1、4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一),第一章 4 空间图形的基本关系与公理,学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系. 2.会用符号表达点、线、面的位置关系. 3.掌握空间图形的三个公理及其推论.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间图形的基本位置关系,对于长方体有12条棱和6个面. 思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 答案 相交，平行，既不平行也不相交. 思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 答案 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交. 思考3 六个面之间有哪几种位置关系.
2、 答案 平行和相交.,梳理,a,abO,a,aA,a,任何一个平面内,知识点二 空间图形的公理,思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？ 答案 不在同一直线上的三点确定一个平面. 思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 答案 直尺在桌面上. 思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？ 答案 这些公共点在同一直线上.,梳理 (1)空间图形的公理,两点,所有的点,平面,Al,Bl,A,B,不在一条直线上,P,的公共直线,通过这个点,P,(2)公理2的推论 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图). 推论2：两条相交直线确定一个平面(图). 推论3：两条平行直线确定一
3、个平面(图).,思考辨析 判断正误 1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( ) 2.空间不同三点确定一个平面.( ) 3.一条直线和一个点确定一个平面.( ),题型探究,例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.,类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化,(1)点P与直线AB；,解 点P直线AB.,(2)点C与直线AB；,解 点C直线AB.,(3)点M与平面AC；,解 点M平面AC.,(4)点A1与平面AC；,解 点A1平面AC.,解答,(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.,解 直线AB直线BC点B.解 直线AB平面AC.解
4、 平面A1B平面AC直线AB.,解答,反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.,跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形. (1)直线l经过平面内两点A，B；,解答,解 A，B，Al，Bl，如图.,(2)直线l在平面外，且过平面内一点P；,解答,解 l，Pl，P.如图,(3)直线l既在平面内，又在平面内；,解答,解 l，l.如图.,(4)直线l是平面与的交线，平面内有一条直线m与l平行.,解答,解 l，m，
5、ml.如图.,命题角度1 点线共面问题 例2 如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.,类型二 平面的基本性质的应用,证明,证明 因为PQa， 所以PQ与a确定一个平面， 所以直线a，点P. 因为Pb，b， 所以P. 又因为a，P， 所以与重合， 所以PQ.,引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.,解答,解 已知：abc，laA，lbB，lcC. 求证：a，b，c和l共面. 证明：如图， ab， a与b确定一个平面. laA，lbB， A，B. 又Al，Bl， l. bc，,b与c确定一个平面，同理l. 平面与都包含l和b
6、，且blB， 由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面， 平面与平面重合，a，b，c和l共面.,反思与感悟 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.,跟踪训练2 如图，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.,证明,证明 方法一 (纳入平面法) l1l2A， l1和l2确定一个平面. l2l3B， Bl2. 又l2，B. 同理可证C. Bl3，Cl3， l3. 直线l1，l2，l3
7、在同一平面内.,方法二 (重合法) l1l2A， l1和l2确定一个平面. l2l3B， l2，l3确定一个平面. Al2，l2， A. Al2，l2，A. 同理可证B，B，C，C. 不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内. 平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.,命题角度2 点共线、线共点问题 例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点. 求证：FE，HG，DC三线共点.,证明,证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1EB，且HC1EB， 四边形HC1BE是平行四边形， HEC1B. 又C1GG
8、C，CFBF，GFHE，且GFHE， HG与EF相交.设交点为K， KHG，HG平面D1C1CD，,K平面D1C1CD. KEF，EF平面ABCD， K平面ABCD， K(平面D1C1CD平面ABCD)DC， EF，HG，DC三线共点.,反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交
9、线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.,跟踪训练3 已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.,证明,证明 方法一 ABP， PAB，P平面. 又AB平面ABC， P平面ABC. 由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上. P，Q，R三点共线.,方法二 APARA， 直线AP与直线AR确定平面APR. 又ABP，ACR， 平面APR平面PR. B平面APR，C平面APR， BC平面APR. QBC， Q平面APR，又Q， QPR， P，Q，R三点共线.,达标检测,答案,
10、1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是 A.Al，l B.Al，l C.Al，l D.Al，l,1,2,3,4,5,解析,解析 点A在直线l上，Al. l在平面外， l.故选B.,2.满足下列条件，平面平面AB，直线a，直线b且aAB，bAB的图形是,1,2,3,4,5,答案,2,3,3.下列推理错误的是 A.Al，A，Bl，Bl B.A，A，B，BAB C.l，AlA D.A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合,4,5,解析 当l ，Al时，也有可能A，如lA，故C错.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,4.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，
11、C三点的平面记作，则与的交线必通过 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M,1,解析 因为平面过A，B，C三点，M在直线AB上， 所以与的交线必通过点C和点M.,解析,5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_.,P直线DE,解析 因为PAB，AB平面ABC， 所以P平面ABC. 又P，平面ABC平面DE， 所以P直线DE.,答案,2,3,4,5,1,解析,1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚. 2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.,规律与方法,
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