1、第 1 页，共 15 页2019 年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A=1，3，5，B=x|2x5，C=4，6，则（ AB）C=（ ）A. 3， 4， B. 4， C. 4，5， D. 3，4，1, 5 3, 6 3, 6 1, 62. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+y 的最小值是（ +102+10220）A. 0 B. C. D. 1 73 1733. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A. 3 B. C. 10 D. 6 154. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
2、 a、b、c，则 “sinAsinB”是“ab”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 若 a=-log2 ，b=log 24.5，c=2 0.6，则 a，b，c 的大小关系为（ ）15A. B. C. D. 6. 已知函数 f（x ）=Asin（x+）+ b（A 0， 0，| ）的最大值为 4最小值2为 0最小正周期为 ，直线 x= 是其图象的一条对称轴则 f（x ）的解析式为（ 2 6）A. B. ()=4(46) ()=2(23)+2C. D. ()=2(43)+2 ()=2(46)+27. 已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为
3、F1，F 2，点 M（x 0，y 0）在双曲线上，222且满足 0，则 y0 取值范围是（ ）1 2A. B. C. D. 33,33 36,36 233,233 322,322第 2 页，共 15 页8. 如图，AB，CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，=3 ，则 的值是（ ） A. 45B. 1516C. 14D. 58二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. i 是虚数单位，复数 z 满足 z（3+i ）= l-i，则|z|=_10. 已知函数 f（x ）=a x（a0 且 al），若曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线 y=x+l 垂直，则 a 的值为
4、_11. 如图所示，若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 l，则三棱锥C-DD1B1 的体积为_12. 已知圆心在直线 y=x 上的圆与直线 x+y=0 及 x+y+4=0 都相切，则圆的方程为_13. 已知 x，y（0，+）， ，则 + 的最小值为_(13)2=3 4114. 已知函数 f（x ）= ，若关于 x 的方程 f（x）=kx+1 有 3 个互异3+1， 0 14+1, 1 的实数解，则实数 k 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知（ 3a+b）cosC+ccosB=0（）求
5、cosC 的值；（）若 c= ，ABC 的面积为 ，求 a+b 的值632416. 某区在 2019 年教师招聘考试中，参加 A、B、C 、D 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 1%）如下：第 3 页，共 15 页岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例A 269 167 62% 40 24 60%B 217 69 32% 386 121 31%C 44 26 59% 38 22 58%D 3 2 67% 3 2 67%总计 533 264 50% 467 169 36%（）从表中所有应聘人员中随机抽取 l 人，试估计此人被录用的概
6、率；（）将应聘 D 岗位的男性教师记为 Ai（i =l，2，3），女性教师记为Bi（ i=l， 2，3）现从应聘 D 岗位的 6 人中随机抽取 2 人（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人性别不同”，求事件 M 发生的概率17. 如图，在四棱锥 A-BCDE 中，平面 ADE平面BCDE，在ADE 中，AD =AE= ，O 为 DE 的中点，5四边形 BCDE 是等腰梯形，BC=2 DE=4，CD=BE= 5（）求异面直线 AD 与 BC 所成角的正弦值；（）求证：平面 AOB平面 AOC；（）求直线 AC 与平面 AOB 所成角的正切值18. 各项
7、均为正数的等比数列a n满足 a2=3，a 4-2a3=9（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（2n-1）log 3a2n+2（n N*），数列 的前 n 项和为 Tn，证明：1Tn 12第 4 页，共 15 页19. 已知椭圆 =1（ab0）的离心率为 ，且点（ ，1）在椭圈上22+22 22 2（）求椭圆的方程：（）设点 A 是椭圆的左顶点，点 B 在 x 轴上，若椭圆上存在点 P，使得APB=90，求点 B 的横坐标的取值范围20. 已知函数 f（x ）=（x-3）e x+a（x-3） 2（e 为自然对数的底数），其中 aR（）若 a=0，求 f（x ）的单调区间；（）求 f（
8、x）零点的个数第 5 页，共 15 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合 A=1，3，5，B=x|2x5， C=4，6， AB=3， （AB）C=3，4，6 故选：B 先求出 AB=3，由此能求出（ AB）C本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定 义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】C【解析】解：由变量 x，y 满足约束条件，作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ， ），化目标函数 z=3x+y，由图可知，当直线 z=3x+y 过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为：3（ ）- = 故选：C 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，
9、数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目 标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3.【答案】B【解析】解：i=1 ，i4 是，i=1 是奇数，S=0-1=-1 ，i=2， i4 是，i=2 不是奇数，S=-1+4=3，i=3 i4 是，i=3 是奇数，S=3-9=-6， i=4， i4 否，输出 S=-6， 故选：B 第 6 页，共 15 页根据程序框图进行模拟运算计算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4.【答案】C【解析】解：在三角形中，若 ab，由正弦定理 = ，得 sinAsinB若 sinAsinB
10、，则正弦定理 = ，得 ab，则“sinA sinB”是“ab”的充要条件故选：C 在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键5.【答案】A【解析】解： ，20.62 1=2；abc 故选：A容易得出 ，20.62，从而得出 a，b，c 的大小关系考查对数的运算性质，以及对数函数、指数函数的 单调性，增函数的定 义6.【答案】D【解析】解：函数 f（x）=Asin（x+）+b（A0，0， | ）的最大值为 4最小值为0故： ，解得：A=b=2 最小正周期为 ，所以：=4，直线 x= 是其 图象
11、的一条对称轴则： （kZ）第 7 页，共 15 页解得：= （kZ），当 k=0 时，=- ，故：函数的关系式为：f（x）=2sin（4x- ）+2故选：D直接利用正弦型函数的性质的应用求出 A，的 值本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7.【答案】A【解析】解：双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1（- ，0），F2（ ，0），M（x0，y0）在双曲线上，且满足 0，可得 x02=2+2y02，（- -x0，-y0）（ -x0，-y0）0，即有 x02-3+y020，即为 2+2y02-3+y020，即 3y021，
12、解得- y0 ，故选：A求得双曲线的焦点坐标，由 M 在双曲线上，代入双曲线方程，结合向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围本题考查双曲线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题8.【答案】B【解析】解：AB，CD 是半径为 1 的 圆 O 的两条直径，=3 ，可得 =- ， = ，第 8 页，共 15 页=（ + ）（ + ）=（ + ）（ - ）= 2- 2= -1=- 故选：B 根据向量表示化简数量积，再由向量的平方即为向量模的平方，结合向量共线定理，即得结果本题考查向量数量积的性质，考查基本分析求解能力，属基础题9.【答案
13、】55【解析】解：由 z（3+i）=l-i，得 z= ，|z|= 故答案为： 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题10.【答案】1【解析】解：f（x ）=ax 的导数为 f（x）=axlna，可得曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为 lna，切线与直线 y=x+l 垂直，可得 lna=-1，解得 a= 故答案为： 求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直 线垂直的条件：斜率之 积为-1，解方程可得 a 的 值第 9 页，共 15 页本题考查导数的运用：求切线斜率，考查两直线垂直的条件
14、，以及运算能力，属于基础题11.【答案】16【解析】解：正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 l，三棱锥 C-DD1B1 的体积为：= 故答案为： 三棱锥 C-DD1B1 的体积为： = ，由此能求出结果本题考查三棱锥的体积的求法，考查正方体的结构特征、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题12.【答案】（x+1） 2+（y+1） 2=2【解析】解：由题意设圆心坐标为（a，a），则有 = ，解得 a=-1，所以圆的圆心为（-1， -1），半径为 r= = ；所以圆 C 的方程为（x+1 ）2+（y+1）2=2故答案为：（x+1） 2+（y+1）2=2设出圆心坐
15、标，利用圆心到直线的距离列方程求出圆心和半径，即可写出圆的方程本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题13.【答案】92【解析】第 10 页，共 15 页解：x，y（0，+）， = ，x+y=2，则 + = （ ）（x+y）= = ，当且仅当 且 x+y=2 即 x= 取等号故答案为：由指数的运算性质可知，x+y=2，从而有 + = （ ）（x+y），利用基本不等式可求本题主要考查了指数的运算性质及利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键是进行 1 的代换14.【答案】（0，1）【解析】解：关于 x 的方程 f（x）=kx+1 有 3 个互异的实数解等价于 y=f（x）的图象与过定点（0，1
16、）的直线有 3 个交点，如图所示：当 y=f（x）的图象与过定点（0，1）的直线有 3 个交点时，实数 k 的取值范围是0k1，故答案为：（0，1）由方程的解的个数与函数图象间的交点个数的关系及分段函数图象的作法，先作出 y=f（x）的图象与过定点（0，1）的直线，再观察图象即可得解本题考查了方程的解的个数与函数图象间的交点个数的关系及分段函数图象的作法，属中档题15.【答案】（本题满分为 13 分）解：（）（3a+ b）cosC+c cosB=0，由 ， （1 分）=（ 3sinA+sinB）cosC+sinC cosB=0，（2 分）3sinAcosC+sin（B+C）=0 ， （4 分）
17、在ABC 中，由于 sin（B+C ）=sinA0，（5 分）cosC=- （6 分）13第 11 页，共 15 页（） ，由（）及由余弦定理，得 6=a2+b2-2abcosC，（7 分）=6即 6=a2+b2-2ab（- ），13a2+b2+ ab=6，23（ a+b） 2- ab=6（） （9 分）43由（）知 = （10 分）=12223由题意，得 SABC= absinC= = ，12 12223 324ab= （12 分）94结合（）式，得 a+b=3（13 分）【解析】（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosC+sin（B+C）=0，结合 sin（B+
18、C）=sinA0，从而可求 cosC 的值（）由（）及由余弦定理，可得（a+b ）2- ab=6利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，根据三角形的面积公式可求 ab 的值，即可计算得解 a+b的值本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16.【答案】解：（）因为表中所有应聘人数为533+467=1000，（1 分）被录用的人数为 264+169=433 （2 分）所以，从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 P= （4 分）4331000（）记应聘
19、D 学科的男性为 A1，A 2，A 3，应聘 D 学科的女性为 B1，B 2，B 3，从应聘 D 学科的 6 人中随机选择 2 人，共有 15 种结果，分别为：A1，A 2，A 1，A 3，A 1，B 1， A1，B 2，A 1，B 3，A 1，A 3， ，A 2，B 2，2， 1A2，B 3，A 3，B 1，A 3，B 2， A3，B 3，B 1，B 2，B 1，B 3，B 2，B 3，（8 分）事件 M“抽取的 2 人性别不同 ”情况有 9 种：A1，B 1，A 1，B 2，A 1，B 3， ，A 2，B 2， A2，B 3， A3，B 1，A 3，B 2，2， 1A3，B 3， （10
20、分）第 12 页，共 15 页事件 M 发生的概率为 P= = = （13 分）91535【解析】（）表中所有应聘人数为 533+467=1000，被录用的人数为 264+169=433由此能求出从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率 （）记应聘 D 学科的男性为 A1，A2，A3，应聘 D 学科的女性为 B1，B2，B3，从应聘 D 学科的 6 人中随机选择 2 人，利用列 举法能求出事件 M 发生的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、列 举法等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题17.【答案】解：（）如图所示，四边形 BCDE 是等腰梯形，所以 DEBC；所以ADE 就
21、是异面直线 AD 与 BC 所成的角，（2 分）在ADE 中，AD= AE，又 O 为 DE 的中点，所以 AODE；在ADO 中， ，=5， =2所以异面直线 AD 与 BC 所成角的正弦值为 ；（5 分）255（）由（）知，AODE，（6 分）因为平面 ADE平面 BCED，平面 ADE平面 BCED=DE，且 AO平面 A1DE，所以 AO平面 BCED，（7 分）所以 COAO；（8 分）在OBC 中，BC=4，易得 ，所以 COBO，=22又因为 AOBO=O，所以 CO平面 AOB； （9 分）又 CO平面 AOC，所以平面 AOB平面 AOC； （10 分）（）由（）知 CO平面
22、 AOB，所以直线 AC 与平面 AOB 所成角就是 CAO；（11 分）在 RtAOC 中， ，所以 ，=22， =2 =2所以直线 AC 与平面 AOB 所成角的正切值为 （13 分）2【解析】（）找出ADE 是异面直线 AD 与 BC 所成的角，在三角形中求出ADE 的正弦值； （）由（）知 AODE，由平面 ADE平面 BCED 得出 AO平面BCED，COAO； 再证明 COBO，得出 CO平面 AOB，即可得出平面 AOB平面 AOC； （）找出直线 AC 与平面 AOB 所成的角是 CAO，在 RtAOC 中求得第 13 页，共 15 页tanCAO 的值本题考查了空间平面与平面
23、关系的判定及直线与直线关系的判定问题，也考查了空间角的计算问题，是中档题18.【答案】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，q0 ，由 a2=3，a 4-2a3=9 得 3（q 2-2q）=9，解得 q=3 或 q=-1因为数列a n为正项数列，所以 q=3，所以，首项 a1= =1，2故其通项公式为 an=3n-1，nN*；（2）证明：由（1）得 bn=（2n-1 ）log 3a2n+2=（2n-1）log 332n+1=（2n-1）（2n+1），所以 = （ - ），1 1(21)(2+1)12 121 12+1即有前 n 项和 Sn= （1- + - + - ）12 131315 12
24、1 12+1= （1- ） 12 12+1 12【解析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果； （2）先化简 bn，再利用裂项相消法求和，即 证得结果本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题19.【答案】解：（）设椭圆 C 的半焦距为 c依题意，得= 且 + =1， 22 2212又因为 a2=b2+c2，解得 a2=4，b 2=2所以，椭圆 C 的方程为 + =12422（）易知，“椭圆 C 上存在点 P，使得APB=90”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点 P，使得 成立” =0依题意，点 A（-2，0），设 B（t，0），P（m ，n
25、），则有 m2+2n2=4，且 ， ，=(2， ) =(， )所以（-2-m，-n）（t-m，-n）=0，即（-2-m）（t -m）+ n2=0 ，由得，n 2= 代入，得（ -2-m）（t-m）+ =0，422 422第 14 页，共 15 页因为-2m2，所以化为 m-t+ =0，22即 m=2t-2所以-22t-2 2，解得 0t2故所求点 B 的横坐标的取值范围是（0，2）【解析】（）设椭圆 C 的半焦距为 c利用离心率列出方程求解 a=2，b= 即可求出椭圆方程（）“椭圆 C 上存在点 P，使得 APB=90”等价于“ 存在不是椭圆左、右顶点的点 P，使得 成立” 设 B（t，0），
26、P（m，n），则 m2+2n2=4，且（-2-m，-n）（t-m，-n）=0，推出 m=2t-2利用-2m2，求解点 B 横坐标的取值范围本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20.【答案】解：（）由 a=0，得 f（x ）= （x -3）e x，所以 f（x ）= （x -2）e x，（2 分）由 f（x）0 得 x2，由 f（x ）0 得 x2，所以，函数 f（x ）的单调增区间是（2，+）；单调减区间是（-，2）（4分）（）f（x）=（x-3）e x+a（ x-3） ，易得函数 f（x）有一个零点 x=3（5 分）令 g（x）=e x+a（x-3）
27、（1）若 a=0，则 g（x）=e x0，g（x）无零点，所以函数 f（x）只有一个零点； （6 分）（2）若 a0，则 g（x）=e x+a，当 a0 时，有 g（x）0，所以函数 g（x）在（-，+）上单调递增，而 g（- ）= =3a=10，g（3）=e 30，此时函数 g（x）在（- ）内有一个零点，1 1 1， 3所以 f（x）有两个零点 （7 分）当 a0 时，由 g（x）=e x+a=0，得 x=ln（-a），所以函数 g（x）在区间（-，ln （-a）单调递减，在区间（ln（-a），+）单调递增，所以函数 g（x） min=g（ln（-a）=aln（-a）-4 （8 分）（）当
28、 ln（-a）-40，即 -e4a0 时，g（x） min=g（ ln（-a）=aln（- a）-40，此时函数 g（x）在其定义域内无零点，所以函数 f（x）只有一个零点（）当 ln（-a）-4=0，即 a=-e40，此时函数 g（x）有一个零点为 4，所以函数f（x）有两个零点第 15 页，共 15 页（）当 ln（-a）-40，即 a- e4 时，g（x） min0，此时函数 g（x）有两个零点，因为 g（3）0，所以这两个零点均不为 3所以函数 f（x）有三个零点（12 分）综上述，当 a=0 或-e 4a0 时，函数 f（x）只有一个零点；当 a0 或 a=-e4 时，函数 f（x）有两个零点；当 a-e 4 时，函数 f（x ）有三个零点 （14 分）【解析】（）把 a=0 代入，先对已知函数求导，然后结合导 数与单调性的关系即可求解 （）由 f（x）=（x-3）ex+a（x-3），易得函数 f（x）有一个零点 x=3，因此要求f（x）零点的个数，只要求解函数 g（x）=ex+a（x-3）的零点个数，结合函数的导数与单调性的关系，对 a 进行分类讨论， 结合函数的零点判定定理进行判断即可本题主要考查了函数的导数在函数的单调性的判断中的应用，函数的单调性与函数的零点关系的应用，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性
浙公网安备33030202001339号