1、2019 年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷一、单选题（每题 3 分，满分 30 分）13 的绝对值是（ ）A3 B3 C D2下列运算正确的是 （ ）A（2 a） 22 a2 B2（ a1）2 a1C （ a+b） 2 a2+b2 D3 a22 a2 a23铁路总公司发布数据称，2019 年春运期间，全国铁路累计发送旅客达到 3.1 亿人次，数据 3.1 亿用科学记数法表示为（ ）A3110 7 B3.110 5 C3.110 8 D3.110 64如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图C俯视图 D主视图和左视图5若
2、一元二次方程 x22 x+m0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m1 D m16下列说法正确的是（ ）A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2B了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 131分D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 57如图， AB CD，点 E 在线段 BC 上， CD CE若 ABC30，则 D 为（ ）A85 B75 C60 D308如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2） ，过点 A 作 AB x 轴，垂足
3、 为点 B，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到 COD，则 OC 的长度是（ ）A1 B2 C D9如图，直线 AB 是 O 的切线， C 为切点， OD AB 交 O 于点 D，点 E 在 O 上，连接OC， EC， ED，则 CED 的度数为（ ）A30 B35 C40 D4510如图是二次函数 y ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x1，下列结论正确的是（ ）A b24 ac B ac0 C2 a b0 D a b+c0二、填空题（每题 4 分，满分 16 分）11若式子 有意义，则 x 的取值范围是 12不透明
4、的布袋里有 2 个黄球、3 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 13如图，直线 y x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，交 x 轴的正半轴于一点 C，则点 C 的坐标是 14如图，在平行四边形 ABCD 中， AB4， BC7，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点 E，交 BC 于点 F，再分别以点 E、 F 为圆心大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G，射线 BG 交 CD 的延长线于点 H，则 DH 的长是 三、解答题（54 分）15 （12 分）计算：（1）
5、 （ ） 1 + +（ ） 02cos60|3|；（2）解不等式组：16 （6 分）先化简，再求值： （ x2） ，其中| x|217 （8 分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（单位：分） ，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（ A：0 t10， B：10 t20， C：20 t30， D： t30） ，根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从 D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率18 （8 分
6、）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7，女生楼在男生楼墙面上的影高为 DA已知CD42 m求楼间距 AB 的长度为多少米？（参考数据：sin32.30.53，cos32.30.85，tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55.71.47）19 （10 分）如图，一次函数 y k1x+b（ k10）与反比例函数 y （ k20）的图象交于 A（1，4）和点 B（4， m）（1）求这两个函数的解析
7、式；（2）已知直线 AB 交 y 轴于点 C，点 P（ n，0）在 x 轴的负半轴上，若 BCP 为等腰三角形，求 n 的值20 （10 分）如图，以4 BC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆， ABC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）探究线段 EB， E C， ED 之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（3）若 BC ， CE ，求 O 的半径长一、填空题（20 分）21若 a+b4， a b1，则（ a+1） 2（ b1） 2的值为 22对于实数 a， b，定义运算“”如下： a b
8、 a2 ab，例如，535 25310若（ x+1）（ x2）6，则 x 的值为 23如图， AC 是 O 的直径，弦 BD AO，垂足为点 E，连接 BC，过点 O 作 OF BC，垂足为F，若 BD8 cm， AE2 cm，则 OF 的长度是 cm24已知一个矩形纸片 ABCD， AB12， BC6，点 E 在 BC 边上，将 CDE 沿 DE 折叠，点 C落在 C处； DC， EC分别交 AB 于 F， G，若 GE GF，则 sin CDE 的值为 25如图，曲线 l 是由函数 y 在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的，过点 A（4 ，4 ） ， B（2 ，2 ）的
9、直线与曲线 l 相交于点 M、 N，则 OMN的面积为 二、解答题（30 分）26 （8 分）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多 200 元，已知用 5 万元购进甲型净水器与用 4.5 万元购进乙型净水器的数量相等（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过 9.8 万元购进两种型号的净水器共 50 台进行销售，甲型净水器每台销售 2500 元，乙型净水器每台售价 2200 元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台 a 元（70 a80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金设该公
10、司售完50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W 元，求 W 的最大值27 （10 分）正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 CF BE， AE 与 BF交于 G 点（1）如图 1，求证： AE BF， AE BF（2）连接 CG 并延长交 AB 于点 H，若点 E 为 BC 的中点（如图 2） ，求 BH 的长；若点 E 在 BC 的边上滑动（不与 B、 C 重合） ，当 CG 取得最小值时，求 BE 的长28 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y x2+bx+c 经过
11、 A， B 两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 M 是第二象限抛物线上的点，连接 OM 交直线 AB 于点 C，设点 M 的横坐标为m， MC， OC 的比值为 k，求 k 与 m 的函数关系式，并求 k 的最大值；（3）若抛物线上有且仅有三个点 P1， P2， P3，使得 ABP1， ABP2， ABP3的面积均为定值 S，求 P1， P2， P3这三个点的坐标，并求出定值 S 的值参考答案一、单选题13 的绝对值是（ ）A3 B3 C D【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出【解答】解：|3|（3）3故选： A【点评】考查绝对值的概念和求法绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它
12、本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02下列运算正确的是（ ）A（2 a） 22 a2 B2（ a1）2 a1C （ a+b） 2 a2+b2 D3 a22 a2 a2【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案【解答】解： A、（2 a） 24 a2，故此选项错误；B、2（ a1）2 a2，故此选项错误；C、 （ a+b） 2 a2+2ab+b2，故此选项错误；D、3 a22 a2 a2，正确故选： D【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键3铁路总公司发布数据称，2019 年春运期
13、间，全国铁路累计发送旅客达到 3.1 亿人次，数据 3.1 亿用科学记数法表示为（ ）A311 07 B3.110 5 C3.110 8 D3.110 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：数据 3.1 亿用科学记数法表示为 3.1108故选： C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确
14、定 a 的值以及 n 的值4如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图C俯视图 D主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选： C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形5若一元二次方程 x22 x+m0 有两个不相同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m1 D m1【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出实数 m 的取值范围
15、【解答】解：方程 x22 x+m0 有两个不相同的实数根，（2） 24 m0，解得： m1故选： D【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键6下列说法正确的是（ ）A一组数据 2，2，3，4，这组数据的中位数是 2B了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查C小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 131分D某日最高气温是 7，最低气温是2，则该日气温的极差是 5【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案【解答】解： A、一组数据 2，2，3，4，这组数据的中
16、位数是 2.5，故此选项错误；B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；C、小明的三次数学成绩是 126 分，130 分，136 分，则小明这三次成绩的平均数是 130分，故此选项错误；D、某日最高气温是 7，最低气温是2，该日气温的极差是 7（2）9，故此选项错误；故选： B【点评】此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键7如图， AB CD，点 E 在线段 BC 上， CD CE若 ABC30，则 D 为（ ）A85 B75 C60 D30【分析】先由 AB CD，得 C ABC30， CD CE，得 D CED，再根据三角形内角和定
17、理得， C+ D+ CED180，即 30+2 D180，从而求出 D【解答】解： AB CD， C ABC30，又 CD CE， D CED， C+ D+ CED180，即 30+2 D180， D75故选： B【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出 C，再由 CD CE 得出 D CED，由三角形内角和定理求出 D8如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2） ，过点 A 作 AB x 轴，垂足为点 B，将AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到 COD，则 OC 的长度是（ ）A1 B2 C D【分析】直接利用位似图形的性
18、质以及结合 A 点坐标直接得出点 C 的坐标，即可得出答案【解答】解：点 A（4，2） ，过点 A 作 AB x 轴于点 B将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到 COD， C（2，1） ，则 OC 的长度 故选： C【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键9如图，直线 AB 是 O 的切线， C 为切点， OD AB 交 O 于点 D，点 E 在 O 上，连接OC， EC， ED，则 CED 的度数为（ ）A30 B35 C40 D45【分析】由切线的性质知 OCB90，再根据平行线的性质得 COD90，最后由圆周角定理可得答
19、案【解答】解：直线 AB 是 O 的切 线， C 为切点， OCB90， OD AB， COD90， CED COD45，故选： D【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理10如图是二次函数 y ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是直线 x1，下列结论正确的是（ ）A b24 ac B ac0 C2 a b0 D a b+c0【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点有 b24 ac0 可对 A 进行判断；由抛物线开口向上得 a0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得 c0，则可对 B 进行判断；根据抛物
20、线的对称轴是 x1 对 C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，所以 a b+c0，则可对 D 选项进行判断【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， b24 ac0，即 b24 ac，所以 A 选项错误；抛物线开口向上， a0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， ac0，所以 B 选项错误；二次函数图象的对称轴是直线 x1， 1，2 a+b0，所以 C 选项错误；抛物线过点 A（3，0） ，二次函数图象的对称轴是 x1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， a b+c0，所以 D 选项正确；故选： D【点评】本题考查了二次函数的图
21、象与系数的关系：二次函数 y ax2+bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0， c） ；当 b24 ac0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24 ac0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24 ac0，抛物线与 x 轴没有交点二、填空题（16 分）11若式子 有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得： x+20，解得： x2故答案是： x2【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数12不透明的布袋里有 2 个黄球、3
22、 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 【分析】由在不透明的袋中装有 2 个黄球、3 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率【解答】解：在不透明的袋中装有 2 个黄球、3 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同，从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比13如图，直线 y x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，交
23、x 轴的正半轴于一点 C，则点 C 的坐标是 （ 2，0） 【分析】先根据坐标轴上 点的坐标特征得到 A（2，0） ， B（0，1） ，再利用勾股定理计算出 AB ，然后根据圆的半径相等得到 AC AB ，进而解答即可【解答】解：当 y0 时， x+10，解得 x2，则 A（2，0） ；当 x0 时， y x+11，则 B（0，1） ，所以 AB ，因为以点 A 为圆心， AB 为半径画弧，交 x 轴于点 C，所以 AC AB ，所以 OC AC AO 2，所以的 C 的坐标为（ 2，0） ，故答案为（ 2，0） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据一次函数y kx+b，
24、（ k0，且 k， b 为常数）的图象是一条直线14如图，在平行四边形 ABCD 中， AB4， BC7，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点 E，交 BC 于点 F，再分别以点 E、 F 为圆心大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G，射线 BG 交 CD 的延长线于点 H，则 DH 的长是 3 【分析】根据角平分线的作图和平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质解答即可【解答】解：由作图可知： BH 是 ABC 的角平分线， ABG GBC，平行四边形 ABCD， AD BC， AGB GBC， ABG AGB， AG AB4， GD AD AG743，平行四边形 ABC
25、D， AB CD， H ABH AGB， AGB HGD， H HGD， DH GD3，故答案为：3【点评】此题主要考查了角平分线的做法以及平行四边形的性质，熟练根据角平分线的性质得出 ABG GBC 是解题关键三、解答题（54 分）15 （12 分）计算：（1） （ ） 1 + +（ ） 02cos60|3|；（2）解不等式组：【分析】 （1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的性质计算，即可得到结果；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：（1）原式2+ +12 +35+ ；（2）解不等式，
26、得 x4，解不等式，得 x2，不等式组的解集为4 x2【点评】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键16 （6 分）先化简，再求值： （ x2） ，其中| x|2【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据| x|2 即可解答本题【解答】解： （ x2） ，| x|2， x20，解得， x2，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法17 （8 分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（单位：分） ，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图
27、（ A：0 t10， B：10 t20， C：20 t30， D： t30） ，根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从 D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率【分析】 （1）根据 B 组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；（2）用 360 乘以 A 组 所占的百分比，求出 A 组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、 B、 D 组的人数，求出 C 组的人数；（3）画出树状图，由概率公式即
28、可得出答案【解答】解：（1）调查的总人数是：1938%50（人） ；（2） A 组所占圆心角的度数是：360 108；C 组的人数有：501519412（人） ，补全条形图如图所示：（3）画树状图，共有 12 个可能的结果，恰好选中甲的结果有 6 个， P（恰好选中甲） 【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图的综合运用熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据18 （8 分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为
29、CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7，女生楼在男生楼墙面上的影高为 DA已知CD42 m求楼间距 AB 的长度为多少米？（参考数据：sin32.30.53，cos32.30.85，tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.56，tan55.71.47）【分析】如图，作 CM BE 于 M， DN BE 于 N则四边形 CDNM 是矩形，设EM xm， AB DN CM ym构建方程组即可解决问题【解答】解：如图，作 CM BE 于 M， DN BE 于 N则四边形 CDNM 是矩形，设EM xm， AB DN CM ym在 Rt CEM 中，tan E
30、CM 0.63， 0.63 ，在 Rt DEN 中，tan EDN 1.47， 1.47 ，由可得 y50，答：楼间距 AB 的长度为 50m【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型19 （10 分）如图，一次函数 y k1x+b（ k10）与反比例函数 y （ k20）的图象交于 A（1，4）和点 B（4， m）（1）求这两个函数的解析式；（2）已知直线 AB 交 y 轴于点 C，点 P（ n，0）在 x 轴的负半轴上，若 BCP 为等腰三角形，求 n 的值【分析】 （1）先将点 A 坐标代入
31、反比例函数解析式中求出 k2，进而求出点 B 坐标，最后将点 A， B 坐标代入一次函数解析式中，即可得出结论；（2）利用两点间的距离公式表示出 BC232， CP2 n2+9， BP2（ n4） 2+1，再分三种情况利用两腰相等建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）点 A（1，4）在反比例函数 y （ k20）的图象上， k21（4）4，反比例函数解析式为 y ，将点 B（4， m）代入反比例函数 y 中，得 m1， B（4，1） ，将点 A（1，4） ， B（4，1）代入一次函数 y k1x+b 中，得 ， ，一次函数的解析式为 y x3；（2）由（1）知，直线 AB 解析式为 y x
32、3， C（0，3） ， B（4，1） ， P（ n，0） ， BC232， CP2 n2+9， BP2（ n4） 2+1， BCP 为等腰三角形，当 BC CP 时，32 n2+9， n （舍）或 n ，当 BC BP 时，32（ n4） 2+1， n4+ （舍）或 n4 ，当 CP BP 时， n2+9（ n4） 2+1， n1（舍） ，即：满足条件的 n 为 或（4 ） 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键20 （10 分）如图，以4 BC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆， ABC 的平分线交 O 于点
33、 D，过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）探究线段 EB， EC， ED 之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（3）若 BC ， CE ，求 O 的半径长【分析】 （1）连接 OD，根据圆周角和圆心角的 2 倍数量关系，可以得到 DOC90，再利用平行推出 ODE90（2）连接 CD，证明 CDE BDE，即可得到 DE2 CEBE（3）根据（2）的结论可以求出 DE 的长度，过 E 作 CD 的垂线，可得到一个等腰直角三角形，可解边长，再根据勾股定理可得到 CD 的长度，从而得到半径的长度【解答】解：（1）如图，连接 OD， AC
34、 为圆 O 的直径， ABC90， BD 是 ABC 的角平分线， ABD DBE45， DOC90， AC DE， ODE90， DE 为 O 的切线（2）如图所示，连接 CD， CDE DCA DBA45， E DBE， DCE BDE， ， DE2 CEBE（3）如图所示，连接 OD、 CD，过点 E 作 CD 的垂线，垂足为 H， DE2 CEBE， BC ， CE ，解得 DE4， HDE45， DH HE4sin HDE2 ，在 Rt CHE 中， CH ， CD3 ， OD OC3 sin ODC3， O 的半径为 3【点评】此题考查了圆的性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是
35、圆周角的 2 倍，还考查了相似三角形的性质及其判定找到相似三角形为解题关键一、填空题（20 分）21若 a+b4， a b1，则（ a+1） 2（ b1） 2的值为 12 【分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值【解答】解： a+b4， a b1，（ a+1） 2（ b1） 2（ a+1+b1） （ a+1 b+1）（ a+b） （ a b+2）4（1+2）12故答案是：12【点评】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答22对于实数 a， b，定义运算“”如下： a b a2 ab，例如，535 25310若（ x+1）（ x2）6，则
36、x 的值为 1 【分析】根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：由题意得， （ x+1） 2（ x+1） （ x2）6，整理得，3 x+36，解得， x1，故答案为：1【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键23如图， AC 是 O 的直径，弦 BD AO，垂足为点 E，连接 BC，过点 O 作 OF BC，垂足为F，若 BD8 cm， AE2 cm，则 OF 的长度是 cm【分析】根据垂径定理求出 BE，根据相交弦定理求出 EC，根据勾股定理求出 BC，根据垂径定理、勾股定理计算，得到答案【解答】解： BD AO， BE ED BD4，由相交弦定理得， EAE
37、C EBED，即 2EC44，解得， EC8， AC10，由勾股定理得， BC 4 ， OF BC， CF BC2 ， OF （ cm） ，故答案为： 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键24已知一个矩形纸片 ABCD， AB12， BC6，点 E 在 BC 边上，将 CDE 沿 DE 折叠，点 C落在 C处； DC， EC分别交 AB 于 F， G，若 GE GF，则 sin CDE 的值为 【分析】设 EC x， BE x，根据折叠的对称性可得 C E CE x证明 FC GEBG，Rt FC ERt EBF，则 FC和 BF 均可用 x 表示，所以
38、在 Rt ADF 中， DF、 AF也可用 x 表示出来，再用勾股定理可求 x 值，最后在 Rt DCE 中求解 sin CDE【解答】解：设 CE x，则 BE6 x根据折叠的对称性可知 DC DC12， C E CE x在 FC G 和 EBG 中， FC G EBG（ AAS） FC BE6 x DF12（6 x）6+ x在 Rt FC E 和 Rt EBF 中，Rt FC ERt EBF（ HL） FB EC x AF12 x在 Rt ADF 中， AD2+AF2 DF2，即 36+（12 x） 2（6+ x） 2，解得 x4 CE4在 Rt CDE 中， DE2 DC2+CE2，则
39、DE4 sin CDE 故答案为 【点评】本 题主要考查折叠的对称性、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是运用对称和全等三角形进行线段的转化，在 Rt中利用勾股定理求解线段长度25如图，曲线 l 是由函数 y 在第一象限内的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 45得到的，过点 A（4 ，4 ） ， B（2 ，2 ）的直线与曲线 l 相交于点 M、 N，则 OMN的面积为 8 【分析】由题意 A（4 ，4 ） ， B（2 ，2 ） ，可知 OA OB，建立如图新的坐标系（ OB 为 x轴， OA 为 y轴，利用方程组求出 M、 N 的坐标，根据 S OMN S OBM SO
40、BN计算即可【解答】解： A（4 ，4 ） ， B（2 ，2 ） ， OA OB，建立如图新的坐标系， OB 为 x轴， OA 为 y轴在新的坐标系中， A（0，8） ， B（4，0） ，直线 AB 解析式为 y2 x+8，由 ，解得 或 ， M（1，6） ， N（3，2） ， S OMN S OBM S OBN 46 428，故答案为 8【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题二、解答题（30 分）26 （8 分）随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水
41、器比每台乙型净水器进价多 200 元，已知用 5 万元购进甲型净水器与用 4.5 万元购进乙型净水器的数量相等（1）求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？（2）该商场计划花费不超过 9.8 万元购进两种型号的净水器共 50 台进行销售，甲型净水器每台销售 2500 元，乙型净水器每台售价 2200 元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台 a 元（70 a80）捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金设该公司售完50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W 元，求 W 的最大值【分析】 （1）设每台乙型净水器的进价是 x 元，则每台甲型净水器的进价是（ x+200）元，根据数量总价单价结合用
42、5 万元购进甲型净水器与用 4.5 万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型净水器 m 台，则购进乙型净水器（ 50 m）台，根据总价单价数量结合总价不超过 9.8 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再由总利润每台利润购进数量，即可得出 W 关于 m 的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设每台乙型净水器的进价是 x 元，则每台甲型净水器的进价是（ x+200）元，依题意，得： ，解得： x1800，经检验， x1800 是原分式方程的解，且符合题意， x+200
43、2000答：每台甲型净水器的进价是 2000 元，每台乙型净水器的进价是 1800 元（2）设购进甲型净水器 m 台，则购进乙型净水器（50 m）台，依题意，得：2000 m+1800（50 m）98000，解得： m20W（25002000 a） m+（22001800） （50 m）（100 a） m+20000，100 a0， W 随 m 值的增大而增大，当 m20 时， W 取得最大值，最大值为（2200020 a）元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式27 （1
44、0 分）正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 CF BE， AE 与 BF交于 G 点（1）如图 1，求证： AE BF， AE BF（2）连接 CG 并延长交 AB 于点 H，若点 E 为 BC 的中点（如图 2） ，求 BH 的长；若点 E 在 BC 的边上滑动（不与 B、 C 重合） ，当 CG 取得最小值时，求 BE 的长【分析】 （1）由正方形的性质得出 AB BC4， ABC BCD90，由 SAS 证明ABE BCF，即可得出结论；由得： ABE BCF，得出 BAE CBF，证出 AGB90，即可得出结论；（2）由直角三角形的性质得出
45、CF BE BC2，由勾股定理得出 BF2 ，由（1）得： AE BF，则 BGE ABE90，证明 BEG AEB，得出 ，设 GE x，则 BG2 x，在 Rt BEG 中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG2 ，由平行线得出 ，即可得出 BH 的长；由（1）得： AGB90，得出点 G 在以 AB 为直径的圆上，设 AB 的中点为 M，当C、 G、 M 在同一直线上时， CG 为最小值，求出 GM AB BM2，由平行线得出 1，证出 CF CG BE，设 CF CG BE a，则 CM a+2，在 Rt BCM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB BC4， ABC BCD90，在 ABE 和 BCF 中， ， ABE BCF（ SAS）
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