1、专题 16 圆锥曲线的基本量问题【自主热身，归纳总结】1、双曲线 1 的渐近线方程为_x24 y23【答案】： x2y0 3把双曲线方程中 等号右边的 1 换为 0，即得渐近线方程思 路 分 析该双曲线的渐近线方程为 0，即 x2y0.x24 y23 32、 已知椭圆 C 的焦点坐标为 F1(4 ，0)， F2(4，0)，且椭圆 C 过点 A(3，1)，则椭圆 C 的标准方程为 【解析】 AF1+ AF2=6，椭圆 C 的标准方程为218xy3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x2 1 有公共的渐近线，且经过点 P(2， )，y23 3则双曲线 C 的焦距为_【答案】.
2、 4 3解法 1 与双曲线 x2 1 有公共的渐近线的双曲线 C 的方程可设为 x2 ，又它经过点y23 y23P(2， )，故 41，即 3，所以双曲线 C 的方程为 1，故3x23 y29a23，b 29，c 2a 2b 212，c2 ，2c4 .3 3解法 2 因为双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y x，且双曲线 C 过点 P(2， )，它在渐近线y23 3 3y x 的下方，而双曲线 C 与 x2 1 具有共同的渐近线，所以双曲线 C 的焦点在 x 轴上，设所求的3y23双曲线方程为 1(a0，b0)，从而 解得 从而 c 2 ，故双曲线 C 的焦距x2a2 y2b2 ba 3，4a
3、2 3b2 1， ) a2 3，b2 9， ) 3为 4 .34、若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 【解析】 由 ，得 925m 【变式 2】 、已知抛物线 x22 py(p0)的焦点 F 是椭圆 1( a b0)的一个焦点，若 P， Q 是椭圆与y2a2 x2b2抛物线的公共点，且直线 PQ 经过焦点 F，则该椭圆的离心率为_【答案】 12解法 1 由抛物线方程可得，焦点为 F ；由椭圆方程可得，上焦点为(0， c)故 c，将 y c 代(0，p2) p2入椭圆方程可得 x .又抛物线通径为 2p，所以 2p 4 c，所以 b2 a2 c22 ac，即b2a 2b
4、2ae22 e10，解得 e 1.2解法 2 由抛物线方程以及直线 y 可得， Q .又 c，即 Q(2c， c)，代入椭圆方程可得p2 (p， p2) p2 1，化简可得 e46 e210，解得 e232 ， e232 1(舍去)，即c2a2 4c2b2 2 2e 1(负值舍去 )3 22 2解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示本题有两个解法，解法 1 将直线 y c 与 抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法 2 简单【变式 3】 、如图，已知过椭圆 的左顶点 ,0Aa作直线
5、 l交 y轴于点 P，交椭圆于点 Q，若 AOP是等腰三角形，且 2PQ，则椭圆的离心率为 .【答案】： 25 思路分析 1：由于 PQA，故可将 Q 点的坐标用 A，P 的坐标表示出来，利用点 Q 在椭圆上，得到关于,abc的一个等式关系，求出椭圆的离心率。解法 1 因为 O是等腰三角形，所以 O，故 ，又 2PA，所以，由点 Q在椭圆上得2419ab，解得215ba，故离心率 。思路分析 2：由于点 Q 是直线 AP 与椭圆的交点，故将直线 AP 方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点 Q的坐标，再由 PA得到点 Q 的坐标，由此得到关于 ,abc的一个等式关系，求出椭圆的离心率。解法 2
6、因为 O是等腰三角形，所以 OAP，故设直线 与椭圆方程联立并消去 x得：，从而 ，即 ，又由 ，2PQA得 23Qax，故 ，即 254ca，故 25e。【关联 1】 、在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：xy10 与双曲线 C： 1(a0，b0)的两条x2a2 y2b2渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_【答案】. (1， ) 2【解析】：双曲线的渐近线为 y x，y x，依题意有 1，即 bb0)上， P 到椭圆 C 的两(1，32) x2a2 y2b2个焦点的距离之和为 4.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若点 M， N 是椭圆 C
7、上的两点，且四边形 POMN 是平行四边形，求点 M， N 的坐标规范解答 (1)由题意知， 1,2a4. (2 分)1a2 94b2解得 a24，b 23，所以椭圆的方程为 1. (4 分)x24 y23(2) 解法 1 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 ON 的中点坐标为 ，PM 的中点坐标为 .(x22， y22) (1 x12 ， 32 y12 )因为四边形 POMN 是平行四边形，所以Error!即Error!(6 分)由点 M，N 是椭圆 C 上的两点，所以Error! (8 分)解得Error! 或Error! (12 分)由Error! 得Error!由Erro
8、r!得Error!所以点 M ，点 N(2,0)；或点 M(2,0)， (1， 32)点 N .(14 分)( 1，32)解法 2 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为四 边形 POMN 是平行四边形，所以 ，ON OP OM 所以(x 2，y 2) (x 1，y 1)，即Error!(6 分)(1，32)由点 M，N 是椭圆 C 上的两点，所以 (8 分)用得 x12y 120，即 x122y 1，代入(1)中得 3(22y 1)24y 12，整理得 2y 3y 10，所以 y10 或 y1 ，于是Error!或21 2132Error!(12 分)由Error! 得Error
9、!由Error!得Error!所以点 M ，点 N(2,0)；或点 M(2,0)，(1， 32)点 N .(14 分)( 1，32)解法 3 因为四边形 POMN 是平行四边形，所以 ，OP MN 因为点 P ，所以|MN|OP| ，且 kMNk OP ，(6 分)(1，32) 1 94 132 32设直线 MN 方程为 y xm(m0)，32联立Error! 得 3x23mxm 230，(*)所以 (3m) 243(m 23)0，即 m2120，从而 m(2 ，0)(0,2 )，3 3设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 x1x 2m，x 1x2 ，(8 分) m2 33且|MN| |x1x 2| ，1 k2132 x1 x2 2 4x1x2 132 m2 4 m2 33 132 4 13m2又知|MN| ，所以 ，132 132 4 13m2 132整理得 m290，所以 m3 或 m3.(12 分)
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