1、 - 1 - 2019 届江西省重点中学高三下学期第一次联考 高三数学试卷（文科） 第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡上 .） 1. 是虚数单位， 则 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 【答案】 B 2.集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为 1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中中年人数为 12 人，则 n=（ ） A. 30 B. 40
2、C. 60 D. 80 【答案】 B 4.“ ” 是 “ 方程 表示焦点在 轴上的双曲线 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充 分也不必要条件 【答案】 B 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 时， f(x)= ， ，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 6.已知等差数列 中， ，则数列 的前 2018 项和为（ ） A. 1008 B. 1009 C. 2017 D. 2018 【答案】 D 7.已知点 为圆 上一点， ,则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 8.已知函数 ，且 ，则 的最
3、小值为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 C 9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为 ，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 10.已知 分别是椭圆 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点 ,使得 的面积为，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 11.在平面四边形 中， ， ， ，现沿对角线 折起，使得平面平面 ，则此时得到的三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 12.已知函数 ,若关于 的方程 有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D.
4、 【答案】 D 第 卷（非选择题，共 80 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡上） 13.已知向量 ， ，则向量 在 上的投影为 _ 【答案】 - 3 - 14.在平面直角坐标 系中，若 满足约束条件 ，则 的最大值为 _. 【答案】 15.若过定点 的直线 与曲线 相交不同两点 ， ，则直线 的斜率的取值范围是 _ 【答案】 16.在如图所示的四边形区域 中， ， ， ,现园林绿化师计划在区域外以 为边增加景观区域 ,当 时，景观区域面积的最大值为 _. 【答案】 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程
5、和演算步骤 .） （一）必考题：共 60 分 . 17.已知正项数列 是公差为 的等差数列，且 是 与 的等比中项 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若 ，求数列 的前 项 和 . 【答案】 (1) (2) 【解析】 【详解】（ 1） 数列 是公差为 的等差数列， 又 是 与 的等比中项， ， 解得 舍掉） 故数列 的通项公式为 ， 【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意 的提系数 ，和裂项后剩余几项是易错点 . - 4 - 18.进入 月份，香港大学自主招生开始报名， “ 五校联盟 ” 统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如
6、图所示的成绩频率分布直方图： （ 1）估计五校学生综合素质成绩的平均值； （ 2）某 校决定从本校综合素质成绩排名前 名同学中，推荐 人参加自主招生考试，若已知 名同学中有 名理科生， 2 名文科生，试求这 3 人中含文科生的概率 . 【答案】 (1) 平均值为 (2) 【解析】 【分析】 （ 1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（ 2）由列举法，从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果共20 种， 含有文科学生的有 16 种，求解即可 . 【详解】（ 1）依题意可知： ， 所以综合素质成绩的的平均值为 . （ 2）设这 名同学分别为 其中设 为文科生， 从 6 人中选出 3 人，所有
7、的可能的结果 共 20 种 ， 其中含有文科学生的有 16 种 所以含文科生的概率为 . 【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确 . - 5 - 19.如图，在三棱锥 中， 面 ， BAC= ，且 =1，过 点作平面 ，分别交于 点 . （ 1）若 求证： 为 的中点； （ 2）在（ 1）的条件下，求点 到平面 的距离 【答案】 (1)见证明 (2) 【解析】 【分析】 （ 1）取 中点 ，连接 ,证明 面 ，进而 ， ；（ 2）利用等体积转化即可 . 【详解】（ 1）取 中点 ，连接 ， 面 ， ，又 为 的中点， 为 的中点 （ 2）设点 到平面 的
8、距离为 ， 为 的中点， 又 ， ， ， - 6 - 又 ， ， AM= ， 可得 边 上的高为 ， 由 h= 【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质 ,及求 是关键 . 20.已知动圆 过定点 ,且在 轴上截得的弦长为 ，设该动圆圆心的轨迹为曲线 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）直线 过曲线 的焦点 ，与曲线 交于 、 两点，且 , 都垂直于直线 ，垂足分别为 ，直线 与 轴的交 点为 ,求证 为定值 . 【答案】 (1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （ 1）设动圆圆心坐标为 C(x,y)，由题意得 ，能求出曲线方程；（ 2）设代入 【详解】（
9、）设动圆圆心坐标为 C(x,y)，根据题意得 ， 化简得 （ ）设 ， ,由题意知 的斜率一定存在设 ， 则 ，得 所以 ， ， ， 又 - 7 - = 【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意 转化为以 FQ 为底比较简便 . 21.已知函数 （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）令 ，若对任意的 ，恒有 成立，求实数 的最大整数 . 【答案】（ 1）见解析（ 2） 7 【解析】 【分析】 （ 1） 讨论 和 两种情况；（ 2）由 成立转化为 ，分离 k,构造函数求最值即可 . 【详解】（ 1）此函数的定义域为 ， （ 1）当 时， 在 上单调递增
10、， （ 2）当 时， 单调递减， 单调增 综上所述：当 时， 在 上单调递增 当 时， 单调递减， 单调递增 . （ 2）由（ ）知 恒成立，则只需 恒成立， 则 ， 令 则只需 则 单调递减， 单调递增， 即 的最大整数为 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强 ,第二问转化为是关键 . （二）选考题（共 10 分 .请考生在第 22、 23 题中 任选一道 作答，如果多做，则按所做的第 1 题计分 .） - 8 - 22.在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （
11、 ）写出直线 的参数方程及曲线 的直角坐标方程； （ ）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且弦 的中点为 ，求 的值 . 【答案】 (1) (2)2+2 【解析】 【分析】 (1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（ 2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数 【详解】 (1)直线 的参数方程为： 为参数）， 曲线 的直角坐标方程为： （ 2）直线 的参数方程代入 得： 【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数 t= 23.已知函数 . （ ）解关于 的不等式 ； （ ）若 ， 的解集非空，求实数 的
12、取值范围 . 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 试题分析：第一步根据 解含 绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于 的不等式 ，得到不等式等价于 的解集非空，根据 “ 极值原理 ” ，只需 大于 的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到 的取值范围 . 试题解析： （ 1）原不等式可化为： 即： 或 由 得 或 - 9 - 由 得 或 综上原不等式的解为 或 （ 2）原不等式等价于 的解集非空， 令 ，即 ， 由 ，所以 ， 所以 . 【 点睛 】 解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：， ；第二种不等式两边均有一个绝对值 符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用 “ 极值原理 ” 求参数的取值范围是常见题型常用方法 .
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