1、南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 22 页 专题 4：平面向量 目录 问题归类篇 . 2 类型一：向量的运算 . 2 类型二 :形如 AD xAB yAC 等式中系数 x， y 值的确定 5 类型三：平面向量的综合应用 . 8 综合应用篇 . 11 一、例题分析 . 11 二、反馈巩固 . 14 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 22 页 问题归类篇 类型一：向量的运算 一、 前测回顾 1已知向量 a (2， 1)， b (1， 2)，若 ma nb (9， 8)(m， n R)，则 m n 的值为 _. 答案： 3 2 (1)已知向量
2、a (0， 2)， |b| 2，则 |a b|的取值范围是 (2)若 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b(a b) 0，则 |b|的取值范围是 (3)已知| | 2，| 3，,ab的夹角为120，则2 |_. 答案： (1)0,4； (2)0,1； (3)27. 3 (1)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135， |a| 2， |b| 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab _ (2)若向量 a， b 满足 |a| 3， |b| 1， |a 2b| 19，则向量 a， b 的夹角是 (3)已知 1ab ，且 22 a b a b ，则 a 与 b 的夹角为 (4) 已知 A，
3、 B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _ (5) 已知 a b， |a| 2， |b| 3，且 3a 2b 与 a b 垂直，则实数 的值为 _ (6)已知向量 a (2， 1)， b ( 1， k)， a(2a b) 0，则 k 等于 _ 答案： (1) 3 2； (2)23 ； (3) ; (4) 90;(5) 32； (6)12 4 (1)在 ABC 中， BAC 120， AB 2， AC 1，点 D 是边 BC 上一点， DC 2BD，则 AD BC (2)如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中， BAD 60， E 为
4、CD 中点， 则 AE BD (3)已知 OA 2， OB 2 3, OA OB 0，点 C 在线段 AB 上，且 AOC 60，则 AB OC _ (4)在 ABC 中， BAC 120， AB 2， AC 1，点 D 是边 BC 上一点， DC 2BD， E 为 BC 边上的点，且 AE BC 0则 AD BC ； AD AE _ 答案： (1) 83； (2)1； (3)4； (4) 83, 37； 二、方法联想 1 向量的运算 方法 1 用向量的代数运算 方法 2 结合向量表示的几何图形 三、方法应用 A B C D E 图 1 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页
5、 共 22 页 A B C M N （例 3） 例 1已知向量 (1, 3 ), (3, )mab. 若向量 ,ab的夹角为 6 ，则实数 m _ 解：由题意得23 1 3 3c o s26 29 mm ，两边平方化简得 6 3 18m ， 解得 3m ，经检验符合题意 例 2 在如图的平面图形中，已知 1OM ， 2ON ，120MON， 2BM MA ， 2CN NA ， 则 BCOM 的值为 解： 由 2BM MA ，可知 |2|BMMA， |3|BAMA 由 2CN NA ，可知 |2|CNNA， |3|CANA， 故 | | | | 3| | | |BA CAMA NA 连接 MN
6、，则 BC MN ， 3 3 ( )B C M N O N O M ， 23 ( ) 3 ( )B C O M O N O M O M O N O M O M 23 ( | | | c o s 1 2 0 | | ) 6O N O M O M 例 3 如图，在 ABC 中 ，点 M 为边 BC 的中点，且 2AM ， 点 N 为线段 AM 的中点， 若 74AB AC，则 NBNC 的值为 答案： 54 解析 ： 22A B A C A M B M ，则 2 734 42B M A M A B A C ， 所以 22 2 2 351 24N B N C M N B M 例 4 已知 a， b，
7、 e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则 |ab|的最小值是 _ 答案： 3 1 NMO CBA南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 22 页 解答：设 (1,0)e ， ( , )b x y ， 则 2 224 3 0 4 3 0b e b x y x 22( 2) 1xy 如图所示， a OA ， b OB ，（其中 A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， 3AOx .） m in 1 3 1a b C D .（其中 CD OA .） 例 5 在平面凸四边形 ABCD 中， 22AB
8、 ， 3CD ，点 E 满足 2DE EC ，且 | | | | 2AE BE 若 165AE DE，则 ADBC 的值为 _ 答案： 2 解析：因为 3CD ，点 E 满足 2DE EC ，所以 2DE ， 1EC | | | | 2AE BE， 22AB ，得到 2AEC 又因为 165AE DE，所以 16c o s 5A E D E A E D，得到 4cos 5AED 又 3c o s c o s 5B E C A E B A E D A D B C A E E D B E E C A E E C E D B E E D E C ， c o s c o sA E E C A E C
9、E D B E B E D E D E C ， 432 1 2 2 1 255 2 四、归类巩固 *1 已知平面向量 a， b 满足 |b| 1，且 a 与 b a 的夹角为 120，则 a 的模的取值范围是 答案：（ 0， 2 33 提示：结合向量的几何图形求解 *2.已知向量 (1,2)a ， (2, 2)b ， (1, )c 若 2 c a b ，则 答案： 12. 提示：向量的基本运算 . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 22 页 *3.设向量 (1,0)a ， ( 1, )mb ，若 ()ma a b ，则 m =_ 答案： 1 . 提示：向量的基本运算
10、 . *4 在等腰梯形 ABCD中 ,已知 AB平行于 DC， AB 2， BC 1， ABC 3， 动点 E， F分别在线段 BC，DC上，且 BE BC ， DF 19 DC ， 则 AE AF 的最小值为 . 答案： 1829 提示：数量积 AE AF 表示 为 的函数 *5 ABC 的外接圆的圆心为 O， AB 2， AC 3， 则 AO BC _. 答案： 52 提示：外心隐含着垂直关系 *6.在四边形 ABCD 中，已知 2AB a b ， 4BC a b ， 53CD a b ， 其中， ba, 是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是 答案：梯形 . 提示：向量的基本运算
11、. *7.在平面直角坐标系中，已知点 A（ -1， 0）， B（ 2， 0）， E， F 是 y 轴上的两个动点，且 |EF |=2，则 AE BF的最小值为 _ 答案： 3 类型二 :形如 AD xAB yAC 等式中系数 x， y 值的确定 一、 前测回顾 1 在 ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2 MC , BN NC 若 MN x AB yAC ，则 x y 的值为 答案： 13 2 平面内有三个向量 OA ， OB ， OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 23 ， OA 与 OC 的夹角为 6，且，| OA | | OB | 2， | OC | 4 3， 若 ,O C O
12、 A O B R ，则 的值为 _ 答案： 6 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 22 页 3 已知在 ABC 中， O 为 ABC 的外心， AB 16， AC 10 2 ， AO xAB yAC ， 且 32x 25y25，则 |AO |等于 _ 答案： 10 提示：由 AO x AB y AC，可得 A O A O x A B A O y A C A O ， 21 1282A B A O A M A B A B ，同理： 21 1002A C A O A N A B A C ， 所以 2 1 2 8 1 0 0 4 3 2 2 5 1 0 0A O x y x
13、 y ， 所以 |AO | 10 二、方法联想 方法 1 通过平面向量运算，完成向量 AD 用 AB ， AC 表示，进而确定 x， y 的值 方法 2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式 AD xAB yAC ，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于 x， y 的方程，再进行求解 方法 3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于 x， y 的方程，再进行求解 三、方法应用 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC,BD 相交于点 O， E 为线段 AO 的中点，若 BDBABE （ R, ），则 解：由 1
14、1 1()2 4 2B E B O B A B D B A , 得 34 例 2 平面内有三个向量 OA， OB ， OC ,模长分别为 2,2， 34 ，OA与 OB 的夹角为 32 ， OA与 OC 的夹角为 6 若 OC =mOA +nOB （ m， nR），则 m+n= 解：由已知得： 2)21(2232c o s| OBOAOBOA ， 122 33426c o s| OCOAOCOA ， 则 1224)( nmOBnOAmOAOCOA ， 48444)()( 22 mnnmOBnOAmOBnOAmOCOC ， 解得： 22nm或24nm， 则 0nm 或 6 南京市 2019 届高
15、三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 22 页 例 3 设点 P 是 ABC 所在平面上的一点，点 D 是 BC 的中点，且 23BC BA BP，设 PD AB AC，则 答案： 23 解析：因为 23BC BA BP，所以 2( )B C B P B P B A ，即 2PC AP ，所以 13AP AC， 所以 11 ()33A D A P P D A C A B A C A B A C ，又点 D 是 BC 的中点， 所以 1122AD AB AC，所以 1 1 1,2 3 2 ，所以 23 例 4 如图，四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，点 D 在 OA 的延长线上，且 2
16、OD ，点 P 为 BCD 内（含边界）的动点，设 ,O P O C O D R 则 的最大值等于 解：分别以边 OA OC， 所在直线为 xy， 轴建立如图所示平面直角坐标系 , ()0 )2(10O C O D， ， ， ， 设 ()P x y O P x y， ， ， . 0 1 2 0 2xy ， ， ， ，, 2xy . 12 xy ,设 12z x y，则 12y x z .所以 z 是直线12y x z 在 y 轴上的截距 .由图形可以看出，当该直线经过 11B， 点时，它在 y 轴的截距 z 最大，最大为 32 , 的最大值是 32 四、归类巩固 1 已知点 P 是 ABC 内
17、一点，满足 AP AB AC ，且 2 3 1，延长 AP 交边 BC 于点 D， BD2DC，则 答案： 38 提示： 因为 BD 2DC，所以 AD 13 AB 23AC 由于 AP 与 AD 共线，设 AP mAD ，则 m3， 2m3 ，于是 2 ， 又 2 3 1，解得 18， 14，所以 38 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 22 页 *2 在 ABC 中 ， D 为 BC 边的中点， H 为 AD 的中点，过点 H 作一直线 MN 分别交 AB， AC 于点 M， N，若 ,A M x A B A N y A C，则 x 4y 的最小值是 _ 答案：
18、 94 *3 在 ABC中 ， AB AC 2， AB AC 1， O 是 ABC的外心，若 AO x AB yAC ， 则 xy的值为 _ 答案： 136 类型三：平面向量的综合应用 一、 前测回顾 1 平面上的向量 ,MAMB 满足 2 4MA MB，且 0MA MB，若 1233M C M A M B，则 MC的最小值为 _ 答案： 74 2 已知 a， b 是单位向量，且 a， b 的夹角为 60， ，若向量 c 满足 |c a 2b| 2，则 |c|的最大值为 _ 答案： 23 3 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 ( 3 3)y k x 上存在一点 P ，圆 22( 1) 1x
19、y 上存在一点 Q ，满足 3OP OQ ，则实数 k 的最小值为 答案： 3 二、方法联想 方法 1 基底法，即合理选择一组基底 (一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量 )，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算 方法 2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决 三、方法应用 例 1 在 ABC 中， 120BAC , 2 ACAB ,D 为 BC 边上的点，且 0BCAD , EBCE 2 ， 则 AEAD _ 解：以 ACAB, 为一组基底，由 0BCAD 可知： BCAD ，又 ACAB ，则 D 点为 BC 中点 ACABAD 2
20、121 ， ACABABACABBCABBEABAE 3132)(3131 ， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 22 页 A D C E B )3132()2121( ACABACABAEAD 1261120c o s2221431612131 222 ACACABAB 2261120c o s2221431 1 例 2 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB CD， 90ADC ， AB = 3， AD = 2， E 为 BC 中点，若 AB AC= 3，则 AE BC = 解：以 A 点为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴 ,建立
21、平面直角坐标系， 设 CD =x，则 AB =（ 3， 0）， AC=（ x， 2） 由 ABAC= 3 解得 x=1所以 AE =（ 2， 22）， BC =（ 2， 2）， 所以 AE BC = 3 例 3在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 :2l y x 上在第一象限内的点， (5,0)B ，以 AB 为直径的圆 C与直线 l 交于另一点 D若 0AB CD，则点 A 的横坐标为 答案 ： 3 解析 ： 设 ，则由圆心 为 中点得 ， 易得 ，与 联立解得点 的横坐标 ，所以 所以 ， ， 由 得 ， ， 或 ，因为 ，所以 例 4 若 ABC 中， AB= 2 ， BC=8，
22、B45， D 为 ABC 所在平面内一点且满足 ( ) ( ) 4A B A D A C A D ，则 AD 长度的最小值为 答案： 2 解： 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意， B(-1， -1)， C(7， -1) 设 D(x,y)， 所以 ( ) ( ) ( ) ( 7 ) 4A B A D A C A D x y x y ， 即 ( )( 7 ) 4x y y x ，令7x y my x n ，则 1 ()81 (7 )8x m ny m n ， 所以 mn=4， 所以 2 2 2 2 2 211( ) (7 ) 5 0 2 1 288A D x y m n m n m n m
23、n , 2 0A a a a C AB 5,2aCa : 5 2 0C x x a y y a 2yx D 1Dx 1,2D 5 , 2AB a a 51 , 22aC D a 0AB CD 55 1 2 2 02aa a a 2 2 3 0aa 3a 1a 0a 3aC x y A B D 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 22 页 22222 5 2 4 1 0 2 4 288m n m n 当且仅当 5m=n= 25 时， AD 取得最小值 2 四、归类巩固 *1 在 ABC 中，已知 BC=2， 1AB AC,则 ABC 面积的最大值是 _ 答案 : 2
24、提示：以 BC 所在直线为 x 轴 , 中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则点 B(-1,0),C(1,0) 设点 ( , )Axy ,则由条件得 2( 1)( 1) 1,x x y 即 222,xy 故 ABC 面积的最大值是 1 2 2 2.2 *2 在平面内，定点 A， B， C， D 满足 |DA | |DB | |DC |， DA DB DB DC DC DA 2，动点 P，M 满足 |AP | 1， PM MC ，则 |BM |2的最大值是 _ 答案 :494 提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出 , , ,ABC D 坐标，同时得到动点 P 的轨迹是圆，因此可用圆的性质得
25、出最值 *3 在平面直角坐标系 中， 点 在圆 上，若 则点的横坐标的取值范围是 答案： *4 已知 向量 |a| 1， |b| 2， ab 1，设向量 c 满足 (2a c) (b c) 0，则 c 的最小值为 答案： 3 1 *5 已知 , , ,ABC D 四点共面， 2BC ， 2220AB AC， 3CD CA ，则 |BD 的最大值为 答案： 10 *6.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点F，使得 DE 3EF，则 AFBC 的值为 答案： 31 . *7.如图， oo1 9 0 4 5A B B C A
26、P B B P C ， ，则 PA PC 答案： 45. *8.如图，已知点 O 为 ABC 的重心， OA OB， AB 6 ，则 ACBC 的值为 答案： 72. xOy ( 12,0), (0,6),AB P 22: 50O x y 20,PA PB P 5 2,1南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 22 页 A B D C 综合应用篇 一、例题分析 例 1 （ 1）已知向量 a (1， 2)， b (2， 3)若向量 c 满足 (c a) b， c (a b)，则 c （ 2）已知向量 a (2， 1)， ab 10， a b 5 2，则 b （ 3）若平面
27、向量 a， b 满足 a b 1， a b 平行于 y 轴， a (2， 1)，则 b （ 4） 在菱形 ABCD 中，若 AC 4，则 CA AB 答案： （ 1）（ 79 ， 73 ）； （ 2） 5； （ 3） （ 2， 2）或（ 2， 0）；（ 4） 8 教学建议 一、主要问题归类与方法： 1坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件 2向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积 3第（ 4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系 二、方法选择与优化建议： 1第（ 2）小题，方法 1：设向量 b 的坐标，通过
28、解方程组求解；方法 2：直接对向量 (a b)的模长平方求出答案相对而言，方法 2 比较简单 2第（ 3）小题，常规方法是设出向量 b 的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量 a b 的两要素，先求出向量 a b 的坐标，再求向量 b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质 3第（ 4）小题解法 1：基底法，选择 CA 和与 CA 垂直的 12BD 为基底；解法 2：以 AC、 BD 为两坐标轴建立直角坐标系 例 2 （ 1） 已知正 ABC 的边长为 1， CP 7CA 3CB，则 CP AB （ 2） 设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE
29、 23BC， 若 DE 1AB 2AC （ 1，2 R），则 1 2的值为 _。 （ 3）如图，在 ABC 中， BAC 90， AB 6， D 在斜边 BC 上，且 CD 2DB，则AB AD 的值为 （ 4）已知 a， b 是单位向量， ab 0若向量 c 满足 |c a b| 1，则 |c|的取值范围是 答案：（ 1） 2； （ 2） 12；（ 3） 24； （ 4） 2 1， 2 1 教学建议 一、主要问题归类与方法： 1三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义 2将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理 南京市 2019 届高三数
30、学二轮专题复习资料 第 12 页 共 22 页 3可以关注一下向量数量积的几何意义（投影） 4 （ 4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法 二、方法选择与优化建议： 1第 （ 3）小题的求解，坐标法优于基底法从图形的结构上发现便于建系 2由于向量 a， b 是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂 例 3（ 1） 在正三角形 ABC 中， D 是 BC 上的点， AB 3， BD 1，则 AB AD （ 2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 OA (3， 1)， OB (0， 2)若 OC AB 0， AC OB ，则实数 的值为 （ 3）已知 A（ 3， 0）， B（ 0，
31、3）， O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且 AOC 60， OC OA OB ，则实数 的值是 （ 4）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 8， AD 5， CP 3PD ， AP BP 2，则 AB AD 的值是 _. 答案： （ 1） 152 ； （ 2） 2； （ 3） 13； (4)22 解析 (4)由 CP 3PD ，得 DP 14DC 14AB ， AP AD DP AD 14AB ， BP AP AB AD 14AB AB AD 34AB .因为 AP BP 2，所以 (AD 14AB )(AD 34AB ) 2，即 AD 2 12AD AB 316AB 2 2.
32、又因为 AD 2 25， AB 2 64，所以 AB AD 22. 教学建议 一、主要问题归类与方法： 1解 （ 1）小题可以是基底法（以 AB 和 BD 为基底 ），也可以建立直角坐标系用坐标法 2解 （ 2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解理解向量共线的意义 3平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解 二、方法选择与优化建议： 1解 （ 1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知 例 4 （ 1） 向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图所示若 c a b（ ， R），则 （ 2）如图，正六边形 ABCDEF 中， P 是 CDE
33、 内（包括边界）的动点设AP AB AF （ 、 R），则 的取值范围是 答案：（ 1） 4；（ 2） 3， 4 A B C D E F P b c a 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 22 页 教学建议 一、主要问题归类与方法： 1问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解 2解决这一类问题的基本方法为：（ 1）基底法；（ 2）坐标法 二、方法选择与优化建议： 1解决这两题用坐标法优于基底法 2选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易 3第（ 2）小题坐标化后，转化为线性规划处理 例 5
34、 (1) 如图，在 ABC 中， AN 13NC ， P 是 BN 上一点，若 AP m AB 211AC ，则实数 m 的值为 (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD xAB yAC ，则 x ， y (3) 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 120如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AmB 上变动若 OC xOA yOB ，其中 x， y R，则 x y 的最大值是 _ _ 答案： (1)； (2) 1 32 和 32 ； (3)2 教学建议 一、主要问题归类与方法： 1平面向量的基本定理，向量的分解 方法 1：利用三角形法则，平行四
35、边形法则以及向量共线定理 方法 2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解 方法 3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。 二、方法选择与优化建议： 1第（ 1）小题，用方法 1 较方便，解题的关键是利用 B， P， N 三点共线，设 BP BN ，再利用基底表示的唯一性，求 的值 2第（ 2）小题，本题用方法 2 与方法 3 均可，但相比而言，方法 3 运算量较小 3第（ 3）小题用方法 2 与方法 3 均可，关键是自变量的选择，方法 2 与方法 3，都可选择 AOC 作自变量，来建立 x y
36、的函数关系，方法 2 要用到解三角形的知识，方法 3 用向量坐标间的关系即可，运算量要小些 例 6 (1)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C、 D 不重合 )，若 AO xAB (1 x)AC ，则 x 的取值范围是 _. A B C P N 第 (1)题图 ACBDE45 60 第 (2)题图 O A B C m 第 (3)题图 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 22 页 (2)等腰 ABC 中， AB AC 1， A 120， E、 F 分别是边 AB、 AC 上的点，且 AE mAB ，
37、 AF nAC ，其中 m、 n （ 0， 1），且 m 4n 1 若 EF、 BC 的中点分别为 M、 N， 则 |MN |的最小值为 答案： (1)( 13， 0)； (2) 77 教学建议 (1)主要问题归类与方法： 1几何图形中的向量关系与计算问题 方法 1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法 2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标 (2)方法选择与优化建议： 1解决这类问题的基本方法是：（ 1）基底法；（ 2）坐标法 第 (1)题用基底法，方便，第 (2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点 2 第 (1)题中，显然
38、选择 AB 与 AC 作为基底，因为动点 O 在线段 CD 上，可设 CO CD (0 1)， 将 AO 用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式 (用 表示 x)，从而求出 x 的范围； 3 第 (2)题用基底法与坐标法均可 基底法难点是用基底 AB 、 AC 来表示 MN ，构造三角形 AMN，将 MN向量放在 AMN 中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于 M、 N 分别为 EF、 BC 的中点，有一个向量公式，很容易将 AM 和 AN 用基底向量来表示 AM 12(AE AF ) 12( mAB nAC )， AN 12(AB AC ) 在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关
39、注计算的理性化 用 坐标法的难点是如何利用条件将 E、 F 两点 的坐标表示出来 需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质 4 关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的 二、反馈巩固 *1（ 1）在 平行四边形 ABCD 中， AB a， AD b， AN 3 NC ， M 为 BC 的中点，则 MN _（用a， b 表示） 答案： 14a 14b （ 2）在 ABC 中， BD 2 DC ， AD m AB n AC ，则 mn 答案： 12 说明：考查向量的几何运算 *2（ 1）设 AB (2， 3)，且点 A 的坐标为 (1， 2)，则点 B 的坐标为 A B C
40、 E F M N 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 22 页 答案： (3， 5) （ 2）已知向量 BA (12， 32 )， BC ( 32 ， 12) ，则 ABC _ 答案 :30 （ 3）已知向量 a (2， 3)， b (x， 6)，且 a b，则 x= 答案： 4 （ 4） 已知向量 a (x 5， 3)， b (2， x)，且 a b，则由 x 的值是 答案： 2 （ 5）设向量 a ( 1， 2)， b (2， 1)，则 (ab)(a b)等于 答案： ( 4， 4) （ 6）已知 a (5， 4)与 b (3， 2)，则与 2a 3b 平行的单位向量为 答案： 5 2 5( , )55 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式 *3（ 1）若 |a| 3， | b | 2， 且 a 与 b 的夹角为 60，则 |a b | 答案： 7 （
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