1、专题 16 解析几何大题部分【训练目标】1、 理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；2、 掌握直线方程的 5 种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；3、 识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；4、 掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；5、 掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。6、 掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；7、 掌握椭圆，双曲线的离 心率求法；8、 掌握直线与圆锥曲线的位置关系；9、 掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题
2、求法；【温馨小提示】本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。【名校试题荟萃】1、已知圆 和圆 .（1）若直线 l过点 )0,4(A且被圆 1C截得的弦长为 32，求直线 l的方程；（2）设平面上的点 P满足：存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线 1和 2l，它们分别与圆 1C和圆 2相交，且直线 1l被圆 截得的弦长与直线 2l被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P的坐标。【答案】 （1） 0y或（2）
3、3(,)或 51(,2【解析】（1）设直线 l的方程为： (4)ykx，即由垂径定理，得：圆心 1C到直线 l的距离 ，点到直线距离公式，得： 求直线 l的方程为： 0y或 ，即 0y或 ； 故有： ，化简得：关于 k的方程有无穷多解，有： ,或 解之得：点 P 坐标为 31(,)2或 5(,。 2、已知椭圆 与抛物 线 共交点 2F，抛物线上的点 M到 y轴的距离等于 21MF，且椭圆与抛物线的交点 Q满足 52F（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点 P做抛物线的切线 ykxm交椭圆于 A， B两点，设线段 AB的中点为 0(,)Cxy，求 0x的取值范围【答案】 （1）
4、24yx，2198y（2） (,0)（2）显然 0k， m，由 24ykxm，消去 x，得 ，由题意知 ，得 1，由 2198ykx，消去 y，得 ，其中 ，化简得 ，又 1km，得 ，解得 209m设 1(,)Axy， 2B(,)y，则 由 29k，得 01x 0x的取值范围是 (1,0)3、已知椭圆 C： 2bya)(的 离心率 2e，点 )0,(bA，点 FB、 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且 .（1） 求椭圆 的方程；（2）若过定点 )2,0(M的直线 l与椭圆 C交于 HG,两点（ 在 M,之间）设直线 l的斜率 0k，在x轴上是否存在点 mP，使得以 P,为邻边的平行四边形为菱形？
5、如果存在，求出 m的取值范围？如果不存在，请说明理由【答案】（1）1342yx（2）（）设直线 l的 方程为 ，设 ，则 ，由于菱形对角线垂直，则 ，解得 ，即 ， ，（当且仅当k43时，等号成立）.所以存在满足条件的实数 m， 的取值范围为 .4、已知椭圆 （1）若椭圆 C的离心率为 12，求 n的值； （2）若 过点 (,0)N任作一条直线 l与椭圆 C交于不同的两点 ,AB，在 x轴上是否存在点 M，使得， 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） 32 （2） （-1，0）5、在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C： 的短轴长为 2，离心率 63（1）求椭圆 C的方程
6、；（2）已知 A为椭圆 的上顶点，点 M为 x轴正半轴上一点，过点 A作 M的垂线 AN与椭圆 C交于另一点 N，若 ，求点 的坐 标【答案】（1） （2）【解析】（1）因为椭圆 C的短轴长为 2，离心率为 63，所以 2263bca解得6abc，所以椭圆 C的方程为216xy在直角 AMN 中，由 60，得 ，所以 ，解得 63m，所以点 M的坐标为 6,036、已知点 F 是椭圆 y 21（a0）的右焦点，点 M（m，0） ，N（0，n）分别是 x 轴，y 轴上的动点，x21 a2且满足 0.若点 P 满足 2 （O 为坐标原点） MN NF OM ON PO （1）求点 P 的轨迹 C
7、的方程；（2）设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，直线 OA，OB 与直线 xa 分别交于点 S，T，试判断以线段 ST 为直径的圆是否经过点 F？请说明理由【答案】（1）y 24ax （2）经过【解析】（1） 椭 圆 y 21（a0）右焦点 F 的坐标为（a，0） ，x21 a2 （a，n） （m，n） ，NF MN 由 0，得 n2am 0.MN NF 设点 P 的坐标为（x，y） ，由 2 ，有（m，0）2（0，n）（x，y） ，OM ON PO 代入 n2am0，得 y24ax.即点 P 的轨迹 C 的方程为 y24ax.m x，n y2. )解法二：当 ABx
8、时，A（a，2a） ，B（a，2a） ，则 lOA：y2x，l OB：y2x.由 得点 S 的坐标为 S（a，2a） ，则 （2a，2a） y 2x，x a， ) FS 由 得点 T 的坐标为 T（a，2a） ，则 （2a，2a） y 2x，x a， ) FT （2a）（2a）（2a）2a0.FS FT 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 yk（xa） （k0） ，A ，B ，同解法一，得 4a 2 .FS FT 16a4y1y2由 得 ky2 4ay4ka 20，y 1y24a 2.y k（ x a） ，y2 4ax， )则 4a 2 4a 24a 20. FS FT 16a
9、4（ 4a2）因此，以线段 ST 为直径的圆经过点 F. 7、如图，已知抛物线 C： y2 x 和 M：（ x4） 2 y21，过抛物线 C 上一点 H（ x0， y0）（ y01）作两条直线与 M 分别相切于 A、 B 两点，分别交抛物线于 E、 F 两点（1）当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率；（2）若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t，求 t 的最小值【答案】（1） （2）-1114法二：当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H（4，2） ， AHB60，可得 kHA ， kHB ，直线 HA 的方程为 y x4 2，3 3 3 3联立方程组 得 y2 y4
10、 2 0，y 3x 43 2，y2 x， ) 3 3 yE2 ， yE ， xE .33 3 63 13 433同理可得 yF ， xF ， kEF . 3 63 13 433 14（2）法一：设点 H（ m2， m） （ m1） ， HM2 m47 m216， HA2 m47 m215.以 H 为圆心， HA 为半径的圆方程为：（ x m2） 2（ y m） 2 m47 m215， M 方程：（ x4） 2 y21.得：直线 AB 的方程为（2 x m24） （4 m2）（2 y m） m m47 m214.当 x0 时，直线 AB 在 y 轴上的截距 t4 m （ m1 ） ，15m t
11、关于 m 的函数在1，）单调递增， tmin11.法二：设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， kMA ， kHA ， y1x1 4 4 x1y1可得，直线 HA 的方程为（4 x1） x y1y4 x1150，同理，直线 HB 的方程为（4 x2） x y2y4 x2150，（4 x1） y y1y04 x1150， （4 x2） y y2y04 x2150，20 20直线 AB 的方程为（4 y ） x y0y4 y 150，20 20令 x0，可 得 t4 y0 （ y01） ，15y0 t 关于 y0的函数在1，）单调递增， tmin11 .8、已知椭圆 的一个焦点 (
12、6,0)F，点 2,1M在椭圆 C上（1）求椭圆 C的方程；（2）直线 l平行于直线 OM（ 坐标原点） ，且与椭圆 C交于 A， B两个不同的点，若 AOB为钝角，求直线 在 y轴上的截距 m的取值范围【答案】（1）218xy（2）（2）由直线 l平行于 OM得直线 l的斜率为 ，又 l在 y轴上的截距 m，故 l的方程为 12yxm由 得 ，又线与椭圆 C交于 A， B两个不同的点，设 1Axy， ， 2Bxy， ，则 ， 所以 ，于是 2m O为钝角等价于 0AO，且 ，则，即 2m，又 0，所以 m的取值范围为 9、椭圆 C:21xyab（ 0a）的离心率为12,其左焦点到点 2,1P
13、的距离为 0.不过原点 O的直线 l与椭圆 相交于 A、 B两点,且线段 A被直线 O平分.（1） 求椭圆 的方程；（2） 求 P的面积取最大时直线 l的方程.【答案】（1）2143xy（2）（2）易得直线 OP的方程12yx,设 1,Ay, 2Bx, A中点 0,Rxy,其中 012x,因为,AB在椭圆上,所以 2143xy, 21xy,相减得 ,即,故 ,其中 且 0m.令 ,则,令 0fm得 17,（因 4和 17不满足 且 0m,舍去） 当 时, 0fm,当 时, f,所以,当 17时,ABPS取得最大值,此时直线 l的方程为 .10、已知抛物线 的焦点为 F，抛物线 C上存在一点 E
14、2,t到焦点 F的距离等于 3（1）求抛物线 C的方程；（2）已知点 P在抛物线 上且异于原点，点 Q为直线 1x上的点，且 FPQ求直线 P与抛物线 C的交点个数，并说明理由【答案】 （1）24yx（2）1 个【解析】（1）抛物线的准线方程为 2px，所以点 E2t， 到焦点的距离为3解得 2p所以抛物线 C的方程为24yx故直线 PQ的斜率 故直线 的方程为 ，即 又抛物线 C的方程24yx，联立消去 x得 ，故 0y，且204yx故直线 PQ与抛物线 只有一个交点11、已知圆 1C与 y轴相切于点（0，3） ，圆心在经过点（2，1）与点（2，3）的直线 l上（1）求圆 的方程；（2）圆
15、1与圆 2： 相交于 M、N 两点，求两圆的公共弦 MN 的长【答案】 （1） （x4） 2+（y3） 2=16 （2） 7【解析】（1）经过点（2，1）与点（2，3）的直线方程为 ，即 y=x1由题意可得，圆心在直线 y=3 上，联立 ，解得圆心坐标为（4，3） ，故圆 C1的半径为 4则圆 C1的方程为（x4） 2+（y3） 2=16；12、已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 与圆 C 相切.（1）求圆 C 的方程;（2）过点 Q（0,-3）的直线 l与圆 C 交于不同的两点 A 1,)xy（ 、 B 2(,)，当 时,求 AOB的面积.【答案】 （1） （2）37【
16、解析】（1）设圆心为 ,因为圆 C 与 相切,所以 ,解得 （舍去）,所以圆 C 的方程为设 ,则 , ,将代入并整理得 ,解得 k = 1 或 k =-5（舍去）,所以直线 l 的方程为 圆心 C 到 l 的距离 ,13、已知 BA,是椭圆 C： 上两点，点 M的坐标为 0,1.（1）当 两点关于 x轴对称，且 AB为等边三角形时，求 AB的长；（2）当 BA,两点不关于 x轴对称时，证明： MAB不可能为等边三角形.【答案】 （1） 934 （2）见解析根据题意可知，直线 AB 斜率存在.设直线 AB： y=kx+m， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， AB 中点为 N（
17、 x0， y0） ，联立，消去 y 得（2+ 3k2） x2+6kmx+3m2-9=0，由0 得 2m2-9k2-60， 所以 x1+x2=- 36k,y1+y2=k（ x1+x2）+2 m= 234k, 所以 N（- 23km，3） ，又 M（1， 0） ，假设 MAB 为等边三角形，则有 MN AB，所以 kMNk=-1，即 k=-1，化简得 3k2+2+km=0， 由得 m=- 23，代入得 22)3(k-3（3 k2+2）0，化简得 3k2+40，矛盾，所以原假设不成立， 故 MAB 不可能为等边三角形.14、已知圆 ，点 A为圆 1C上的一个动点， ANx轴于点 ，且动点 M满足，设
18、动点 M的轨迹为曲线 .（1）求动点 M的轨迹曲线 的方程；（2）若直线 l与曲线 C相交于不同的两点 P、 Q且满足以 P为直径的圆过坐标原点 O，求线段 PQ长度的取值范围.【答案】（1） （2）（2）当直线 l的斜率不存在时，因以 PQ为直径的 圆过坐标原点 O，故可设直线 P为 xy，联立2,184yx解得 同理求得 所以 364Q；当直线 l的斜率存在时，设其方程为 mkxy，设联立 ，可得 由求根公式得 （*）以 PQ为直径的圆过坐标原点 O， 即即 化简可得，将（*）代入可得 ，即 即 ，又 将 代入，可得当且仅当 241k，即 2时等号成立又由 ， ，；综上，得 15、如图，椭
19、圆 经过点 A（0，-1） ，且离心率为 2。（1）求椭圆 E 的方程；（2）若经过点（1，1） ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的亮点 P,Q（均异于点 A） ，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值。 【答案】 （1） （2）见解析由已知 ，设 则从而直线 的斜率之和为16、如图，抛物线24Eyx:的焦点为 F，准线 l与 x 轴的交点为 A，点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，CO为半径作圆，设圆 C 与准线 l交于不同的两点 M，N.（1）若点 C 的纵坐标为 2，求 MN；（2）若 ，求圆 C 的半径.【答案】 （1）2 （2） 3由 x=-1，得 .设 ，则由 ，得 124y，所以2014y，解得06y，此时 0A.所以圆心 C 的坐标为3(,6)2或(,)，从而234CO， 32，即圆 C 的半径为 32.17、已知顶点是坐标原点的抛物线 的焦点 F在 y轴正半轴上，圆心在直线 1yx上的圆 E与 x轴相切，且 ,EF关于点 1,0M对称（1）求 和 的标准方程；（2）过点 的直线 l与 E交于 ,AB，与 交于 ,CD，求证： 【答案】 （1） （2）见解析所以 的标准方程为 24xy因为 E与 x轴相切，故半径 1ra，所以 E的标准方程为所以 所以 ，即
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