1、专题 3 反比例函数问题例题精讲例 1.（北海中考）如图，反比例函数 y= （x0 ）的图象交 RtOAB 的斜边 OA 于点 D，交直角边 ABkx于点 C，点 B 在 x 轴上若 OAC 的面积为 5，AD ：OD=1：2，则 k 的值为_ 【解答】解：过 D 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 E 点， ODE 的面积和OBC 的面积相等 = ，k2OAC 的面积为 5，OBA 的面积=5+ ，k2AD：OD=1：2，OD：OA=2 ： 3，DEAB，ODEOAB， =（ ） 2 ， S ODES OAB23即 = ，k25+k249解得：k=8例 2.（临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，
2、点 A、B 均在函数 y （k0，x0）的图象上，Akx与 x 轴相切，B 与 y 轴相切若点 A 的坐标为（3，2 ），且A 的半径是B 的半径的 2 倍，则点 B 的坐标为_ 【解答】解：点 A（3，2）在函数 y （k0，x0 ）的图象上， kxk326A 与 x 轴相切，B 与 y 轴相切，点 A 的坐标为（3，2），且A 的半径是B 的半径的 2 倍，点 B 的横坐标为 1点 B 在反比例函数 y 的图象上，6x点 B 的坐标为（ 1，6）故答案为：（1，6）例 3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数
3、y= （x0）与 AB 相交于点 D，与 BC 相交于点 E，若 BE=4EC，且ODE 的面积是 5，则 k 的值为kx_ 【解答】解：四边形 OCBA 是矩形， AB=OC，OA=BC，设 B 点的坐标为（a，b ），BE=4EC，E（a， b），15点 D，E 在反比例函数的图象上，a b=k， D（ a，b），15 15SODE=S 矩形 OCBASAODSOCESBDE=ab ab a b （a a）（b b）12 15 12 15 12 15 15= ab=5，1225ab= ，12512k= ab= 15 2512故答案为 2512例 4.（重庆中考）如图，直线 y= x2 与
4、x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C 在直线 AB 上，且点 C 的纵12坐标为1，点 D 在反比例函数 y= 的图象上，CD 平行于 y 轴，S OCD= ，则 k 的值为_ kx 52【解答】点 C 在直线 AB 上，即在直线 y= x2 上，C 的横坐标是 2，12代入得：y= 22=1，即 C（ 2，1 ），12OM=2，CDy 轴，S OCD= ， 52 CDOM= ， 12 52CD= ， 12MD= 1= ， 12 32即 D 的坐标是（2， ），32D 在双曲线 y= 上，代入得：k=2 =332故答案为：3例 5.（宿迁中考）如图，已知点 A 是双曲线 y= 在第一
5、象限的分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另2x一分支于点 B，以 AB 为边作等边 ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y= （k0）上运动，则 k 的值是_ kx【解答】解：双曲线 y= 关于原点对称， 2x点 A 与点 B 关于原点对称OA=OB连接 OC，如图所示ABC 是等边三角形，OA=OB，OCABBAC=60tanOAC= = OCOA 3OC= OA3过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，AEOE，CFOF，OC OA，AEO=OFC，AOE=90FOC= OCFAEOOFC
6、= = AEOFEOFCAOOCOC= OA，3OF= AE，FC= EO3 3设点 A 坐标为（a ，b），点 A 在第一象限，AE=a，OE=bOF= AE= a，FC= EO= b3 3 3 3点 A 在双曲线 y= 上，2xab=2FCOF= b a=3ab=63 3设点 C 坐标为（x ，y），点 C 在第四象限，FC=x，OF= yFCOF=x（ y）=xy=6xy=6点 C 在双曲线 y= 上，kxk=xy=6故答案为：6习题精炼1.如图,在平面直角坐标系中 ,AOB=90,OAB=30,反比例函数 y1= 的图象经过点 A,反比例函数 y2= 的图mx nx象经过点 B,则下列
7、关于 m,n 的关系正确的是 ( )A. m=-3n B. m=- n C. m=- n D. m= n333 332.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A. B. C. D. 3.如图，等边OAB 的边 OB 在 x 轴的负半轴上，双曲线 y= 过 OA 的中点，已知等边三角形的边长是 4，则kx该双曲线的表达式为（ ）A. y= B. y=- C. y= D. y=-3x 3x 23x 23x4.如图，直线 l 与反比例函数 y= 在第一象限内的图象交于 A、B 两点，且与 x 轴的正半轴交于 C 点若kxAB=2BC，OAB 的面积为 8，则 k 的值为（ ）A. 6 B. 9 C.
8、 12 D. 185.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （x 0 ）的图象上，已知点kxB 的坐标是（ ， ），则 k 的值为（ ）65 115A. 4 B. 6 C. 8 D. 106.如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，ABx 轴，AD y 轴，且对角线的交点与原点 O 重合在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例函数 y= kx（k0 ）中 k 的值的变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大7.如
9、图，直线 x=t（t0 ）与反比例函数 y= （x0）、y= （x0）的图象分别交于 B、C 两点，A 为 y 轴kx -1x上任意一点，ABC 的面积为 3，则 k 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 58.如图，过 x 轴正半轴上的任意一点 P，作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 y 和 y 的图象交于6x 4xA，B 两点若点 C 是 y 轴上任意一点，连接 AC、BC，则ABC 的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 109.如图，OAB 为等腰直角三角形，斜边 OB 边在 x 负半轴上，一次函数 y= x+ 与OAB 交于 E、D 两点，17 47与 x 轴
10、交于 C 点，反比例函数 y= （k0）的图象的一支过 E 点，若 SAED=SDOC ， 则 k 的值为（ ）kxA. - B. - C. -3 D. -467 310.如图，在平面直角坐标系中， A 与 x 轴相切于点 B，BC 为A 的直径，点 C 在函数 y= kx（k 0，x0）的图象上，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 1211.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴， AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分OAOB=34线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y= 的图象过点 C当以 CD 为边
11、的正方形的面积为 时，k 的值是kx 27（ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 712.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3， 1反比例函数 y= 的图象经过 A，B 两点，则菱形 ABCD 的面积为（ ）3xA. 2 B. 4 C. D. 22 4213.在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与反比例函数 的图象有唯一公共点，若直线 y=x+b 与反比例函y=1x数 的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是（ ）y=1xA. b2 B. 2b2 C. b2 或 b2 D. b 214.如图，RtABC 的顶点
12、 B 在反比例函数 y= 的图象上，AC 边在 x 轴上，已知 ACB=90， A=30，12xBC=4，则图中阴影部分的面积是_ 15.如图，A、B 两点在双曲线 y= 上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知 S 阴影 =1，则 S1+S2=_4x16.如图，ABC 的三个顶点分别为 A（1 ，2），B（2，5 ），C（6，1）若函数 y= 在第一象限内的图象kx与ABC 有交点，则 k 的取值范围是_17.如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 A（2，2），过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，在 y 轴的正半kx轴上取一点 P（ 0，t），过点 P 作直线 OA 的垂线 l
13、，以直线 l 为对称轴，点 B 经轴对称变换得到的点 B在此反比例函数的图象上，则 t 的值是_18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数 （k 为y=kx常数，且 k0）在第一象限的图象交于点 E，F过点 E 作 EMy 轴于 M，过点 F 作 FNx 轴于 N，直线EM 与 FN 交于点 C若 （m 为大于 l 的常数）记CEF 的面积为 S1 ， OEF 的面积为 S2 ， BEBF=1m则 =_ （用含 m 的代数式表示）S1S219.如图，正方形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （k0）在
14、第一象限的图象经过顶kx点 A（m，2）和 CD 边上的点 E（n ， ），过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 轴于点 G（0 ，2），则点23F 的坐标是_20.如图，过 y 轴上任意一点 P，作 x 轴的平分线，分别于反比例函数 y= 和 y= 的图象交于 A 点和 B 点，若4x 2xC 为 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则ABC 的面积为_ 答案解析部分一、单选题1.【答案】A 【解析】【解答】过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 A 作 AFx 轴于点 F,设点 B 的坐标为(a, ),点 A 的坐标为 (b, ),na mb则 OE=-a,BE= ,OF=b,
15、AF= ,na mbOAB=30,OA= OB,3BOE+OBE=90,AOF+BOE=90,OBE=AOF,又BEO=OFA=90,BOEOAF, = = ,即 = = ,OEAFBEOFOBAO -amb nab 13解得:m=- ab,n= ,3ab3故可得:m=-3n.故答案为：A.2.【答案】 C 【解析】【分析】分别根据反比例函数系数 k 的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可：A、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3 ；B、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为|xy|=3：C、如图，过点 M 作 MAx 轴于点 A，过点 N
16、 作 NBx 轴于点 B，根据反比例函数系数 k 的几何意义， SOAM =SOAM= |xy|= ， 从而阴影部分面积和为梯形 MABN 的面积：12 32（1+3） 2=4。12 D、根据 M，N 点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为： 1 6=3。12 综上所述，阴影部分面积最大的是 C。故选 C。3.【答案】 B 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CDOB 于点 DOAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是 4，OA=4，COD=60 ，又 点 C 是边 OA 的中点，OC=2，OD=OCcos60=2 =1，CD=OCsin60=2 = 12 32 3C（1， ）3则
17、 = ， 3k-1解得，k= ， 3该双曲线的表达式为 y=- 3x故选 B4.【答案】 A 【解析】【解答】解：作 ADx 轴于 D，BE x 轴于 E，如图，BEAD，CBECAD， ， BEAD=CBCAAB=2BC，CB：CA=1：3， = ， BEAD=CBCA13AD=3BE，设 B（t， ），则 A 点坐标为（ t， ），kt 13 3ktSAOD+S 梯形 ABED=SAOB+SBOE ， 而 SAOD=SBOE ， = k，12SAOB=S 梯形 ABED= （ + ）（t t）=8 ，12 kt3kt 13解得，k=6故选 A5.【答案】 C 【解析】【解答】解：如图，过点
18、 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy 轴于 F，在正方形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90，BAE+DAF=90，DAF+ADF=90，BAE=ADF，在ABE 和DAF 中， ABEDAF（AAS），AF=BE，DF=AE，正方形的边长为 2，B（ ， ），65 115BE= ， AE= = ， 65 22-(65)285OF=OE+AE+AF= + + =5，1158565点 D 的坐标为（ ， 5），85顶点 D 在反比例函数 y= （x0 ）的图象上，kxk=xy= 5=885故选：C6.【答案】 C 【解析】【解答】解：设矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=2b
19、矩形 ABCD 的周长始终保持不变，2（2a+2b ）=4（a+b）为定值，a+b 为定值矩形对角线的交点与原点 O 重合k= AB AD=ab，12 12又 a+b 为定值时，当 a=b 时，ab 最大，在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，k 的值先增大后减小故选：C7.【答案】 D 【解析】【解答】解：由题意得，点 C 的坐标（t， ），1t点 B 的坐标（t， ），ktBC= + ， kt1t则 （ + ）t=3，12 kt1t解得 k=5，故选：D8.【答案】 C 【解析】【解答】解：设 P（ a，0），a0， A 和 B 的横坐标都为 a，OP=a，将 xa 代入反
20、比例函数 y 中得：y ，6x 6aA（a， ）；6a将 xa 代入反比例函数 y 中得：y ，4x 4aB（a， ），4aABAP+BP + ，6a 4a 10a则 SABC ABOP a512 12 10a故答案为：C.9.【答案】 C 【解析】【解答】解：如图，作 EFOB 于 F，AG OB 于 G，设 E（m，n ），OF=m，EF=n，OAB 为等腰直角三角形，ABO=45，EFOB，EF=BF=n，OB=m+n，AG= OB= （ m+n），12 12一次函数 y= x+ 与 x 轴交于 C 点，17 47C（4， 0），BC=m+n+4，SAED=SDOC ， SEBC=SAB
21、O ， OBAG= BCEF，即 （m+n） （m+n）= （m+n+4）n，12 12 12 12 12整理得，m 2=n2+8n，点 E 是直线 y= x+ 上的点，17 47n= m+ ， 得出 m=47n，17 47代入 m2=n2+8n 化简得，3n 24n+1=0解得 n=1 或 n= ， 13m=3 或 m=4 0（舍去），73E（3，1），反比例函数 y= （k0）的图象过 E 点，kxk=mn=3故选 C10.【 答案】 D 【解析】【解答】解：如图连接 OC， BC 是直径， AC=AB，SABO=SACO=3，SBCO=6，A 与 x 轴相切于点 B，CBx 轴，SCBO
22、= ，k2k=12，故选 D11.【 答案】 D 【解析】【解答】设 OA=3a，则 OB=4a，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，则根据题意得： ，3ak+b=0b=4a )解得： ，则直线 AB 的解析式是 y= x+4a，k= -43b=4a) 43直线 CD 是 AOB 的平分线，则 OD 的解析式是 y=x根据题意得： ，解得： 则y=xy= -43x+4a) x=127ay=127a)D 的坐标是（ ， ），127a 127aOA 的中垂线的解析式是 x= ，则 C 的坐标是（ ， ），则 k= 以 CD 为边的正方形的面积为 ， 2（32a 32a 32a 94a2 27
23、） 2= ，则 a2= ，127a32a 27 289k= =7故选 D9428912.【 答案】 D 【解析】【解答】解：过点 A 作 x 轴的垂线，与 CB 的延长线交于点 E，A，B 两点在反比例函数 y= 的图象上且纵坐标分别为 3，1，3xA，B 横坐标分别为 1，3，AE=2， BE=2，AB=2 ， 2S 菱形 ABCD=底高=2 2=4 ， 2 2故选 D13.【 答案】 C 【解析】【解答】解：解方程组 得：x 2bx+1=0，y= -x+by=1x )直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象有 2 个公共点，1x方程 x2bx+1=0 有两个不相等的实数根，=b240
24、，b2，或 b2 ，故选 C14.【 答案】 12-233【解析】【解答】解：ACB=90 ，BC=4， B 点纵坐标为 4，点 B 在反比例函数 y= 的图象上，12x当 y=4 时，x=3 ，即 B 点坐标为（3，4 ），OC=3在 RtABC 中， ACB=90，A=30，BC=4 ，AB=2BC=8，AC= BC=4 ，OA=ACOC=4 33 3 3设 AB 与 y 轴交于点 DODBC， = ，即 = ，OAACODBC 43-343 OD4解得，OD=4 ，3阴影部分的面积= （OD+BC）OC=12 ，12 32 3故答案为：12 32 315.【 答案】6 【解析】【解答】解
25、：点 A、B 是双曲线 y= 上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，4x则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=4+412=6故答案为 6【分析】欲求 S1+S2 ， 只要求出过 A、B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线 y= 的系数 k，由此即可求出 S1+S2 4x16.【 答案】2k 494【解析】【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为 A过点 A（1，2）的反比例函数解析式为 y= ，k22x随着 k 值的增大，反比例函数的图象必须和线段 BC 有交点才能满足
26、题意，经过 B（2 ，5）， C（6，1）的直线解析式为 y=x+7，由 ，得：x 27x+k=0y= -x+7y=kx 根据0，得：k 494综上可知：2k 494故答案为：2k 49417.【 答案】1+5 【解析】【解答】如图，点 A 坐标为（2，2 ），k=22=4，反比例函数解析式为 y=- ，4xOB=AB=2，OAB 为等腰直角三角形，AOB=45，PQOA，OPQ=45，点 B 和点 B关于直线 l 对称，PB=PB，BB PQ，BPQ=OPQ=45，BPB=90，BPy 轴，点 B的坐标为（ - ，t），4tPB=PB，t2=|- |= ，4t 4t整理得 t22t4=0，解
27、得 t1=1+ ，t 2=1 （舍去），5 5t=1+ 5故答案为：1+ 518.【 答案】 m-1m+1【解析】【解答】解：过点 F 作 FDBO 于点 D，EW AO 于点 W， ，BEBF=1m = ，MEDF1mMEEW=FNDF， = ，MEDFFNEW = ，FNEW1m设 E 点坐标为：（x ，my），则 F 点坐标为：（mx，y ），CEF 的面积为：S 1= （mxx ）（my y）= （m 1） 2xy，12 12OEF 的面积为： S2=S 矩形 CNOMS1SMEOSFON ， =MCCN （m 1） 2xy MEMO FNNO，12 12 12=mxmy （m 1）
28、2xy xmy ymx，12 12 12=m2xy （m 1） 2xymxy，12= （m 21）xy，12= （m+1）（ m1）xy，12 = = S1S2 12(m-1)2xy12(m-1)(m+1)xym-1m+1故答案为： m-1m+119.【 答案】（ ，0） 94【解析】【解答】解：正方形的顶点 A（m，2），正方形的边长为 2，BC=2，而点 E（n ， ），23n=2+m，即 E 点坐标为（2+m， ），23k=2m= （2+m ），解得 m=1，23E 点坐标为（ 3， ），23设直线 GF 的解析式为 y=ax+b，把 E（3， ），G（0，2 ）代入得 ，23 3a+b=23b= -2解得 ， a=89b= -2直线 GF 的解析式为 y= x2，89当 y=0 时， x2=0，解得 x= ，89 94点 F 的坐标为（ ，0）9420.【 答案】3 【解析】【解答】解：设 P（ 0，b），直线 ABx 轴，A，B 两点的纵坐标都为 b，而点 A 在反比例函数 y= 的图象上，4x当 y=b，x= ， 即 A 点坐标为（ ， b），4b 4b又 点 B 在反比例函数 y= 的图象上，2x当 y=b，x= ， 即 B 点坐标为（ ， b），2b 2bAB= （ ）= ， 2b 4b 6bSABC= ABOP= b=312 126b故答案为：3
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