1、北师大 8 上第一章勾股定理综合性提高训练（含答案）例题 1、直角三角形的面积为 ，斜边上的中线长为 ，则这个三角形周长为（ ）Sd（A） （B） 2d2S（C） （D） 解:设两直角边分别为 ,斜边为 ,则 , . 由勾股定理,得 .abc2d1Sab22abc所以 .224ab所以 .所以 .故选（C）dSabc2S例题 2在 中, , 边上有 2006 个不同的点 ,来源:学科网来源:Zxxk.ComABC1BC1206,P记 ,则 =_.2206iiimP 1206m解:如图,作 于 ,因为 ,则 .ADBC1ABCD由勾股定理,得 .所以222,P2P所以 .221ABCA因此 .1
2、20606m例题 3如图所示，在 中, ,且 ,Rt9,45BCABDE3B,求 的长.4CED解:如右图：因为 为等腰直角三角形,所以 .ABC45ABDC所以把 绕点 旋转到 ,则 .EFE所以 .连结 . 所以 为直角三角形.4,45FCFB由勾股定理,得 .所以 .2223D5因为 所以 . 5,AE 4AFDBEA所以 . 所以 .S5例题 4、如图，在ABC 中，AB=AC=6，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求PCPB+PA2 的值。例题 5、如图在 RtABC 中, 3,4,90BCAC，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。
3、如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）解：要在 RtABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。来源:Zxxk.ComABPC10例题 6如图，A、B 两个村子在河 CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水，铺设水管的费
4、用为 20000 元/千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。例题 7.ABC 中，BC a，AC b，AB c，若C=90，如图（1） ，根据勾股定理，则22cba，若ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3） ，请你类比勾股定理，试猜想与 的关系，并证明你的结论. 来源:学科网 ZX解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 当 ABC 是钝角三角形时，例题 8 A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10 千米/
5、时的速度7向北偏西 60的 BF 方向移动，距台风中心 200千米范围内是受台风影响的区域（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？课堂练习：1、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） Ah17cm B h8cm C15cmh16cm D 7cmh16cm2 如图，已知： ， ， 于 P. 求证： . 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以 B
6、P 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4 个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM，根据勾股定理，在 中，. 而在 中，则根据勾股定理有. 又 （已知） ， . 在 中，根据勾股定理有 ， . 3 已知：如图，B= D=90，A=60，AB=4，CD=2 。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD、BC 交于 E。A=60 ，B=9
7、0，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE=4 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于 厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解：OC1 米 (大门宽度一半)，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOC
8、D 中，由勾股定理得：CD .米，C .（米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门5、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN 30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 A
9、B 并计算其长度。 （2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作 ABMN，垂足为 B。 在 RtABP 中，ABP90，APB30， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC100(m) ，由勾股定理得： BC 2100 2-8023600, BC 60。 同理，拖拉机行驶到点 D
10、 处学校开始脱离影响，那么， AD100(m) ，BD 60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。 6、如图所示，ABC 是等腰直角三角形， AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E 、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。思路点拨：现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD解：连
11、接 AD因为BAC=90 ，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD= C=45因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtAEF 中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。7 如图，在等腰ABC 中， ACB=90 ，D、E 为斜边 AB 上的点，且DCE=45。求证：DE 2
12、=AD2+BE2。ECA BDFECA BD分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。8 如图，长方形 ABCD 中，AB=8 ，BC=4 ，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分AFC 的面积是 。EFDBCA设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE 2+EF2=AF2,所以 42+x2=(8-x) 2,解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：109. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于
13、捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？10. 已知ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60，c=13, ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。 （平方差公式的灵活运用）ab2)(2= 22169017c。变式训练：一、选择题1.下列说法正确的有( ) ABC 是直角三角形，C=90，则 a2+b2=c2. ABC 中，a 2+b2c 2，则ABC 不是直角三角形. 若AB C 中，a 2-b2=c2，则ABC 是直角三角形.
14、若ABC 是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c 2. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2.已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是( )A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 29C1A3.已知，如图，一轮船以 20 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 15 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，则 2 小时后，两船相距( )A.35 海里 B.40 海里 C.45 海里 D.50 海里4.如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC
15、交 AD 于 E，AD=8，AB=4，则 DE 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题后的横线上.)5.如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路“.他们仅仅少走了_步路(假设 2 步为 1 米)，却踩伤了青草.6.如图，圆柱形玻璃容器高 20cm，底面圆的周长为 48cm，在外侧距下底 1cm 的点 A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为_.7.如果三条线段的长度分别为 8cm、xcm、18cm
16、，这三 条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以 x 为边长的正 方形的面积为_.8.已知ABC 的三边 a、b、c 满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则ABC 的面积为_ _.三、解答题(共 6 小题，1、2 题各 10 分，3-6 题各 12 分，共 68 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)9.如图是一块地，已知 AB=8m，BC=6m，B=90，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积. 10.如图，将一根 30长的细木棒放入长、宽、高分别为 8、6和 24的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？11.如图，铁路上 A、B 两点相距 2
17、5km, C、D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，若 DA=10km,CB=15km，现要在 AB 上建一个周转站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则周转站 E 应建在距 A 点多远处？来源:学科网12.如图，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕(对角线)AC，再折叠使 AB 边与 AC 重合，得折痕 AE，若AB=3，AD=4，求 BE 的长.13.如图，A、B 两个小镇在河流 CD 的同侧，到河流的距离分别为 AC=10km，BD=30km，且 CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每 km3 万元，请你在河流 CD 上选择
18、建水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 14.“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置 A 处正前方 30 米的 C 处，过了 2 秒后，测得小汽车所在位置 B 处与车速检测仪间距离为 50 米，这辆小汽车超速了吗？附加题(10 分，不计入总分)如图，P 是矩形 ABCD 内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则 PD=_.变式训练答案： 一、1.C 2.A 3.D 4.C二、5.4 6.30cm 7.260cm 或 388cm 8.30三、9.解：连接 AC
19、.1 分在ABC 中，AB=8m,BC=6m,B=90，由勾股定理，AC 2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. 3 分在ACD 中，AC 2+CD2=102+242=676,AD2=676，AC 2+CD2=AD2. ACD 是直角 三角形.6 分 8 分答：求这块地的面积是 96m2.10 分10.解：由勾股定理，8 2+62=102,3 分102+242=262 .6 分30-26=4. 8 分答：细木棒露在盒外面的最短长度是 4cm.10 分11.解：设 E 点建在距 A 点 xkm 处.1 分如图，则 AE 长 xkm，BE 长(25-x)km.2 分DAAB，DAE
20、是直角三角形. 由勾股定理，DE 2=AD2+AE2=102+x2.5 分同理，在 RtCBE 中，CB 2+BE2=152+(25-x)2.7 分依题意，10 2+x2=152+(25-x)2， 9 分解得，x=15. 11 分答：E 应建在距 A15km 处.12 分12.解： 在 AC 上截取 AF=AB，连接 EF.1 分依题意，AB=AF, BE=EF, B=AFE=90 .3 分在 RtABC 中，AB=3，BC=AD=4,AC 2=32+42=25,AC=5. CF=AC-AF=5-3=2. 5 分设 BE 长为 x，则 EF=x,CE=4-x. 7 分在 RtCFE 中，CE
21、2=EF2+CF2,即(4-x) 2=x2+22.9 分解得，x= . 11 分答：BE 的长为 .12 分13.解：作点 A 关于 CD 的对称点 E，连接 EB，交 CD 于 M. 则 AC=CE=10 公里.2 分过点 A 作 AFBD,垂足为 F.过点 B 作 CD 的平行线交 EA 延长线于 G，得矩形 CDBG.4 分则 CG=BD=30 公里，BG=CD=30 公里，EG=CG+CE=30+10=40 里.7 分在 RtBGE 中，由勾股定理，BE 2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，9 分350=150(万元).11 分答：铺设水管的总费用最少为 150 万元.
22、 12 分14.解：依题意，在 RtACB 中，AC=30 米，AB=50 米， 由勾股定理，BC 2=AB2-AC2=502-302,BC=40 米.3 分小汽车由 C 到 B 的速度为 402=20 米/秒. 5 分20 米/秒=72 千米/小时，8 分7270，10 分因此，这辆小汽车超速了. 12 分附加题 解：过点 P 作 MNAD 交 AB 于点 M， 交 CD 于点 N， 则 AM=DN，BM=CN.2 分PMA=PMB=90， PA 2-PM2=AM2，PB 2-PM2=BM2.4 分 PA 2-PB2=AM2-BM2.5 分 同理，PD 2-PC2=DN2-CN2.7 分PA 2-PB2=PD2-PC2.又 PA=1，PB=5，PC=7，8 分 PD 2=PA2-PB2PC 2=12-527 2，PD=5.10 分
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