1、2019 年西藏拉萨市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 Ax|yln（x1），B x|x2 40，则 AB（ ）A x|x2 Bx|1x2 C x|1x2 D x|x22（5 分）若复数 z 满足（z+1）i1+i，则| z|（ ）Ai B1i C D13（5 分）在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）A B C
2、D4（5 分）（x+y ）（2x y） 5 的展开式中的 x3y3 系数为 （ ）A80 B40 C40 D805（5 分）经统计，某市高三学生期末数学成绩 XN（85， 2），且 P（80X90）0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是（ ）A0.35 B0.65 C0.7 D0.856（5 分）将函数 ysin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）A（ ，0） B（ ，0） C（ ， 0） D（ ，0）7（5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点（b，4），则 C 的离心率为（ ）A B C D38（5 分）如图所示算法框图，当输入的
3、x 为 1 时，输出的结果为（ ）A3 B4 C5 D69（5 分）某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积是（ ）A B C12 D10（5 分）已知等差数列a n的前 n 项和 Snn 2+bn+c，等比数列 bn的前 n 项和Tn3 n+d，则向量 （c，d ）的模长为（ ）A1 B C D无法确定11（5 分）设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F 2，以 F1 为圆心，|F 1F2|为半径的圆与 E 交于P，Q 两点若PF 1F2 为直角三角形，则 E 的离心率为（ ）A 1 B C D +112（5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x
4、）的导函数为 f（x），且 f（x）+f （x ）1，设af（2）1，be f（3）1 ，则 a，b 的大小关系为（ ）Aab Bab Cab D无法确定二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 的最大值为 14（5 分）已知函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 15（5 分）古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可
5、求得该女子第 3 天所织布的尺数为 16（5 分）设函数 f（x ）e x（2x1）ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得f（x 0）0，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a（ sinBcosC）（c b）cosA（1）求 A；（2）若 b ，点 D 在 BC 边上，CD2，ADC ，求ABC 的面积18（12 分）某食品公司研发生产一种新的零
6、售食品，从产品中抽取 200 件作为样本，测量这些产品的项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：（1）求直方图中 a 的值；（2）由频率分布直方图可认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布N（200，144），试计算这批产品中质量指标值落在（ 200，212）上的件数；（3）设产品的生产成本为 y，质量指标值为 x，生产成本与质量指标值满足函数关系式y，假设同组中的每个数据用该组数据区间的右端点代替，试计算生产该食品级的平均成本参考数据：若 ZN （ ， 2），则 P（Z +）0.683，P（2Z +2）0.954，P（3Z+3）0.99719（12 分）如图，四边形 ABCD
7、为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF（1）证明：平面 PEF平面 ABFD；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值20（12 分）设抛物线 E：y 22px （p0）的焦点为 F，直线 xp 与 E 交于 A，B 两点，ABF 的面积为 8 （1）求 E 的方程；（2）若 M，N 是 E 上的两个动点，|MF |+|NF|8，试问：是否存在定点 S，使得|SM|SN|？若存在，求 S 的坐标；若不存在，请说明理由21（12 分）已知函数 f（x）xe xax alnx（1）若 ae，求 f（x）的单调
8、区间；（2）若 f（x） 1，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为，点 P 的极坐标为 （1）求 C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；（2）设 l 与 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，求|PM|选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1| x2|（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式
9、f（x ）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围2019 年西藏拉萨市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 Ax|yln（x1），B x|x2 40，则 AB（ ）A x|x2 Bx|1x2 C x|1x2 D x|x2【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，Bx|2x2；ABx|1 x2故选：C【点评】考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算2（5 分）若复数 z 满足（z+1）i1+i，
10、则| z|（ ）Ai B1i C D1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由（z+1 ）i1+i，得 z+1 ，zi，则|z|1故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5 分）在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）A B C D【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没被选中两门都没被选中包含 1 个基本事件，代入
11、概率公式，即可得到两门都没被选中的概率，则两门至少有一门被选中的概率可得【解答】解：设 A两门至少有一门被选中 ，则 两门都没被选中 ， 包含 1 个基本事件，则 p（ ） ，P（A ）1 故选：D【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题4（5 分）（x+y ）（2x y） 5 的展开式中的 x3y3 系数为 （ ）A80 B40 C40 D80【分析】（2xy ） 5 的展开式的通项公式：T r+1 （2x） 5r （y） r2 5r （1） rx5r yr令 5r2，r3，解得 r3令 5r3，r2，解得 r2即可得出【解答】解：（2xy ） 5 的展开式的通项公式：T r+1 （
12、2x） 5r （y）r2 5r （1） r x5r yr令 5r2，r 3，解得 r3令 5r3，r 2，解得 r2（x+y）（2xy） 5 的展开式中的 x3y3 系数2 2（ 1） 3 +23 40故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5 分）经统计，某市高三学生期末数学成绩 XN（85， 2），且 P（80X90）0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是（ ）A0.35 B0.65 C0.7 D0.85【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解【解答】解：学生成绩 X 服从正态分布 N（85， 2），且 P（80X
13、90）0.3，P（X90） 1P（80X90） ，从该市任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是 0.35故选：A【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题6（5 分）将函数 ysin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）A（ ，0） B（ ，0） C（ ， 0） D（ ，0）【分析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数 ysin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 ysin（2x ），
14、令 2x k ，求得 x + ，k Z，故函数的对称中心为（ + ，0），kZ，故选：A【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7（5 分）已知双曲线 的一条渐近线过点（b，4），则 C 的离心率为（ ）A B C D3【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得 b2，再由离心率公式，计算可得所求值【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 ybx，由题意可得 4b 2，可得 b2，则双曲线的离心率为 e 故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题8（5 分）如图所示算法框图，
15、当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可【解答】解：当 x1 时，x 1 不成立，则 yx+11+12，i0+11，y20 不成立，x2，x1 成立，y 2x4，i1+12，y20 成立，x4，x1 成立，y 2x8，i2+13，y20 成立，x8，x1 成立，y 2x16，i3+14，y20 成立x16，x1 成立，y 2x32，i4+15，y20 不成立，输出 i5，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键9（5 分）某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O
16、 的球面上，则球 O 的体积是（ ）A B C12 D【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2，然后利用分割补形法求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为 该三棱柱外接球的半径为 体积 V 故选：B【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题10（5 分）已知等差数列a n的前 n 项和 Snn 2+bn+c，等比数列 bn的前 n 项和Tn3 n+d，则向量 （c，d ）的模长
17、为（ ）A1 B C D无法确定【分析】由等差数列和等比数列的求和公式，可得 c0，d1，再由向量模的公式计算即可得到所求值【解答】解：等差数列a n的前 n 项和 Snn 2+bn+c，等比数列b n的前 n 项和 Tn3 n+d，由 Sn n2+n（a 1 ），（ d为等差数列的公差），可得 c0，由 Tn qn，可得 d1，则向量 （c，d）（0，1）的模为 1故选：A【点评】本题考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查向量的模的求法，注意运用分析法，考查运算能力，属于基础题11（5 分）设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，F 2，以 F1 为圆心，|F 1F2|为半径的圆与 E 交于
18、P，Q 两点若PF 1F2 为直角三角形，则 E 的离心率为（ ）A 1 B C D +1【分析】如图所示，PF 1F2 为直角三角形，可得PF 1F290，可得|PF1|2 c，| PF22 c，利用椭圆的定义可得 2c+2 c2a，即可得出【解答】解：如图所示，PF 1F2 为直角三角形，PF 1F290 ，|PF 1| 2c，|PF 22 c，则 2c+2 c2a，解得 e 1故选：A【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且 f（x）+f （x ）1，设af（2）1，be
19、 f（3）1 ，则 a，b 的大小关系为（ ）Aab Bab Cab D无法确定【分析】根据题意，设 g（x）e xf（x）1，求导分析可得 g（x）0，则函数g（x）在 R 上为增函数，又由 g（2）e 2f（2）1ae 2，g（3）e 3f（3）1be 2，结合函数的单调性分析可得 ae2be 2，变形即可得答案【解答】解：根据题意，设 g（x）e xf（x）1e xf（x）e x，其导数 g（x）e xf（x）+e xf（x）e xe xf（x）+f （x）1 ，又由 f（x）与 f（x ）满足 f（x）+f（x ）1，则有 g（x）0，则函数 g（x）在 R 上为增函数，则 g（2）e
20、 2f（2）1ae 2，g（3）e 3f（3）1be 2，且 g（2）g（3），即 ae2be 2，则有 ab，故选：A【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意构造新函数 g（x）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 的最大值为 3 【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 Zx+y 的最大值【解答】解：x，y 满足约束条件 ，表示的区域是如下图示的三角形，3 个顶点是 A（1，2），B（2，0），C （1，0），目标函数 zx+y
21、 在（1，2）取最大值 3故答案为：3【点评】本题考查线性规划的简单应用，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值14（5 分）已知函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 【分析】根据题意，由 f（2）的值分析可得 f（2）8+a log326，变形可得alog322，则有则 （ ） 3+alog3 alog 32，代入计算可得答案【解答】解：函数 f（x ）x 3+alog3x，若 f（2）6，则 f（2）8+a log326，变形可得 alog322，则 （ ） 3
22、+alog3 alog 32 ；故答案为： 【点评】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题15（5 分）古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的尺数为 【分析】设这女子每天分别织布形成数列a n尺则该数列 an为等比数列，公比q2，其前 5 项和 S55利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出【解答】解：设这女子每天分别织布形成数列a n尺则该数列a n为等比
23、数列，公比 q2，其前 5 项和 S55 ，解得 a1 a 3 故答案为： 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5 分）设函数 f（x ）e x（2x1）ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得f（x 0）0，则 a 的取值范围是 ，1） 【分析】设 g（x）e x（2x 1），y axa，则存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 yaxa 的下方，由此利用导数性质能求出 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）e x（2x1）ax+a，其中 a1，设 g（x）e x（2x 1），y axa，存在唯一的整数 x
24、0，使得 f（x 0）0，存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 yaxa 的下方，g（x）e x（2x +1），当 x 时，g（x ） 0，当 x 时，g（x） ming（ ） 当 x0 时，g（0）1，g（1）e0，直线 yaxa 恒过（1，0），斜率为 a，故ag（0）1，且 g（1）3e 1 aa，解得 a 的取值范围是 ，1）故答案为： ，1）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要
25、求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a（ sinBcosC）（c b）cosA（1）求 A；（2）若 b ，点 D 在 BC 边上，CD2，ADC ，求ABC 的面积【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得：sin（A+ ），结合范围 A（0，），可得 A+ （ ， ），进而可求 A 的值（2）在ADC 中，由正弦定理可得 sinCAD1，可求CAD ，利用三角形内角和定理可求C，B，可求 ABAC ，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）a（ sinBcosC）（c
26、b）cos A，由正弦定理可得： sinAsinBsinAcosCsin CcosA sinBcosA，可得： sinAsinB+sinBcosAsinC cosA+sinAcosC，可得：sinB（ sinA+cosA）sinB，sinB0， sinA+cosA2sin （A + ）1，可得：sin （A+ ） ，A（0，），A+ （ ， ），A+ ，可得：A （2）b ，点 D 在 BC 边上，CD2，ADC ，在ADC 中，由正弦定理 ，可得： ，可得：sinCAD1，CAD ，可得：C CADADC ，BAC ，ABAC ，S ABC ABACsinA 【点评】本题主要考查了正弦定理，
27、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12 分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 200 件作为样本，测量这些产品的项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：（1）求直方图中 a 的值；（2）由频率分布直方图可认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布N（200，144），试计算这批产品中质量指标值落在（ 200，212）上的件数；（3）设产品的生产成本为 y，质量指标值为 x，生产成本与质量指标值满足函数关系式y，假设同组中的每个数据用该组数据区间的右端点代替，试计算生产该食品级的平均
28、成本参考数据：若 ZN （ ， 2），则 P（Z +）0.683，P（2Z +2）0.954，P（3Z+3）0.997【分析】（1）由频率分布直方图能求出 a（2）由 ZN（200，144），得 200，12， 188，+212，从而P（188Z212）0.683，进而 P（200Z212）0.3415由此能求出这批产品中质量指标值落在（200，212）上的件数（3）由频率分布直方图和题设条件可得产品的成本分布及其概率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组 66，70） 70，74 ） 74，78 ） 78，82 ） 82，92 ） 92，100）100，108）频率 0.02 0.
29、09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02根据题意生产该食品的平均成本为：700.02+740.09+780.22+820.33+920.24+1000.08+1080.0284.52【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.002+0.009+0.022+a+0.024+0.008+0.002）101，解得 a0.033（2）ZN（200，144），则 200， 2144，12， 188， +212，P（ Z+）0.683，P（188Z212） 0.683，P（200Z212）0.3415这批产品中质量指标值落在（200，212）上的件数为 2000.341568.368（3）
30、由频率分布直方图和题设条件可得产品的成本分布及其概率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组 66，70） 70，74 ） 74，78 ） 78，82 ） 82，92 ） 92，100）100，108）频率 0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02根据题意生产该食品的平均成本为：700.02+740.09+780.22+820.33+920.24+1000.08+1080.0284.52【点评】本题考查频率、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为
31、AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF（1）证明：平面 PEF平面 ABFD；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值【分析】（1）利用正方形的性质可得 BF 垂直于面 PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可（2）利用等体积法可求出点 P 到面 ABCD 的距离，进而求出线面角【解答】（1）证明：由题意，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，则 ， ，由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EFBC由于 PFBF，EFPF F，则 BF平面 PEF又因为 BF平面 ABFD，所以：平面 PEF平面 ABFD（2）在平面
32、PEF 中，过 P 作 PHEF 于点 H，连接 DH，由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线，PHEF，则 PH面 ABFD，故 PHDH 在三棱锥 PDEF 中，可以利用等体积法求 PH，因为 DEBF 且 PFBF，所以 PFDE ，又因为PDFCDF，所以FPDFCD90，所以 PFPD ，由于 DEPD D，则 PF平面 PDE，故 VF PDE ，因为 BFDA 且 BF面 PEF，所以 DA面 PEF，所以 DEEP设正方形边长为 2a，则 PD 2a，DE a在PDE 中， ，所以 ，故 VF PDE ，又因为 ，所以 PH ，所以在PHD 中，sinPDH ，即PD
33、H 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为： 【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系直线与平面所成角的求法几何法的应用，考查转化思想以及计算能力20（12 分）设抛物线 E：y 22px （p0）的焦点为 F，直线 xp 与 E 交于 A，B 两点，ABF 的面积为 8 （1）求 E 的方程；（2）若 M，N 是 E 上的两个动点，|MF |+|NF|8，试问：是否存在定点 S，使得|SM|SN|？若存在，求 S 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）把 xp 代入抛物线方程 y22px （p0），可得： y22pp，解得 yp根据ABF 的面积为 8 可得 2 p8 ，解得
34、p（2）假设存在定点 S，使得|SM| SN|设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），线段 MN 的中点为 G（x 0，y 0）由|MF |+|NF|8，可得 x1+x2+48，化为：x 1+x24x 02当MNx 轴时满足题意，因此点 S 必然在 x 轴上设直线 MN 的方程为：tyx+m 与抛物线方程联立可得：y 28ty 8m 0根据根与系数的关系、中点坐标公式可得 y0可得线段 MN 的垂直平分线方程，进而得出结论【解答】解：（1）把 xp 代入抛物线方程 y22px （p 0），可得：y 22pp，解得y pABF 的面积为 8 2 p8 ，解得 p4E 的方程为：y 28x
35、 （2）假设存在定点 S，使得|SM| SN|设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），线段 MN 的中点为 G（x 0，y 0）|MF |+|NF|8，x 1+x2+48，化为：x 1+x24x 02当 MNx 轴时满足题意，因此点 S 必然在 x 轴上设直线 MN 的方程为：tyx +m联立 ，化为：y 28ty8m0y 1+y28t，y 04t线段 MN 的垂直平分线方程为： （y4t ）x2，令 y0，可得：x 6存在定点 S（6，0），使得|SM| SN|【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能
36、力，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）xe xax alnx（1）若 ae，求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x） 1，求 a 的取值范围【分析】（1）ae 时，f（x）（x+1）e x（e x ），（ x0）令 u（x ）e x在 x0 时单调递增，u（1）0即可得出单调性（2）令 g（x）f（x）1xe xaxalnx1由 f（x ）1g（x）0，（x0）g（x ）（x +1）e xa （x+1）（ ex ）对 a 分类讨论，即可得出单调性极值与最值【解答】解：（1）ae 时，f （x）（x+1）e x（e x ），（x0）令 u（x）e x 在 x0 时单调递增，u（1）0
37、函数 f（x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增（2）令 g（x）f（x）1xe xaxalnx1由 f（x ）1g（x）0，（x0）g（x）（x+1）e xa （x+1）（e x ）a0 时，g（x）0，函数 g（x）在（0，+）上单调递增a0 时，令 g（x）0，可得 ，可得 x0lnalnx 0，x 00可得：xx 00 时函数 g（x）取得极小值即最小值，g（x 0）x 0 ax 0alnx 01aalna 10，令 u（a）aalna1，u（ 1）0u（a）1lna1lna，可得 a1 时，函数 u（a）取得极大值即最大值，而 u（1）0只有 a1 满足条件a1【点评】
38、本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为，点 P 的极坐标为 （1）求 C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；（2）设 l 与 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，求|PM|【分析】（1）利用互化公式把曲线 C 化成
39、直角坐标方程，把点 P 的极坐标化成直角坐标；（2）把直线 l 的参数方程的标准形式代入曲线 C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）由 2 得 2+2sin22，将 2x 2+y2，ysin 代入上式并整理得曲线 C 的直角坐标方程为 +y21，设点 P 的直角坐标为（x ，y ），因为 P 的极坐标为（ ， ），所以 xcos cos 1，ysin sin 1，所以点 P 的直角坐标为（1，1）（2）将 代入 +y21，并整理得 41t2+110t+250，因为110 24412580000，故可设方程的两根为 t1，t 2，则 t1，t 2 为 A，
40、B 对应的参数，且 t1+t2 ，依题意，点 M 对应的参数为 ，所以|PM| | | 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1| x2|（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若不等式 f（x ）x 2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围【分析】（1）由于 f（x ）|x+1| x2| ，解不等式 f（x）1可分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f（x）1 的解集；（2）依题意可得 mf（x）x 2+xmax，设 g（x）f （x）x 2+x，分x1、1x2、x 2 三类讨论，可求得 g（x） max ，从而可得
41、 m 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）|x+1| x2| ，f（x）1，当1x2 时，2x 11，解得 1x 2；当 x2 时，31 恒成立，故 x2；综上，不等式 f（x ）1 的解集为 x|x1（2）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x 2+xm 成立，即 mf（x）x 2+xmax，设 g（x）f （x）x 2+x由（1）知，g（x） ，当 x1 时，g（x ）x 2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x 1，g（x）g（1）1135；当1x2 时，g（x ）x 2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x （1，2），g（x）g（ ） + 1 ；当 x2 时，g（x ）x 2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x 2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x） max ，m 的取值范围为（， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题
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