1、2.2 圆的一般方程,第二章 2 圆与圆的方程,学习目标 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 3.初步体会圆的方程的实际应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 圆的一般方程,思考1 方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？ 答案 对方程x2y22x4y10配方， 得(x1)2(y2)24， 表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆； 对方程x2y22x4y60配方， 得(x1)2(y2)21， 不表示任何图形.,思考2 方程x2y2DxEyF0是否表示圆？,答案 对方程x
2、2y2DxEyF0配方并移项，得,当D2E24F0时，,当D2E24F0时，,当D2E24F0时， 方程无实数解，它不表示任何图形.,思考辨析 判断正误 1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) 2.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.( ) 3.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.( ),题型探究,例1 若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.,类型一 圆的一般方程的理解,解答,解 由表示圆的条件， 得(2m)2(2)24(m25m)0， 解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求
3、解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.,解析 由圆的一般方程的形式知，a2a2，得a2或1. 当a2时，,跟踪训练1 (1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_.,解析,答案,(2，4),5,a2不符合题意. 当a1时，方程可化为x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225， 圆心坐标为(2，4)，半径为5.,(2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_.,由圆的性质知，直线xy10经过圆心，,该圆的面积为9.,解析,答案,9,
4、类型二 求圆的一般方程,例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1). (1)求ABC的外接圆的方程；,解 设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，,即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.,解答,(2)若点M(a，2)在ABC的外接圆上，求a的值.,解 由(1)知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120， 点M(a，2)在ABC的外接圆上， a2228a22120， 即a28a120，解得a2或6.,解答,引申探究 若本例中将“点C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？,解答,反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时
5、应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.,跟踪训练2 已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 ，求圆的方程.,解答,解 方法一 (待定系数法) 设圆的方程为x2y2DxEyF0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得令x0，得y2EyF0， 由已知得|y1y2|4 ，其中y1，y2是方程的根， |y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2 E24F48. ,故圆的方程为
6、x2y22x120或x2y210x8y40.,方法二 (几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线方程为xy10， 所求圆的圆心C在直线xy10上， 设其坐标为(a，a1).由已知得圆C截y轴所得的线段长为4 ，而圆心C到y轴的距离为|a|，,代入(*)式整理得a26a50， 解得a11，a25，故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.,类型三 圆的方程的实际应用,例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度.(精确到0.01 m),解答,解 建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在
7、y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2(yb)2r2. 因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2(yb)2r2.,所以圆的方程是x2(y10.5)214.52. 把点P2的横坐标x2代入圆的方程， 得(2)2(y10.5)214.52，,14.3610.53.86(m). 故支柱A2P2的高度约为3.86 m.,反思与感悟 在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果.应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助.,解答,跟踪训练3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离
8、水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为多少？,解 以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系， 设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B， 则由已知得A(6，2)，B(6，2)， 设圆拱所在的圆的方程为x2y2DxEyF0， 因为原点在圆上，所以F0. 另外点A，点B在圆上，,所以D0，E20， 所以圆的方程为x2y220y0. 当水面下降1 m后，可设点A的坐标(x0，3)(x00)， 如图所示，将A的坐标(x0，3)代入圆的方程，,达标检测,答案,1.圆x2y22x6y80的面积为 A.8 B.4 C.2 D.,1,2,3,4,5,解析,解析 原方程可
9、化为(x1)2(y3)22，圆的面积为Sr22.,2.若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是 A.xy30 B.xy30 C.2xy60 D.2xy60,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4,2)， 则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.,1,2,3,3.若方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是 A.m2 B.m C.m2 D.m,4,5,答案,解析,解析 由D2E24F0，得(1)2124m0， 即m .,1,2,3,4,5,解析,4.方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2
10、,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为 A.2,4,4 B.2，4,4 C.2，4,4 D.2，4，4,答案,1,2,3,4,5,解得a2，b4，c4.,1,2,3,4,5,5.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.,解答,1,2,3,4,5,解 方法一 设圆心C的坐标为(0，b)，解得b2. C点坐标为(0,2).,圆C的方程为x2(y2)25， 即x2y24y10.,1,2,3,4,5,中垂线的斜率k1，,令x0，得y2，即圆心为(0,2).,圆的方程为x2(y2)25，即x2y24y10.,1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D，E，F.,规律与方法,
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