1、2.2 一元二次不等式的应用,第三章 2 一元二次不等式,学习目标 1.会解简单的分式不等式和高次不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 分式不等式的解法,答案,答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知识点二 穿针引线法解高次不等式,思考 分别画出yx1，y(x1)(x2)，y(x1)(x2)(x3)的图像，并观察它们与相应的x10，(x1)(x2)0，(x1)(x2
2、)(x3)0的关系,答案,答案,不等式的解集恰是对应图像当y0时相应的横坐标的集合,梳理 一般地f(x)(xa)(xb)(xc)(a0(或0.则拣取区间(a，b)(c，)，即为所求解集,x轴的一个交点,(c，)，(b，c)，(a，b)，(，a),知识点三 一元二次不等式恒成立问题,思考 x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？,答案 x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图像恒在x轴上方.区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集,答案,梳理 一般地，“不等式f(x)0
3、在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图像全部在x轴 方.区间a，b 是不等式f(x)0的解集的 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： 若f(x)有最大值，则kf(x)恒成立k ； 若f(x)有最小值，则kf(x)恒成立k .,上,f(x)max,子集,f(x)min,思考辨析 判断正误 1.x212x等价于(x21)min2x.( ) 2.x(x1)(x1)0与x(x1)(1x)0的解集相等.( ) 3.不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集为(1，)，知a0且ab.,(axb)(x2)0的解集为(，1)(2，)，,解答,解答,命题角度2 一元高
4、次不等式 例2 解下列不等式： (1)x42x33x20；,解答,解 原不等式可化为x2(x3)(x1)0， 当x0时，x20， 由(x3)(x1)0，得1x3； 当x0时，原不等式为00，无解. 原不等式的解集为x|1x3，且x0.,解答,解 原不等式可化为(x1)(x1)(x2x1)0， 而对于任意xR，恒有x2x10， 原不等式等价于(x1)(x1)0， 原不等式的解集为x|1x1.,(2)1xx3x40；,解答,解 原不等式可化为(2x3)(3x4)(2x1)(x2)0，,(3)(6x217x12)(2x25x2)0.,反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符
5、号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑穿针引线法.,解析 由题意知x2pxq(x1)(x2)， 则待解不等式等价于(x1)(x2)(x25x6)0 (x1)(x2)(x6)(x1)0x1或1x2或x6.,解析,答案,类型二 不等式恒成立问题,例3 设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；,解答,解 要使mx2mx10恒成立， 若m0，显然10，满足题意；,4m0.,(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,解 方法一 要使f(x)m5在x1,3上恒成立，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在
6、1,3上是减函数， g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.,方法二 当x1,3时，f(x)m5恒成立， 即当x1,3时，m(x2x1)60恒成立.,引申探究 把本例(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.,解答,解 f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60. 设g(m)m(x2x1)6.,g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0， 即3(x2x1)60，x2x10，,反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求
7、函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式. (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解.,跟踪训练3 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.,答案,解析,解析 构造函数f(x)x2mx4，x1,2， 则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2). 由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立.所以m5.,(，5,类型三 实际问题中的一元二次不等式,例4 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小
8、于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.,解 设花卉带的宽度为x m(0x600)， 则中间草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m. 根据题意可得(8002x)(6002x) 800600， 整理得x2700x6001000， 即(x600)(x100)0，所以012， S乙0.05x乙0.005 10. 分别求解，得x甲30，x乙40. 由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.,达标检测,答案,1.若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是 A.m2 B.m2 C.m2或m2 D.2m2,1,2,3,4,5,解析 由题意，
9、得m240，2m2.,解析,1,2,3,4,5,解析,答案,x2或x1.,答案,1,2,3,4,解析,即(x3)(x2)(x1)0， 利用穿针引线法，解得23.,5,答案,1,2,3,4.已知关于x的不等式x24xm对任意x(0,1恒成立，则有 A.m3 B.m3 C.3m0 D.m4,4,解析,解析 令f(x)x24x(x2)24， 则f(x)在(0,1上为减函数， 所以当x1时，f(x)min3， 所以m3.,5,答案,1,2,3,5.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)t10(0t30，tN)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)t35 (0f(x)恒成立af(x)max； (2)af(x)恒成立af(x)min.,规律与方法,3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解. 4.用穿针引线法解不等式时注意先把各因式中x的系数化为正数.,
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