AGDF+GF（3）如图 3，过点 D 作直线 AE 的垂线，交边 BC 于点 F，连结 GF，AF ，线段 AF 与对角线 BD 交于点 O，若点 O 恰好是线段 BG 的中点，请探
12、究线段 DF 与 GF 的数量关系，直接写出结论（不需证明）17如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 坐标为（4，6） ，点 P 为线段 OA上一动点（与点 O、A 不重合） ，连接 CP，过点 P 作 PECP 交 AB 于点 D，且PE PC，过点 P 作 PFOP 且 PFPO （点 F 在第一象限） ，连结 FD、BE、BF，设OPt（1）直接写出点 E 的坐标（用含 t 的代数式表示）： ；（2）四边形 BFDE 的面积记为 S，当 t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值；（3）BDF 能否是等腰直角三角形，若能，求出 t；若不能，说明理由18如图 1，在平面直角坐
13、标系中，点 A、点 B 的坐标分别为（4，0） 、 （0，3） （1）求 AB 的长度（2）如图 2，若以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD，求点 C 的坐标（3）在 x 轴上是否存一点 P，使得ABP 是等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由19在ABC 中，ABC45，BC 4，tanC3，AHBC 于点 H，点 D 在 AH 上，且DHCH，连接 BD（1）如图 1，将BHD 绕点 H 旋转，得到EHF（点 B、D 分别与点 E、F 对应） ，连接 AE，当点 F 落在 AC 上时（F 不与 C 重合） ，求 AE 的长；（2）如图 2，EHF 是由BH
14、D 绕点 H 逆时针旋转 30得到的，射线 CF 与 AE 相交于点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由20如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，P 是 BC 边上一动点（不含 B、C 两点） ，将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处；在 CD 上有一点 M，使得将CMP 沿直线 MP翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于点 N，连结 MA（1）求证：CMPBPA；（2）求四边形 AMCB 的面积最大值；（3）你能求出线段 AM 的最小值吗？21在正方形 ABCD 中，AB8，点 P 在边 CD 上，
15、tanPBC ，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点，过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R 在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直（1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长；（2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQx ，RMy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域22如图 1，在 RtABC 中，C90，AC8m，BC6m，点 P 由 C 点出发以 2m/s 的速度向终点 A 匀速移动，同时点 Q 由点
16、B 出发以 1m/s 的速度向终点 C 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动（1）填空：在 秒时，PCQ 的面积为ACB 的面积的 ；（2）经过几秒，以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACB 相似？（3）如图 2，设 CD 为ACB 的中线，则在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由23在 RtABC 中，C90，P 是 BC 边上不同于 B、C 的一动点，过 P 作 PQAB，垂足为 Q，连接 AP（1）试说明不论点 P 在 BC 边上何处时，都有PBQ 与ABC 相似；（2）若 RtAQPRtACPRtBQP，求 tan
17、B 的值；（3）已知 AC3，BC4，当 BP 为何值时，AQP 面积最大，并求出最大值24在ABC 中，BAC90，ABAC ，M 是 BC 边的中点， MNBC 交 AC 于点 N，动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动同时，动点 Q 在线段 AC上由点 N 向点 C 运动，且始终保持 MQMP 一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒（t 0） （1）求证：PBMQNM（2）若ABC60，AB 4 cm，求动点 Q 的运动速度；设 APQ 的面积为 S（cm 2） ，求 S 与 t 的等量关系式（不必写出 t 的取值范围） 25如图，在AB
18、C 中，A90，AC AB，AC 、AB 是一元二次方程 x27x+120 的两根（1）求 BC 的长；（2）若点 P 由点 C 出发，以每秒 1cm 个单位长度的速度沿 CA 向点 A 运动，点 Q 由 A出发，以每秒 2cm 的速度点 B 运动， （当 Q 运动到点 B 时，两点同时停止）连接 PQ当 t 为何值时，S APQ SABC ；当 t 为何值时，以 A、P 、 Q 为顶点的三角形与ABC 相似？并说明理由26如图 1，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点C（0，3） ，顶点为 P（1，4） ，PB x 轴于点 B（1）求抛物线的解析
19、式；（2）连接 AC，在 x 轴下方的抛物线上存在点 N，BN 与 AC 的交点 F 平分 BN，求点 F的坐标；（3）将线段 BP 和 BA 绕点 B 同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 BE，BD ，直线PE，AD 相交于点 M如图 2，设 PE 与 x 轴交于点 H，线段 BE 与 AD 交于点 G，求 的值；连接 OM，OM 的长随线段 BP，BA 的旋转而发生变化，请直接写出线段 OM 长度的取值范围27如图，已知正方形 ABCD、AEFG 边长分别为 cm、 2cm，将正方形 ABCD 绕点 A 旋转，连接 BG、DE 相交于点 H（1）判断线段 BG、DE 的数量关系与位置关系，
20、并说明理由（2）连接 FH，在正方形 ABCD 绕点 A 旋转过程中，线段 DH 的最大值是 ；求点 H 经过路线的长度28将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30角的直角三角板 DEF 的长直角边 DE 重合DF 8（1）若 P 是 BC 上的一个动点，当 PADF 时，求此时PAB 的度数；（2）将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30，点 C 落在 BF 上，AC与 BD 交于点 O，连接 CD，如图求证： AD BF；若 P 是 BC 的中点，连接 FP，将等腰直角三角板 ABC 绕点 B 继续旋转，当旋转角 时，FP 长度最大，最
21、大值为 （直接写出答案即可） 29如图（1） ，在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是（0，4） ，点 B 在第一象限，点 P（t， 0）是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把AOP 绕着点 A按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合连接 OD，PD，得ABD（）当 t 时，求 DP 的长；（）在点 P 运动过程中，依照条件所形成的OPD 面积为 S求 t 0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；当 t 0 时，要使 S ，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标30已知正方形 ABCD，E 为平面内任意一点，连接 AE，BE，将ABE 绕点 B 顺时针旋转 90
22、得到BFC（1）如图 1，求证：AE CF ；AECF （2）若 BE2，如图 2，点 E 在正方形内，连接 EC，若AEB135 ，EC 5，求 AE 的长；如图 3，点 E 在正方形外，连接 EF，若 AB6，当 C、E、F 在一条直线时，求 AE的长31在矩形 ABCD 中，AB 2，BC1，以点 A 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ABCD，旋转角为 （0180 ） ，得到矩形 AEFG，点 B、点 C、点 D 的对应点分别为点E、点 F、点 G（1）如图 ，当点 E 落在 DC 边上时，直写出线段 EC 的长度为 ；（2）如图 ，当点 E 落在线段 CF 上时，AE 与 DC 相交于点
23、H，连接 AC，求证： ACD CAE；直接写出线段 DH 的长度为 （3）如图 设点 P 为边 FG 的中点，连接 PB，PE，在矩形 ABCD 旋转过程中，BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由32如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至CEF D，旋转角为 （1）当点 D恰好落在 EF 边上时，求旋转角 的值；（2）如图 2，G 为 BC 的中点，且 090，求证：GDED ；（3）先将小长方形 CEFD 绕点
24、 C 顺时针旋转，使DCD与CBD全等（0180） ，再将此时的小长方形 CEFD沿 CD 边竖直向上平移 t 个单位，设移动后小长方形边直线 FE与 BC 交于点 H，若 DHFC，求上述运动变换过程中 和 t 的值答案与解析一选择题1如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边上的两个动点，且 AEFD，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列结论正确的个数是（ ）ABGFDGHD 平分EHGAG BES HDG ：S HBG tanDAG 线段DH 的最小值是 2 2A2 B3 C4 D5【分析】首先证明AB
25、EDCF，ADG CDG （SAS ） ，AGB CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABCD，BAD ADC90，ADB CDB45，在ABE 和DCF 中，ABE DCF（SAS） ，ABE DCF，在ADG 和 CDG 中，ADG CDG（SAS） ，DAG DCF ，ABE DAG，DAG +BAH 90，ABE +BAH90，AHB90，AGBE，故正确，同法可证：AGBCGB，DFCB，CBGFDG，ABGFDG，故正确，S HDG ：S HBG DG：BGDF：BCDF：CDtanFCD，又DAG FCD，S HDG
26、 ：S HBG tan FCD，tanDAG，故 正确取 AB 的中点 O，连接 OD、OH，正方形的边长为 4，AOOH 42，由勾股定理得，OD 2 ，DHODOH，O、D、H 三点共线时，DH 最小，DH 最小 2 2故 5 正确无法证明 DH 平分EHG，故 错误，故正确，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于作辅助线并确定出 DH 最小时的情况二填空题2如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上运动，点 F 在边 AD 上运动，且 DE AF，A
27、E，BF 交于点 H，连接 DH，则 DH 的最小值为 【分析】以 AB 为直径画O首先证明BAFDAE，推出ABF DAE ，推出AHF90，点 H 在 O 上，当 O、H 、D 共线时，DH 最小【解答】解：如图，以 AB 为直径画 O四边形 ABCD 是正方形，ABAD ，BAF ADE90，在BAF 和DAE 中，BAF DAE，ABF DAE，ABF +AFB90，DAE+AEF90，AHF90，点 H 在O 上，当 O、H、D 共线时，DH 最小，DHODOH 1 1，故答案为 1【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用圆的性质解决
28、最值问题，属于中考常考题型3如图，在矩形 ABCD 中，AB12，对角线 AC，BD 相交于点 O，OH BC 于点 H，连接 DH 交 OC 于点 O1，过 O2 作 O1H1BC 于点 H1，连接 DH1 交 OC 于 O2，过 O2 作O2H2BC 于点 H2，则线段 O10H10 1 【分析】利用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理求出 OH，O 1H1，O H2，探究规律即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，ABCD12，AB CD ，BCD90，OBOD，OHBC，O 1H1BC，O 2H2BC，OHCDO 1H1O 2H2，OBOD ，BHHC，OH CD，HO
29、1：O 1D1：2，O 1H1：CDHO 1：HD1：3，O 1H1 CD，H 1O2：DO 21：3，O 2H2：CDH 1O2：H 1D1：4，O 2H2 CD，以此类推：O 10H10 CD1故答案为 1【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题属于中考常考题型4如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，过 AD 作 DFAE 交 BC 的延长线于点 F，过点 C 作 CGDF 于点 G延长 AE、GC 交于点 H，点 P 是线段 DG 上的一点，连接 CP，将CPG 沿 CP 翻折得到C
30、PG，连接 AG，若 CH1，DH 3，则 AG长度的最小值是 2 【分析】如图，作 DMAE 于 M，首先证明四边形 DMHG 是正方形，求出正方形DMHG 的边长，以及 AC 的长，因为点 P 在线段 DG 上运动时，点 G在以 C 为圆心，CG 为半径的圆上运动，所以当 A、G 、C 共线时，AG最小由此即可解决问题【解答】解：如图，作 DM AE 于 MAHDF ，GHDF ，MHG HGDDMH90，四边形 DMHG 是矩形，ADCMDG90，ADMCDG ，在ADM 和CDG 中，ADMCDG （AAS ） ，DM DG，四边形 DMHG 是正方形，DH3 ，DM MH GHDG3
31、，CH1，CGHGHC2，在 Rt DCG 中，CD ，AC CD ，点 P 在线段 DG 上运动时，点 G在以 C 为圆心，CG 为半径的圆上运动，当 A、G、C 共线时，AG最小，AG的最小值为 ACCG 2故答案为 2【点评】本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题5如图，将正方形 ABCD 折叠，使点 A 落在 DC 边上的 A处（不与点 C、D 重合） ，点B 落在 B处折痕为 EF，若点 A恰好将 DC 分
32、成 2：1 两部分，且 BC+CA20，则线段 DE 的长为 或 【分析】由折叠的性质得出和已知得出 AEEA， 或 ，设正方形ABCD 的边长为 a，DE 为 x，得出DADCCAa20+a2a20，AEADDE ax，当 时，3（2a20）a，求出 a12，则 EAAE12x，DA4，在 Rt DEA中，由勾股定理得出方程，解方程即可；当 时，3（2a20）2a，求出 a15，则EAAE15x ，DA410，在 RtDEA中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：将正方形 ABCD 折叠，使点 A 落在 DC 边上的 A处（不与点 C、D 重合） ，点 A恰好将 DC 分成 2：1 两
33、部分，AEEA， 或 ，设正方形 ABCD 的边长为 a，DE 为 x，BC+CA20，CA20BC20a，DADCCAa20+a2a20，AEADDEax，当 时，3（2a20）a，解得：a12，则 EAAE12x ，DA 4，在 Rt DEA中，DE 2+DA 2EA 2，即 x2+42（12x ） 2，解得：x ；当 时，3（2a20）2a，解得：a15，则 EAAE15x ，DA 410，在 Rt DEA中，DE 2+DA 2EA 2，即 x2+102（15x ） 2，解得：x ；综上所述，线段 DE 的长为 或 ；故答案为 或 【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理
34、以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题关键6如图，正方形 ABCD 的边长为 ，点 E、F 分别为边 AD、CD 上一点，将正方形分别沿 BE、BF 折叠，点 A 的对应点 M 恰好落在 BF 上，点 C 的对应点 N 恰好落在 BE 上，则图中阴影部分的面积为 4 【分析】由折叠可得ABEEBFCBF ，BMF A90，BMAB ，即可得到 EM BEtan30 1，BE2，BF2，BFN 60，GM MF2 3，再根据阴影部分的面积S BME +SGMF ，进行计算即可【解答】解：如图，由折叠可得ABEEBFCBF，BMFA90，BMAB ，又ABC9
35、0，EAF 30，BEM 60，RtBEM 中， EM BEtan30 1，BE2，同理可得，BF2，BFN 60，RtGMF 中，GM MF （2 ）2 3，阴影部分的面积S BME +SGMF 1+ （2 ）（2 3）4 ，故答案为：4 【点评】本题主要考查了折叠问题以及正方形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等7如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，折痕 DE 分别交 AB，AC 于点E，G，若 AB
36、2，则 AG 的长为 2 2 【分析】设 AEEF x ，则 BE x，可得 x+ x2，推出 x2 2，即 AE22，再证明 AGAE 即可解决问题；【解答】解：设 AEEF x ，则 BE x，x+ x2，x2 2，AE2 2，四边形 ABCD 是正方形，ADBCAD45，由翻折可知：ADG22.5 ，AED9022.567.5，AGEGAD+ADG67.5，AGAE2 2，故答案为 【点评】主要考查了正方形的性质，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化三解答题8如图，正方形 ABCD、BGFE
37、边长分别为 2、1，正方形 BGFE 绕点 B 旋转，直线AE、 GC 相交于点 H（1）在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，AHC 的大小是否始终为 90，请说明理由；（2）连接 DH、BH，在正方形 BGFE 绕点 B 旋转过程中，求 DH 的最大值；直接写出 DH 的最小值【分析】 （1）先判断出ABECBG，得到BAEBCG，再进行简单的代换即可；（2） 先判断出点 A，B ，H，C ，D 在以 AC 为直径的同一个圆上，得到 DH 最大就是大正方形的对角线，即可；先由 AE 恒垂直 CG 于 H，判断出当 AE 垂直于 BE 时，DH 最短如图所示，得到点A，E，F（H）共线，
38、再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边，得出BAE 30，再利用三角函数和勾股定理计算即可【解答】解：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，ABECBG，在正方形 ABCD，BGFE 中，ABBC，BE BG，ADCBCDBAD ABC 90，ABE CBG，BAE BCG，记 AH 与 BC 的交点为点 P，APB CPH，ABC+BAE+APB180AHC+BCG+ CPH180，AHCABC90，（2） AHC 90点 H 在以 AC 为直径的圆上，由（1）有，ABCADC90，点 B，D 也在以 AC 为直径的圆上，点 A，B ，H ，C，D 在以 AC 为直径的同一个圆上
39、，在正方形 ABCD 中，BCD90，BD 也是这个圆的直径，当 H 与点 B 重合时，DH 最大为 2 ，解：（ 1）是，理由如下：由旋转知，ABECBG，在正方形 ABCD，BGFE 中，ABBC，BE BG，ADCBCDBAD ABC 90，ABE CBG，BAE BCG，APB CPH，ABC+BAE+APB180AHC+BCG+ CPH180，AHCABC90，（3） AHC 90点 H 在以 AC 为直径的圆上，由（1）有，ABCADC90，点 B，D 也在以 AC 为直径的圆上，点 A，B ，H ，C，D 在以 AC 为直径的同一个圆上，在正方形 ABCD 中，BCD90，BD
40、也是这个圆的直径，当 H 与点 B 重合时，DH 最大为 2 ，点 A，B ，H ，C，D 五点共圆，当DAH 最小时， DH 最小，BAD90，BAE 最大时，DH 最小，当 AEBE 时，BAE 最大是 30，AE 恒垂直 CG 于 H，当 AE 垂直于 BE 时，DH 最短如图，AEBE，AEB 90，AB2，BE1，AE ，BAE30，点 A，E ，F 共线，AFAE+EF +1，作 FMAD ，FMAB，AFM BAE30，FMAFcosAFM（ +1）cos30AMAFsin AFM（ +1）sin30 ，DM ADAM2 ，在 Rt DMF 中，根据勾股定理得，DHDF 即：DH
41、 的最小值为 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转过程中极值的确定方法，还用到了三角函数的意义，解本题的关键是作出图形9如图，四边形 ABCD 为矩形，连接 AC，AD 2CD，点 E 在 AD 边上（1）如图 1，若ECD30，CE 4，求AEC 的面积；（2）如图 2，延长 BA 至点 F 使得 AF2CD，连接 FE 并延长交 CD 于点 G，过点 D作 DHEG 于点 H，连接 AH，求证：FH AH+DH；（3）如图 3，将线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 （0360）得到线段 AE，连接 CE，点 N 始终为 CE的中点，连接 DN，已知 CDAE
42、4，直接写出 DN 的取值范围【分析】 （1）根据 30的直角三角形求 CD 和 ED，再利用面积公式求AEC 的面积；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明AFMADH，得 AMAH，FMDH，则MAH 是等腰直角三角形，有 MH AH，根据线段的和代入得结论；（3）取 AC 的中点 O，连接 ON、OD，在DON 中，根据三角形三边关系即可出 DN的取值范围【解答】解：（1）如图 1，在 RtEDC 中，EDC 30，ED EC 42，cos30 ，DCECcos304 2 ，AE2DCED4 2，S AEC AEDC （ 4 2）2 122 ；（2）如图 2，过 A 作 AMAH，交 FG
43、 于 M，MAHMAD +DAH90，又FADMAD+FAM90，FAM DAH，AFCD，FFGDDHEG ，DHE HDG +FGD90，EDG EDH+ HDG90，FGD EDH，FEDH ，又AF2CD，AD2CD，AFAD ，AFM ADH，AMAH ，FMDH，MAH 是等腰直角三角形，MH AH，FHMH +FM，FH AH+DH；（3）线段 AE 绕点 A 旋转一定的角度 （0360）得到线段 AE，E的运动轨迹是一个以点 A 为圆心半径为 4 的圆当 0时，点 E在 AD 的中点，四边形 ABCD 是矩形，CDAE4，AD2CDCDE90，DECD4CDE是等腰三角形N 是
44、 CE的中点CEDN此时 DN 的值最小是 2 ，当 180时，E在 AD 的延长线上，DN 最长，过 N 作 CD 的垂线交 CD 于 MDEAE+AD12，CD4MNDC，DEDCMNDECDECMNMN6则 CMDM 2在 RtDMN 中，DM 203602 DN2 如图 3 所示，取 AC 的中点 O，连接 ON、OD，AECD4，AD2CD8，AC 4 ，OD2 ，在DON 中，ODONDNOD+ ON，ON AE2，2 2DN2 +2当点 N 在线段 DO 上时，如图 4，线段 DN 取最小值，ON AE2，DN minODON2 2；当 N 在线段 DO 的延长线上时，如图 5，线段 DN 取最大值，DN maxOD+ON2 +2；03602 2DN2 +2【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形、全等三角形、和直角三角形中 30角的性质；考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系；在计算线段取值范围时，可以分别求该线段的最大值和最小值，然后写
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