1、2018 年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题 4 分，共 40 分1 （4 分）2018 的相反数是（ ）A2018 B2018 C D2 （4 分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着 500 多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）A B C D3 （4 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 3 Bx3 Cx3 Dx=34 （4 分）如图几何体的主视图是（ ）A B C D5 （4 分）下列运算正确的是（ ）Am 2+2m3=3m5
2、Bm 2m3=m6 C （ m） 3=m3 D （mn） 3=mn36 （4 分）已知一组数据 45，51，54，52，45 ，44 ，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）A45， 48 B44，45 C45，51 D52，537 （4 分）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C任意多边形的内角和为 360D三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半8 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（ ）A2 B4 C6 D89 （4 分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数
3、y= （b 0）与二次函数y=ax2+bx（a0）的图象大致是（ ）A B C D10 （4 分）甲从商贩 A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩 B 处购买了若干斤西瓜A、B 两处所购买的西瓜重量之比为 3：2，然后将买回的西瓜以从 A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）A商贩 A 的单价大于商贩 B 的单价B商贩 A 的单价等于商贩 B 的单价C商版 A 的单价小于商贩 B 的单价D赔钱与商贩 A、商贩 B 的单价无关二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）11 （4 分）截止 2017 年年底，我国 60 岁以上老龄人口达 2.
4、4 亿，占总人口比重达 17.3%将 2.4 亿用科学记数法表示为 12 （4 分）因式分解：x 21= 13 （4 分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB、CE 相交于点 D，则BDC= 14 （4 分）化简：（1+ ） = 15 （4 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1） ，以点 O 为旋转中心，将点
5、 A 逆时针旋转到点 B 的位置，则 的长为 17 （4 分）对于任意大于 0 的实数 x、y，满足：log 2（xy ）=log 2x+log2y，若log22=1，则 log216= 18 （4 分）现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19 （8 分）计算：2 1 sin60+|1 |20 （8 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来21 （8 分）永州植物园“清风园”共
6、设 11 个主题展区为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查要求学生从“ 和文化”、 “孝文化”、 “德文化”、 “理学文化”、 “瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图结合图中信息，回答下列问题（1）参观的学生总人数为 人；（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；（3）补全条形统计图；（4）从最喜欢“德文化” 的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 22 （10 分）如图，在ABC 中，ACB=90 ，CAB=30，以线段
7、 AB 为边向外作等边ABD ，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积23 （10 分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数24 （10 分）如图，线段 AB 为O 的直径，点 C，E 在O 上，= ，CDAB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1）求证：CF=BF；（2）若 cosABE= ，在 AB 的延长线上取一
8、点 M，使 BM=4，O 的半径为6求证：直线 CM 是O 的切线25 （12 分）如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标：如果不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积26 （12 分）如
9、图 1，在ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上，顶点 G、H分别在 BC、AC 上，CD 是边 AB 上的高，CD 交 GH 于点 I若 CI=4，HI=3，AD=矩形 DFGI 恰好为正方形（1）求正方形 DFGI 的边长；（2）如图 2，延长 AB 至 P使得 AC=CP，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 刚好落在 CP 上时，试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI，正方形 DFGI分别与线段 DG、DB 相交于点 M，N，
10、求MNG的周长2018 年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题 4 分，共 40 分1 （4 分）2018 的相反数是（ ）A2018 B2018 C D【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数【解答】解：2018 的相反数是 2018故选：A【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2 （4 分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着 500 多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称
11、图形的概念进行判断即可【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合3 （4 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 3 Bx3 Cx3 Dx=3【分析】根据分式的意义，分母不等于 0，可以求出 x 的范围【解答】解：根据题意得：x30，解得：x3故选：C【点评】考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）
12、当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负4 （4 分）如图几何体的主视图是（ ）A B C D【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：B【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上5 （4 分）下列运算正确的是（ ）Am 2+2m3=3m5 Bm 2m3=m6 C （ m） 3=m3 D （mn） 3=mn3【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得【解答】解：A、m 2
13、与 2m3 不是同类项，不能合并，此选项错误；B、m 2m3=m5，此选项错误；C、 （ m） 3=m3，此选项正确；D、 （mn） 3=m3n3，此选项错误；故选：C【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方6 （4 分）已知一组数据 45，51，54，52，45 ，44 ，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）A45， 48 B44，45 C45，51 D52，53【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54，所以这组数据的众数为 45，中位数为 （4
14、5+51）=48故选：A【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数7 （4 分）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C任意多边形的内角和为 360D三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据菱形的判定方法对 B 进行判断；根据多边形的内角和对 C 进行判断；根据三角形中位线性质对 D 进行判断【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项为假命题；C、任意多边形的外角和为 360，所以 C
15、 选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命题故选：D【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“ 如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理8 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】只要证明ADCACB ，可得 = ，即 AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC= ACB，ADCAC
16、B ， = ，AC 2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故选：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型9 （4 分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y= （b 0）与二次函数y=ax2+bx（a0）的图象大致是（ ）A B C D【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b 的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案【解答】解：A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0所以反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线 y=ax2+
17、bx 开口方向向上，则 a0，对称轴位于 y 轴的左侧，则 a、b同号，即 b0所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b异号，即 b0所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项错误；D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下，则 a0 ，对称轴位于 y 轴的右侧，则 a、b异号，即 b0所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限，故本选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系10 （
18、4 分）甲从商贩 A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩 B 处购买了若干斤西瓜A、B 两处所购买的西瓜重量之比为 3：2，然后将买回的西瓜以从 A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）A商贩 A 的单价大于商贩 B 的单价B商贩 A 的单价等于商贩 B 的单价C商版 A 的单价小于商贩 B 的单价D赔钱与商贩 A、商贩 B 的单价无关【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解【解答】解：利润=总售价 总成本= 5（3a+2b ）=0.5b0.5a，赔钱了说明利润00.5b0.5a 0 ，a b
19、 故选：A【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）11 （4 分）截止 2017 年年底，我国 60 岁以上老龄人口达 2.4 亿，占总人口比重达 17.3%将 2.4 亿用科学记数法表示为 2.4 108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：2.4 亿=2.410
20、 8故答案为：2.410 8【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12 （4 分）因式分解：x 21= （x+1） （x 1） 【分析】方程利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=（x +1） （x1） 故答案为：（x+1） （x1） 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键13 （4 分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB、CE 相交于点 D，则BDC= 75 【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；【解答】解：CEA
21、=60，BAE=45，ADE=180CEABAE=75，BDC=ADE=75，故答案为 75【点评】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题14 （4 分）化简：（1+ ） = 【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题【解答】解：（1+ ） = ，故答案为： 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法15 （4 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中通过大量重复试验，发现摸到红球的频率
22、稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 100 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解【解答】解：由题意可得， =0.03，解得，n=100故估计 n 大约是 100故答案为：100【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比16 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1） ，以点 O 为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，则 的长为 【分析】由点 A（1，1） ，可得 OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，那
23、么AOB=45，再根据弧长公式计算即可【解答】解：点 A（1，1） ，OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，以点 O 为旋转中心，将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，AOB=45， 的长为 = 故答案为 【点评】本题考查了弧长公式：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） ，也考查了坐标与图形变化旋转，求出 OA= 以及AOB=45 是解题的关键17 （4 分）对于任意大于 0 的实数 x、y，满足：log 2（xy ）=log 2x+log2y，若log22=1，则 log216= 4 【分析】利用 log2（xy）=log 2x+log2y 得到 log216=lo
24、g22+log22+log22+log22，然后根据 log22=1 进行计算【解答】解：log 216=log2（2222） =log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4故答案为 4【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法18 （4 分）现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种【分析】根据点 A、B 的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可；【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计
25、方案有 4 种，如图所示；故答案为 4【点评】本题考查整体应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 8 个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19 （8 分）计算：2 1 sin60+|1 |【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值【解答】解：原式= +2=1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （8 分）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出来【解答】解： ，解不等式，可得x3
26、，解不等式，可得x1，不等式组的解集为1 x3，在数轴上表示出来为：【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集21 （8 分）永州植物园“清风园”共设 11 个主题展区为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查要求学生从“ 和文化”、 “孝文化”、 “德文化”、 “理学文化”、 “瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图结合图中信息，回答下列问题（1）参观的学生总人数为 40 人
27、；（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 15% ；（3）补全条形统计图；（4）从最喜欢“德文化” 的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 【分析】 （1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；（3）依据“德文化” 的学生数为 40128106=4，即可补全条形统计图；（4）设最喜欢“德文化” 的 4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率【解答】解：（1）参观的学生总人数为 1230%=40（人） ；（
28、2）喜欢“瑶文化” 的学生占参观总学生数的百分比为 100%=15%；（3） “德文化” 的学生数为 40128106=4，条形统计图如下：（4）设最喜欢“德文化” 的 4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况，甲同学被选中的概率是： = 故答案为：40；15% ； 【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22 （10 分）如图，在ABC 中，ACB=90 ，CAB=30，以线段 AB 为边向外作等边ABD ，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD
29、于点 F（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积【分析】 （1）在 RtABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= AB，BE= AB，得到BCE=EBC=60由AEF BEC ，得AFE=BCE=60又D=60，得AFE=D=60 度所以 FCBD，又因为BAD= ABC=60，所以 ADBC，即FDBC，则四边形 BCFD 是平行四边形（2）在 Rt ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；【解答】 （1）证明：在ABC 中，ACB=90 ， CAB=30，ABC=60 在等边ABD 中，BAD=60，BAD=ABC=60 E 为
30、 AB 的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC 中，ACB=90 ，E 为 AB 的中点，CE= AB，BE= ABCE=AE ，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60 FC BD又BAD=ABC=60 ，ADBC，即 FDBC 四边形 BCFD 是平行四边形（2）解：在 RtABC 中，BAC=30，AB=6，BC= AB=3，AC= BC=3 ，S 平行四边形 BCFD=3 =9 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正
31、确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型23 （10 分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x 人，女生人数为 y 人，根据“男生人数 +女生人数=55、男生人数=1.5女生人数+5”列出方程组并解答【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x 人，女生人数为 y人，依题意得： ，解得 ，答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 35 人，女生人数为 20 人【点评】考查了二元一次方程组的应用分析题意，找到关键
32、描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键24 （10 分）如图，线段 AB 为O 的直径，点 C，E 在O 上，= ，CDAB，垂足为点 D，连接 BE，弦 BE 与线段 CD 相交于点 F（1）求证：CF=BF；（2）若 cosABE= ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM=4，O 的半径为6求证：直线 CM 是O 的切线【分析】 （1）延长 CD 交O 于 G，如图，利用垂径定理得到 = ，则可证明= ，然后根据圆周角定理得CBE=GCB，从而得到 CF=BF；（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图，先利用垂径定理得到 OCBE，再在 RtOBH中利用解直角三角形得到 BH= ，
33、OH= ，接着证明OHBOCM 得到OCM=OHB=90，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】证明：（1）延长 CD 交O 于 G，如图，CDAB， = ， = ， = ，CBE=GCB，CF=BF；（2）连接 OC 交 BE 于 H，如图， = ，OCBE ，在 RtOBH 中，cosOBH= = ，BH= 6= ，OH= = ， = = ， = = ， = ，而HOB= COM，OHB OCM，OCM=OHB=90，OCCM ，直线 CM 是 O 的切线【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形25 （12 分）
34、如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式；（2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标：如果不存在，请说明理由（3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积【分析】 （1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作 E 关于对称轴的对称
35、点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小，先求 EF 的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点 G；（3）如图 2，先利用待定系数法求 AB 的解析式为：y=2x+6，设N（m，m 2+2m+3） ，则 Q（m，2m+6） ， （0m 3） ，表示 NQ=m2+4m3，证明QMNADB ，列比例式可得 MN 的表达式，根据配方法可得当 m=2 时，MN 有最大值，证明NGPADB，同理得 PG 的长，从而得 OP 的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将 m=2 代入计算即可【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x1） 2+4，把（0，3）代入得：3=a（ 01）
36、2+4，a=1，抛物线的表达式为：y=（x1） 2+4=x2+2x+3；（2）存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小，E （0 ，3 ） ，E（2，3） ，易得 EF 的解析式为： y=3x3，当 x=1 时，y=313=0，G（1，0）（3）如图 2，A（1，4） ，B （3，0） ，易得 AB 的解析式为：y= 2x+6，设 N（ m，m 2+2m+3） ，则 Q（m，2m+6） ， （0m3） ，NQ=（m 2+2m+3）（2m+6）=m 2+4m3，ADNH，DAB=NQM，ADB=QMN=90 ，QMNADB ， ， ，
37、MN= （m2） 2+ ， 0 ，当 m=2 时， MN 有最大值；过 N 作 NGy 轴于 G，GPN=ABD，NGP=ADB=90，NGPADB ， = = ，PG= NG= m，OP=OGPG= m2+2m+3 m=m2+ m+3，S PON = OPGN= （m 2+ m+3）m，当 m=2 时，S PON = 2（ 4+3+3）=2 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于 m 的方程是解题答问题（3）的关键26 （12 分）如图 1，在
38、ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上，顶点 G、H分别在 BC、AC 上，CD 是边 AB 上的高，CD 交 GH 于点 I若 CI=4，HI=3，AD=矩形 DFGI 恰好为正方形（1）求正方形 DFGI 的边长；（2）如图 2，延长 AB 至 P使得 AC=CP，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 刚好落在 CP 上时，试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI，正方形 DFGI分别与线段 DG、DB 相交于点 M，N，求MNG的
39、周长【分析】 （1）由 HIAD ，得到 = ，求出 AD 即可解决问题；（2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应的点为 G，点 F 的对应的点为 F求出IG和 BD 的长比较即可判定；（3）如图 3 中，如图将DMI绕点 D 逆时针旋转 90得到DFR，此时N、F、R 共线想办法证明 MN=MI+NF，即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，HIAD， = ， = ，AD=6 ，ID=CDCI=2 ，正方形的边长为 2（2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应的点为 G，点 F 的对应的点为 FCA=CP，CDPA，ACD=PCD，A=P，HGPA ，CHG=A，CGH=
40、 P，CHG=CGH，CH=CG，IH=IG=DF=3 ，IGDB， = ， = ，DB=3，DB=DF=3，点 B 与点 F重合，移动后的矩形与CBP 重叠部分是BGG，移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形（3）如图 3 中，如图将DMI绕点 D 逆时针旋转 90得到DFR，此时N、F、R 共线MDN= NDF+MDI= NDF+DFR=NDR=45，DN=DN，DM=DR，NDMNDR，MN=NR=NF+RF=NF +MI，MNG的周长=MN+MG+NG=MG+MI +NG+FR=2IG=4【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题
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