1、第 1 页，共 18 页2018-2019 学年江苏省南通市港闸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 下列方程中，关于 x 的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2+=2 +2=0 22=1 +1=72. 下列图案是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 二次函数 y=x2-2 的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. (0,0) (0,2) (0,2) (2,0)4. 下列事件中，是随机事件的是（ ）A. 任意画一个三角形，其内角和是 360B. 通常加热到 时，水沸腾100C. 太阳从东方升起D. 购买一张彩票，中奖5.
2、下列各点中，抛物线 y=x2-4x-4 经过的点是（ ）A. B. C. D. (0,4) (1,7) (1,1) (2,8)6. 如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 100，得到 ADE，若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 B 的大小为（ ）A. B. C. D. 60 50 45 407. 已知圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，则其侧面积为（ ）A. B. C. D. 8 10 12 168. 如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A、B、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（ ）A. MB. PC. QD. R9. 距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的
3、“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长），他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正 24576 边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）A. B. 3 C. D. 2.9 3.1 3.1410. 已知二次函数 y=a（x -h） 2+k 的图象经过点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2），若|x 1-h| |x2-h|，则下列结论正确的是（ ）第 2 页，共 18 页A. B. C. D. (12)0 (21)0 120 210二、填空题（本大题共 8 小题，共 24
4、.0 分）11. 点（-1，-2）关于原点 O 对称的点的坐标是_12. 若O 的半径为 5，点 A 到圆心 O 的距离为 4，则点 A 在O_（填“内”、“上”或“外”）13. 若 x1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2-2x-3=0 的两个实数根，则 x1+x2=_14. 10 件外观相同的产品中有 1 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率是_15. 如图，O 是ABC 的外接圆，若AOB=100，ACB=_度16. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（-3 ，0）、（1，0），则这条抛物线的对称轴是直线_17. 飞机着陆后滑行的距离
5、s（米）关于滑行的时间 t（秒）的函数解析式是 s=60t-1.5t2则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为 _米18. 如图，四边形 ABCD 内接于O ，AD、BC 的延长线相交于点 E，AB、DC 的延长线相交于点 F，设 A=，则E+ F=_（用含 的式子表示）三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分）19. 解方程：（1）x 2-2x=1；（2）x（2x -3）=4x-6四、解答题（本大题共 9 小题，共 86.0 分）20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k-1）x+k 2=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围第 3 页，共 18 页21. 如图，点 C 在
6、 O 上，弦 ABOC，垂足为D，AB=8，CD=2 求O 的半径22. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过两个确定点 A、B ，其中 A 为顶点，B 为抛物线与 y 轴的交点（1）由抛物线的性质可知，该抛物线还经过一个确定点 C，请写出找点 C 的方法（不要求画图）；（2）若 A（1，4）、B（0，3），求抛物线的解析式23. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号 1，2，3，随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号的和等于 4 的概率24. 如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，ACB=60（1）求
7、P 的度数；（2）若 O 的半径长为 2cm，求图中阴影部分的第 4 页，共 18 页面积25. 某商品的进价为每件 20 元，市场调查反映，若按每件 30 元销售，每天可销售100 件；若销售单价每上涨 1 元，每天的销售就减少 5 件（1）设每天该商品的销售利润为 y 元，销售单价为 x 元（x30），求 y 与 x 的函数解析式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？26. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量为 p 时，其函数值等于p，则称 p 为这个函数的不变值，在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的
8、不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度 q 为零（1）判断函数 y= 有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度142（2）函数 y=3x2-bx若其不变长度为零，求 b 的值；若 2b5，求其不变长度 q 的取值范围27. 已知，ABC 中， ACB=90，AC =BC=8，点 A 在半径为 5 的O 上，点 O 在直线 l 上（1）如图，若O 经过点 C，交 BC 于点 D，求 CD 的长（2）在（1）的条件下，若 BC 边交 l 于点 E，OE=2 ，求 BE 的长7（3）如图，若直线 l 还经过点 C，BC 是 O 的切线， F 为切点，则 CF 的长为_第 5 页，共 18
9、 页28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（2，-2 ）在二次函数 y=x2+mx+n（m 0）的图象上（1）若 m-n=3，求 m、n 的值（2）若该二次函数的图象与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B，则 OA=OB成立吗？请说明理由（3）若该二次函数图象向左平移 k 个单位，再向上平移 4m 个单位，所得函数图象仍经过点 P，当 k-2 时，求所得函数图象的顶点纵坐标的取值范围第 6 页，共 18 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、不是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、不是一元二次方程，故
10、此选项错误； 故选：C 根据一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2 进行分析即可此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面：“化简后” ；“一个未知数”；“ 未知数的最高次数是 2”；“二次项的系数不等于 0”；“整式方程”2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形故本选项正确； B、不是中心对称图形故本选项错误； C、不是中心对称图形故本选项错误； D、不是中心对称图形故本选项错误 故选：A根据中心对称图形的概念求解本题考查了中心对称
11、图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合3.【答案】B【解析】第 7 页，共 18 页解：二次函数 y=x2-2 的顶点坐标是（0，-2） 故选：B 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键4.【答案】D【解析】解：A、任意画一个三角形，其内角和是 360，是不可能事件，故此选项错误； B、通常加热到 100时，水沸 腾，是必然事件，故此选项错误； C、太阳从东方升起，是必然事件，故此 选项错误； D、购买 一张 彩票，中 奖，是随机事件，故此 选项正确 故选：D直接利用随机事件以及不可能事件可必
12、然事件的定义分析得出答案此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键5.【答案】B【解析】解：当 x=0 时 ，y=x2-4x-4=-4；当 x=1 时，y=x 2-4x-4=-7；当 x=-1 时，y=x 2-4x-4=1；当 x=2 时 ，y=x2-4x-4=-8， 所以点（1，-7 ）在抛物线 y=x2-4x-4 上 故选：B 分别计算出自变量为 0、1、-1、和 2 所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式6.【答案】D【解析】第 8 页，共 18 页解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，
13、BAD=100，B=ADB= （180-100）=40故选：D根据旋转的性质可得出 AB=AD、BAD=100，再根据等腰三角形的性质可求出 B 的度数，此题得解本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出B 的度数是解 题的关键7.【答案】A【解析】解：圆锥的侧面积=2242=8 ， 故选：A圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相 应数值代入即可求解本题考查圆锥的侧面积的求法，解题的关键是熟记圆锥的侧面积的计算公式8.【答案】C【解析】解：作 AB 的垂直平分线，作 BC 的垂直平分线，如图， 它们都经过 Q，所以点 Q 为这条圆弧所在圆的圆心 故选：C 根
14、据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作 AB，BC 的垂直平分线即可得到答案本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心这也常用来确定圆心的方法9.【答案】B【解析】解：由题意 n=6 时， = =3，故选：B 设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L，圆的直径 为 d，则 ，延长即可第 9 页，共 18 页解决问题；本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成 n（n是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆10.【答案】A【解析】解：当 a0 时，|x1-h|x 2-h|，点（x 2，y
15、2）离对称轴 x=h 远，y1y 2，a（y1-y2）0 当 a0 时，点（x 2，y2）离对称轴 x=h 远，y1y 2，a（y1-y2）0 综上所述，a （y1-y2）0，故选：A分两种情形画出图象，利用二次函数的性质求解即可；本题考查二次函数的图象的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型11.【答案】（1，2）【解析】解：点（-1 ，-2）关于原点 O 对称的点的坐标是：（1，2） 故答案为：（1，2）第 10 页，共 18 页直接利用关于原点对称点的性质得出答案此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出横纵坐标的符号是解题关键12.【答案】内【解析】解：r=
16、5 ，d=4， dr， 点 A 在O 内， 故答案为内点与圆的位置关系有 3 种设 O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外dr；点 P 在圆上d=r；点 P 在圆内dr，由此即可判断；本题考查点与圆的位置关系，记住：点 P 在圆外dr； 点 P 在圆上d=r；点 P 在圆内 dr 是解题的关键13.【答案】2【解析】解：一元二次方程 x2-2x-3=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2， 根据韦 达定理， x1+x2=2， 故答案为：2一元二次方程 x2-2x-3=0 的两个 实数根分别为 x1 和 x2，根据根与系数的关系即可得出答案本题考查了根与系数的关系
17、，难度不大，关 键掌握 x1，x2 是方程 x2+px+q=0的两根时，x 1+x2=-p，x1x2=q14.【答案】110【解析】解：从中任意抽取 1 件检验，则抽到不合格产品的概率是 1：10= 故答案为： 根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答第 11 页，共 18 页本题主要考查概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 15.【答案】50【解析】解：由圆周角定理得， ACB= AOB=50，故答案为：50根据圆周角定理计算即可本题考查的是圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理是解题的关键16.【答
18、案】x=-1【解析】解：抛物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（-3，0）、（1，0），这条抛物 线的对称轴是直线 x= =-1，故答案为：x=-1根据抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（-3，0）、（1，0），可以求得这条抛物线的对称轴，本题得以解决本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答17.【答案】600【解析】解：s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， 则当 t=20 时 ，s 取得最大值，此 时 s=600， 故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m 故答案为：600将 s
19、=60t-1.5t2，化为顶点式，即可求得 s 的最大值，从而可以解答本 题本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会将二次函数的一般式化为顶点式，根据 顶点式求函数的最值18.【答案】180-2【解析】第 12 页，共 18 页解：四 边形 ABCD 内接于 O， ADC+ABC=180，ECD=A=，BCF=A=， EDC+FBC=180， E+F=360-180-2=180-2， 故答案为：180-2根据圆内接四边形的性质得到ADC+ABC=180 ，ECD=A=，BCF=A=，根据三角形内角和定理计算即可本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌
20、握圆内接四边形的对角互、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键19.【答案】解：（1）x 2-2x=1，x2-2x+1=1+1，即（x-1） 2=2，则 x-1= ，2x1=1+ ，x 2=1- ；2 2（2）x（2x-3）=2 （2x-3），x（2x-3）-2（2x-3）=0 ，则（2x-3 ）（x-2）=0，2x-3=0 或 x-2=0，解得：x 1= ，x 2=232【解析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方
21、法是解题的关键20.【答案】解：关于 x 的一元二次方程 x2-（2k-1）x+k 2=0 有两个不相等的实数根，=-（ 2k-1） 2-41k20即-4k+10，k 14【解析】计算根的判别式，由题意得到关于 k 的不等式，求解即可本题考查了根的判别式，题目比较简单根的判 别式 =b2-4ac第 13 页，共 18 页21.【答案】解：连接 OB在 O 中，弦 ABOC，垂足为 D，AD=BD= AB=412设 O 的半径为 r在 RtBOD 中， BD2+OD2=OB2，即 42+（r-2 ） 2=r2解方程，得 r=5所以 O 的半径为 5【解析】连接 OB，根据垂径定理求出 BD，根据
22、勾股定理得出方程，求出方程的解即可本题考查了垂径定理和勾股定理，能得出关于 R 的方程是解此 题的关键22.【答案】解：（1）过点 A 作直线 MNx 轴，作点 B关于直线 MN 的对称点 C，则点 C 即为所求；（2）A 为顶点，设抛物线的解析式为：y=a（x-1） 2+4，把 B（0，3）代入得，3=a（0-1） 2+4，解得 a=-1，y=-（x-1 ） 2+4，即抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3【解析】（1）根据二次函数的性质即可得到结论； （2）根据待定系数法即可求得二次函数的解析式本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的
23、关键23.【答案】解：画树状图得：则共有 9 种等可能的结果，两次摸出的小球标号的和等于 4 的情况有 3 种，第 14 页，共 18 页所以两次取出的小球的标号的和等于 4 的概率为 = 3913【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号的和等于 4 的情况，再利用概率公式即可求得答案本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式 计算事件 A 或事件 B 的概率24.【答案】解：（1）连接 OA、OB ，PA、PB 是O 切线，PAOA，PBOB，PAO=P
24、BO=90，P+PAO+AOB+PBO=360，P=180-AOB，ACB=60，AOB=2ACB=120，P=180-120=60，（2）如图，连接 OP，PA，PB 是O 的两条切线，OAAP，OBPB，OP 平分 APB，PAO=PBO=90， APO= 60=30，12AOB=180-APB=180-60=120，在 RtPAO 中， OA=2，APO=30 ，AP= OA=2 ，3 3SPAO= 22 =2 ，12 3 3阴影部分的面积= S 四边形 AOBP-S 扇形 AOB=22 - =4 - 312022360 343【解析】（1）先证明P=180- AOB，根据 AOB=2A
25、CB 求出 AOB 即可解决问题（2）连接 OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到 PAO=PBO=90，APO=30，则 根据四边形内角和得到 AOB=180-APB=120，再在 RtPAO 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AP= OA=2 ，则 SPAO=2 ，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S 四边形 AOBP-S 扇第 15 页，共 18 页形 AOB 进行计算本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系会利用面 积的和差计算不规则图形的面积25.【答案】解：（1）根据题意得，y=（x-20）
26、100-5（x-30）=-5 x2+350x-500；y=-5x 2+350x-500=-5（x -35） 2+1125-5 0，函数图象开口向下，y 有最大值，当 x=35 时，y max=1125，故当单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为 1125 元【解析】直接利用总 利润= 每件商品利润每天的销售量，进而得出答案 将以上所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；本题考查了二次函数的应用、最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，找到等量关系并依据等量关系列出解析式是关键26.【答案】解：（1）有由题意得：x= x2，解得：x=0 或 x=4；14当
27、 x=0 时，y=0，当 x=4 时，y=4，故：不变长度为：4-0=4；（2）由题意得：x=3x 2-bx，解得：x=0 或 x= ，+13即：x=0 或 x= 时，其 y 值相等，即：0= ，+13 +13故：b=-1；当 b=2 时，x=0 或 x=1，则：不变长度 q=1-0=1，当 b=5 时，x=0 或 x=2，则 q=2，故：1q2【解析】（1）有由题意得：x= x2，解得：x=0 或 x=4；当 x=0 时，y=0，当 x=4 时，y=4，即可求解；（2）由题意得：x=3x 2-bx，解得：x=0 或 x= ，即：x=0 或 x= 时，其 y值相等，即：0= ，故：b=-1；当
28、 b=2 时， x=0 或 x=1，则：不变长度 q=1-第 16 页，共 18 页0=1，当 b=5 时 ，x=0 或 x=2，则 q=2，即可求解本题是二次函数综合题，主要考查的是对概念的理解，此类题目主要是要弄懂题意，仔细求解27.【答案】4【解析】解：（1）如图：连接 ADACB=90，AD 是直径AD=10在 RtACD 中，CD= = =6（2）如图：过点 O 作 OFCD，垂足 为 FOFCDCF=DF=3，且 AO=DOOF= AC=4在 RtOFE 中，EF= = =2BE=BC-CF-EFBE=8-3-2 =5-2（3）如图：连接 OF，OA，过点 O 作 OEAC 于点
29、E，第 17 页，共 18 页BC 是 O 的切线OFBC，BFO=ACB=90，OECE，四边形 OECF 是矩形CF=OE，FO=CE=5，AE=AC-CE=3在 RtAEO 中，OE= =4，CF=4故答案为：4（1）由圆周角定理可得 AD 是直径，根据勾股定理可求 CD 的长；（2）过点 O 作 OFCD，垂足为 F，根据垂径定理可得 CF=DF=3，根据中位线定理可得 OF=4，根据勾股定理可求 EF 的长，即可求 BE 的长；（3）连接 OF，OA，过点 O 作 OEAC 于点 E，可证四边形 OECF 是矩形，可得 CF=OE，FO=CE=5，由勾股定理可求 AE 的长，即可求
30、CF 的长本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形中位 线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练运用切线的性质是本题的关键28.【答案】解：（1）把点 P（2，-2）代入 y=x2+mx+n 得，-2=4+2m+n，2m+n=-6当 m-n=3 时，解得：m=-1， n=-4；（2）令 x=0，则 y=n，A（0，n），OA =n，函数的对称轴为 x=- m，OB = ，12 12OA=OB，则：m=2n，2m+n=-6，当 m=2n 时，m=- （舍去）；125当 m=-2n 时，m=-4（舍去）故不成立；（3）平移后的函数解析式为 y=（x+k） 2+m（x+k）+n+4=（x+k） 2
31、+m（x+k）-6-第 18 页，共 18 页2m+4=（ x+k） 2+m（x +k）-2m-2 ，P（ 2，-2）在图象上，k（k+4+2m）=0当 k=0 时，m=-2（舍去）；当 k0 时，k=-4-2m，k-2，m -2，0 m -2，函数顶点纵坐标为 =- （m +4） 2+2，2884 14-2 - （m+4） 2+21；14【解析】（1）把点 P（2，-2）代入 y=x2+mx+n，得 2m+n=-6，结 合 m-n=3 即可求解；（2）由 OA=OB，得 m=2n，结合（1）中 2m+n=-6，求解 m 的值；（3）平移后的函数解析式为 y=（x+k）2+m（x+k）-2m-2，P（2，-2）在图象上，得到 k（k+4+2m）=0 分 k=0 和 k0讨论得到 0m-2 ，函数顶点纵坐标为=- （m+4）2+2，结合 m 的取值范围确定纵坐标取值范围；本题考查二次函数图象上点的特点，函数图象的平移；根据题意列出关系式，准确列出平移后函数表达式，并能结合题意确定 m 的取值范围是解题的关键
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