1、2018-2019 学年中考数学模拟试卷三一选择题（共 12 小题，12*3=36）15 的倒数是（ ）A B5 C5 D2函数 y 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx 23若 mn1，则（mn） 22m+2 n 的值是（ ）A3 B2 C1 D14在 66 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是（ ）A向下移动 1 格 B向上移动 1 格C向上移动 2 格 D向下移动 2 格5下列运算正确的是（ ）Aa+2a 23a 3 Ba 2a3a 6 C（a 3） 2a 5 Da 6a2a 46如图所示的几何体是由 4 个
2、大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）A BC D7估计 的值是（ ）A在 3 与 4 之间 B在 4 与 5 之间 C在 5 与 6 之间 D在 6 与 7 之间8袋子里有 4 个黑球，m 个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的频率是 0.20，则 m 的值是（ ）A1 B2 C4 D169如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE DF 的是（ ）AAECF BBEDF CEBFFDE DBED BFD10如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于 O，AD 1，BC 4，则AO
3、D 与BOC 的面积比等于（ ）A B C D11如图，已知双曲线 y （k0）经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C若点 A 的坐标为（6，4），则AOC 的面积为（ ）A12 B9 C6 D412如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线 ya（xm ） 2+n 的顶点在线段 AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标最大值为（ ）A3 B1 C5 D8二填空题（共 6 小题，6*4=24）13分解因式 4ab29a 3 14若 a22a40
4、，则 5+4a2a 2 15若方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，则 的值为 16如图，Rt ABC 的斜边 AB16，RtABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 RtABC，则 RtAB C 的斜边 AB 上的中线 CD 的长度为 17如图，已知OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为 18在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB与 CD 相交于 O，则 tanBOD 的值等于 三解答题（共 7 小题，60 分）19（6 分）（1）计算：（2） 1 | |+（ 1） 0+cos
5、45（2）已知 m25m140，求（m1）（2m1）（m+1） 2+1 的值20（6 分）解不等式组 ，并求出它的所有整数解21（8 分）州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a %，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形图（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（3）如果该县共有八年级学生 2000 人，请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少人？22（8 分）已知 BC 是O 的直径
6、，AD 是O 的切线，切点为 A，AD 交 CB 的延长线于点 D，连接 AB，AO（）如图，求证：OACDAB；（）如图，AD AC ，若 E 是O 上一点，求E 的大小23（10 分）如图，大楼 AB 高 16m，远处有一塔 CD，某人在楼底 B 处测得塔顶 C 的仰角为38.5，在楼顶 A 处测得塔顶的仰角为 22，求塔高 CD 的高及大楼与塔之间的距离 BC 的长（参考数据：sin220.37， cos220.93，tan220.40，si38.50.62，cos38.50.78，tan38.5 0.80）24（10 分）在 RtABC 中，ABBC 5，B90，将一块等腰直角三角板的
7、直角顶点 O 放在斜边 AC 上，三角板的两直角边分别交直线 AB、BC 于 E、F 两点（1）如图 ，若 O 为 AC 的中点，点 E、F 分别在边 AB、BC 上当 OFC 是等腰直角三角形时，FOC ；求证： OE OF；（2）如图 ，若 AO：AC 1：4 时，OE 和 OF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论25（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+（k 1）xk 与直线 ykx+1 交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左侧（1）如图 1，当 k1 时，直接写出 A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出AB
8、P 面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）如图 2，抛物线 yx 2+（k 1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），是否存在实数 k 使得直线 ykx+1 与以 O、C 为直径的圆相切？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）15 的倒数是（ ）A B5 C5 D【分析】根据倒数的定义，即可求出5 的倒数【解答】解：5（ ）1，5 的倒数是 故选：D【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键2函数 y 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax2 Bx2 Cx2 Dx 2【分析】根据分式有意义的条件，
9、分母不等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得：2x0，解得：x2故函数 y 中自变量 x 的取值范围是 x2故选：A【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负3若 mn1，则（mn） 22m+2 n 的值是（ ）A3 B2 C1 D1【分析】所求式子后两项提取2 变形后，将 mn 的值代入计算即可求出值【解答】解：mn1，（mn） 22m+2n（m n） 22（mn）1+23故选：A【点评】此题考查了
10、代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型4在 66 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平移方法中，正确的是（ ）A向下移动 1 格 B向上移动 1 格C向上移动 2 格 D向下移动 2 格【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解【解答】解：观察图形可知：从图 1 到图 2，可以将图形 N 向下移动 2 格故选：D【点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换关键是要观察比较平移前后图形的位置5下列运算正确的是（ ）Aa+2a 23a 3 Ba 2a3a 6 C（a 3） 2a 5 Da 6a2a 4【分析】根据合并同类项，可
11、判断 A，根据同底数幂的乘法，可判断 B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断 D【解答】解：A、不是同类项不能合并，故 A 错误；B、底数不变指数相加，故 B 错误；C、底数不变指数相乘，故 C 错误；D、底数不变指数相减，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变指数相减6如图所示的几何体是由 4 个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）A BC D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看一层三个小正方形，故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图7估计 的值是（ ）A在 3 与 4 之间 B在
12、 4 与 5 之间 C在 5 与 6 之间 D在 6 与 7 之间【分析】利用“夹逼法”得到：253236，然后开方即可得到答案【解答】解：253236，5 6， 的值在 5 与 6 之间故选：C【点评】本题考查了估算无理数的大小注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法8袋子里有 4 个黑球，m 个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的频率是 0.20，则 m 的值是（ ）A1 B2 C4 D16【分析】根据概率公式列出从中任取一个球恰好是白球的概率，求出 m 的值
13、即可【解答】解：袋子里有 4 个黑球，m 个白球，若从中任取一个球恰好是白球的概率是 ，根据题意可得： 0.2，解得 m1故选：A【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 9如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE DF 的是（ ）AAECF BBEDF CEBFFDE DBED BFD【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，ADBC，然后由AE CF，EBF FDE， BEDBFD 均可判定四边形 BFDE 是平
14、行四边形，则可证得BE DF，利用排除法即可求得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，A、AECF，DEBF，四边形 BFDE 是平行四边形，BEDF ，故本选项能判定 BEDF；B、BEDF，四边形 BFDE 是等腰梯形，本选项不一定能判定 BEDF；C、ADBC，BED+EBF180，EDF+BFD180，EBF FDE，BEDBFD，四边形 BFDE 是平行四边形，BEDF ，故本选项能判定 BEDF；D、ADBC，BED+EBF180，EDF+BFD180，BEDBFD，EBF FDE，四边形 BFDE 是平行四边形，BEDF ，故本选项能判定 BEDF故
15、选：B【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质注意根据题意证得四边形 BFDE 是平行四边形是关键10如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于 O，AD 1，BC 4，则AOD 与BOC 的面积比等于（ ）A B C D【分析】由梯形 ABCD 中，ADBC，可得AODCOB ，又由 AD1，BC 4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得AOD 与BOC 的面积比【解答】解：梯形 ABCD 中，ADBC，AOD COB ，AD1，BC4，即 AD：BC1：4，AOD 与 BOC 的面积比等于： 1：16故选：D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质此题比较简
16、单，注意掌握数形结合思想的应用11如图，已知双曲线 y （k0）经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C若点 A 的坐标为（6，4），则AOC 的面积为（ ）A12 B9 C6 D4【分析】AOC 的面积AOB 的面积BOC 的面积，由点 A 的坐标为（6，4），根据三角形的面积公式，可知AOB 的面积12，由反比例函数的比例系数 k 的几何意义，可知BOC的面积 |k|只需根据 OA 的中点 D 的坐标，求出 k 值即可【解答】解：OA 的中点是 D，点 A 的坐标为（6，4 ），D（3，2），双曲线 y 经过点 D，k326，BOC 的面积 |k|3又
17、AOB 的面积 6412，AOC 的面积AOB 的面积BOC 的面积1239故选：B【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系，即 S |k|12如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线 ya（xm ） 2+n 的顶点在线段 AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标最大值为（ ）A3 B1 C5 D8【分析】当 C 点横坐标最小时，抛物线顶点必为 A（1，4），根据此时
18、抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当 D 点横坐标最大时，抛物线顶点为 B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及 CD 的长，可判断出 D 点横坐标最大值【解答】解：当点 C 横坐标为 3 时，抛物线顶点为 A（1，4），对称轴为 x1，此时 D 点横坐标为 5，则 CD8；当抛物线顶点为 B（4，4）时，抛物线对称轴为 x4，且 CD8，故 C（0，0），D（8，0）；由于此时 D 点横坐标最大，故点 D 的横坐标最大值为 8；故选：D【点评】能够正确地判断出点 C 横坐标最小、点 D 横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键二填空题（共 6 小题）13分解因式 4ab29a 3
19、a（2b+3a）（2b3a） 【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：原式a（4b 29a 2）a（2b+3a）（2b3a）故答案为：a（2b+3a）（2b3a）【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键14若 a22a40，则 5+4a2a 2 3 【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：a 22a40，即 a22a4，原式52（a 22a）583，故答案为：3【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键15若方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，则 的值为 3 【分析】由方程 x2
20、3x 10 的两根为 x1、x 2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得x1+x23，x 1x21，又由 ，代入求解即可求得答案【解答】解：方程 x23x 10 的两根为 x1、x 2，x 1+x23，x 1x21， 3故答案为：3【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的加减运算此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为 1，常用以下关系：x 1，x 2 是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p，x 1x2q 性质的应用16如图，Rt ABC 的斜边 AB16，RtABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 RtABC，则 RtAB C 的斜边 AB 上的中线 CD 的长
21、度为 8 【分析】根据旋转的性质得到 ABAB16，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可【解答】解：RtABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt ABC，ABAB16，CD 为 RtA BC的斜边 AB上的中线，CD AB8故答案为：8【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了直角三角形斜边上的中线性质17如图，已知OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为 5 【分析】过点 B 作 BD直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx
22、轴，交 x 轴于点 E则OB 由于四边形 OABC 是平行四边形，所以 OABC，又由平行四边形的性质可推得OAF BCD，则可证明OAFBCD，所以 OE 的长固定不变，当 BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求【解答】解：过点 B 作 BD 直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点 E，直线 x1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x4 与 AB 交于点 N，如图：四边形 OABC 是平行四边形，OABBCO，OCAB，OABC，直线 x1 与直线 x4 均垂直于 x 轴，AMCN，四边形 ANCM 是平行四边形，MANNCM，OAFB
23、CD，OFABDC90，FOADBC，在OAF 和BCD 中，OAFBCDBDOF 1，OE4+1 5，OB 由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时（即 B 点在 x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OBOE5故答案为：5【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键18在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB与 CD 相交于 O，则 tanBOD 的值等于 3 【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得 tanBOD的值
24、，本题得以解决【解答】解：方法一：平移 CD 到 CD交 AB 于 O，如右图所示，则BODBOD ，tanBOD tanBOD，设每个小正方形的边长为 a，则 OB ，OD ，BD3a，作 BEOD于点 E，则 BE ，OE ，tanBO E ，tanBOD 3，故答案为：3方法二：连接 AM、NL ，在CAH 中，ACAH，则 AMCH ，同理，在MNH 中，NMNH，则 NL MH，AMONLO90，AOMNOL，AOMNOL， ，设图中每个小正方形的边长为 a，则 AM2 a，NL a， 2， ， ，NL LM， ，tanBOD tanNOL 3，故答案为：3方法三：连接 AE、EF
25、，如右图所示，则 AECD，FAE BOD，设每个小正方形的边长为 a，则 AE ，AF ，EF a， ，FAE 是直角三角形，FEA90，tanFAE ，即 tanBOD 3，故答案为：3【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答三解答题（共 7 小题）19（1）计算：（2） 1 | |+（ 1） 0+cos45（2）已知 m25m140，求（m1）（2m1）（m+1） 2+1 的值【分析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（
26、2）原式利用多项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式 2 +1+ ； （2）（m1）（2m1）（m+1 ） 2+12m 2m2m+1（m 2+2m+1）+1 2m 2m2m+1m 22m1+1 m 25m+1，当 m25m14 时，原式（m 25m）+114+115【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20解不等式组 ，并求出它的所有整数解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 2
27、x+30，得：x1.5，解不等式 5 x0，得：x 3，则不等式组的解集为1.5x3，所以不等式组的整数解为1、0、1、2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a 10 %，并写出该扇形所对圆心角的度数为 36 ，请补全条形图（2）在这次抽样调查中，众数和中位数
28、分别是多少？（3）如果该县共有八年级学生 2000 人，请你估计“活动时间不少于 7 天”的学生人数大约有多少人？【分析】（1）根据各部分所占的百分比的和等于 1 列式计算即可求出 a，再用 360乘以所占的百分比求出所对圆心角的度数，然后用被抽查的学生人数乘以 8 天所占百分比求出 8 天的人数，补全条形统计图即可；（2）用众数和中位数的定义解答；（3）用总人数乘以“活动时间不少于 7 天”的百分比，计算即可得解【解答】解：（1）a1（40%+20%+25%+5%）190% 10%，所对的圆心角度数36010%36，被抽查的学生人数：24040%600 人，8 天的人数：60010%60 人
29、，补全统计图如图所示：故答案为：10，36；（2）参加社会实践活动 5 天的人数最多，所以，众数是 5 天，600 人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第 300 人和 301 人都是 6 天，所以，中位数是 6 天；（3）2000（25%+10%+5% ）200040% 800 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小除此之外，本题也考查了中位数、众数的认识22已知 BC 是O 的直径，AD 是O 的切线，切点为 A，AD 交 CB
30、 的延长线于点 D，连接AB， AO（）如图，求证：OACDAB；（）如图，AD AC ，若 E 是O 上一点，求E 的大小【分析】（）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；（）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出ABC2C ，即可求出C【解答】解：（）AD 是 O 的切线，切点为 A，DAAO ，DAO 90 ，DAB+BAO 90，BC 是O 的直径，BAC90，BAO+OAC90，OACDAB，（）OAOC，OACC，ADAC，DC，OACD，OACDAB，DABD，ABCD+DAB，ABC2D，DC，ABC2C，BAC90，ABC+ C90，2C+C 90，C30，EC3
31、0【点评】此题是切线的性质题，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出ABC2D23如图，大楼 AB 高 16m，远处有一塔 CD，某人在楼底 B 处测得塔顶 C 的仰角为 38.5，在楼顶A 处测得塔顶的仰角为 22，求塔高 CD 的高及大楼与塔之间的距离 BC 的长（参考数据：sin220.37， cos220.93，tan220.40，si38.50.62，cos38.50.78，tan38.5 0.80）【分析】过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知：CAE22，CBD38.5，EDAB16 米，设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AEBDx，分
32、别在 RtBCD 中和 RtACE 中，用x 表示出 CD 和 CEAE ，利用 CDCE DE 得到有关 x 的方程求得 x 的值即可【解答】解：过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知：CAE22，CBD38.5，ED AB16 米，设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AEBDx，在 RtBCD 中，tanCBD ，CDBD tan 38.50.8x，在 RtACE 中，tanCAE ，CEAE tan 220.4x，CDCEDE，0.8x0.4x16，x40，即 BD40（米），CD0.84032（米），答：塔高 CD 是 32 米，大楼与塔之间的距离 BD 的长为 40
33、 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答24在 RtABC 中，ABBC 5，B90，将一块等腰直角三角板的直角顶点 O 放在斜边 AC上，三角板的两直角边分别交直线 AB、BC 于 E、F 两点（1）如图 ，若 O 为 AC 的中点，点 E、F 分别在边 AB、BC 上当 OFC 是等腰直角三角形时，FOC 90或 45 ；求证： OE OF；（2）如图 ，若 AO：AC 1：4 时，OE 和 OF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论【分析】（1）分两种情形分别求解即可；图中，连接 OB只要证明BOEC
34、OF，可得 OEOF ；（2）结论：OF3OE首先证明ANOOMC，可得 ，再证明ONEOMF，可得 ；【解答】（1）解：当 OFOC，C OFC45，FOC90当 FCFO 时，FOCC45，故答案为 90或 45证明：如图 中，连接 OBBABC， ABC90， OAOC，OBOA OC，ABO C45，OB AC ，EOFBOC90，EOBFOC，BOECOF，OEOF （2）解：结论：OF3OE理由如下：作 OM BC 于 M，ON AB 于 NANOABC90，ONBC，AONC，ANOOMC，ANOOMC， ，OA：AC1：4，OA：OC1：3，ON：OM1：3，MONEOF，EO
35、NMON，ONEOMF，ONEOMF， 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型25在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+（k 1）xk 与直线 ykx+1 交于 A、B 两点，点 A 在点B 的左侧（1）如图 1，当 k1 时，直接写出 A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）如图 2，抛物线 yx 2+（k 1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、
36、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），是否存在实数 k 使得直线 ykx+1 与以 O、C 为直径的圆相切？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）当 k1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点 A、B 的坐标；（2）如答图 2，作辅助线，求出ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点 P的坐标；（3）设直线 ykx+1 与以 O、C 为直径的圆相切的切点为 Q，以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，由圆周角定理可知，此时 OQC90且点 Q 为唯一以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得 k 的值需要另外注意一点是考虑直线 AB
37、 是否与抛物线交于 C 点，此时不存在【解答】解：（1）当 k1 时，抛物线解析式为 yx 2 1，直线解析式为 yx +1联立两个解析式，得：x 21x+1，解得：x1 或 x2，当 x1 时，y x +10；当 x2 时，yx+13，A（1，0），B（2，3）（2）设 P（x， x21）如答图 2 所示，过点 P 作 PFy 轴，交直线 AB 于点 F，则 F（x ，x+1）PFy Fy P（x+1）（x 21）x 2+x+2SABP S PFA +SPFB PF（x Fx A）+ PF（x Bx F） PF（x Bx A） PFS ABP （x 2+x+2） （x ） 2+当 x 时，y
38、 Px 21 ABP 面积最大值为 ，此时点 P 坐标为（ ， ）（3）设直线 AB：y kx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，则 E（ ，0），F（0，1），OE ，OF1在 Rt EOF 中，由勾股定理得：EF 令 yx 2+（k1）xk0，即（x+k）（x 1）0，解得：xk 或 x1C（k，0）， OCk、设直线 ykx+1 与以 O、C 为直径的圆相切的切点为 Q，如答图 3 所示，则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，根据圆周角定理，此时OQC 90设点 N 为 OC 中点，连接 NQ，则 NQEF，NQCNON ENOEON NEQFEO，EQNEOF90，EQNEOF， ，即： ，解得：k ，k0，k 存在实数 k 使得直线 ykx+1 与以 OC 为直径的圆相切，此时 k 、若直线 AB 过点 C 时，此时直线与以 OC 为直径的圆要相切，必有 ABx 轴，而直线 AB 的解析式为 ykx+1，不可能相切，综上所述，k 时，使得直线 ykx+1 与以 OC 为直径的圆相切【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“使得直线 ykx +1 与以 O、C 为直径的圆相切”的含义
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