1、第5课时 线面垂直的综合应用,第1章 1.2.3 直线与平面的位置关系,学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角. 2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离. 3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与平面所成的角,思考 直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？,答案 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角. 直线与平面所成的角的
2、取值范围是0，90.,梳理,相交,垂直,直线PA,交点,点A,斜足A,垂足O,OA,PAO,直角,0,090,知识点二 两种距离,1.点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和 间的距离，叫做这个点到这个平面的距离. 2.直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.,垂足,任意一点,题型探究,例1 已知BAC在平面内，P，PABPAC.求证：点P在平面内的射影在BAC的平分线上.,类型一 与线面角有关的问题,证明,证明 如图所示，作PO，PEAB，PFAC， 垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.,同理，ACOF. 在Rt
3、AOE和RtAOF中，AEAF，OAOA， 所以RtAOERtAOF. 于是EAOFAO， 因此，点P在内的射影O在BAC的平分线上.,反思与感悟 (1)求直线和平面所成角的步骤 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； 把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. (2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.,跟踪训练1 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，C1HAB，证明：点H是C1在平面ABC内
4、的射影.,证明,证明 连结AC1. BAC90，ABAC， 又ACBC1，BC1ABB， AC平面ABC1. 又C1H平面ABC1， ACC1H. 又ABC1H，ABACA， C1H平面ABC， 点H是C1在平面ABC上的射影.,类型二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用,例2 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证： (1)CDAE；,证明,证明 在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD. ACCD，PAACA， CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE.,(2)PD平面ABE.,证明
5、,证明 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知，AECD，又PCCDC， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD， PD在底面ABCD内的射影是AD， 又ABAD，ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE.,反思与感悟 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练2 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC 90，ABACa，AA12a，D为棱B1B的中点.求证： (1)A1C1平面ACD；,证明,证明 在直三棱柱ABCA1
6、B1C1中，ACA1C1. 又A1C1平面ACD，AC平面ACD， A1C1平面ACD.,(2)直线A1D平面ADC.,证明,证明 A1B1D和ABD都为等腰直角三角形， A1DB1ADB45， A1DA90，即A1DAD. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， A1AAC. 又BAC90，ACAB. AA1ABA，AC平面A1ABB1， 又A1D平面A1ABB1，ACA1D. 又ADACA，AD，AC平面ADC， A1D平面ADC.,达标检测,答案,解析,1.下列说法： 平面的斜线与平面所成的角的取值范围是090； 直线与平面所成的角的取值范围是090； 若两条直线与一个平面所
7、成的角相等，则这两条直线互相平行； 若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等. 其中正确的是_.(填序号),1,2,3,4,5,解析 应为090； 中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.,答案,2.AB是平面的斜线段，其长为a，它在平面内的射影AB的长为b，则垂线AA的长为_.,1,2,3,4,5,答案,3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MNBC于M，则MN与AB的位置关系为_.,垂直,1,2,3,4,5,解析 AB平面BCC1B1，又MN平面BCC1B1， ABMN.,解析,答案,解析,4.若长方体ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1
8、与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_.,1,2,3,4,5,解析 依题可知B1AB60，A1C1平面ABCD， A1A平面ABCD， A1A即为A1C1到底面ABCD的距离.,证明,1,2,3,4,5,5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点. (1)求证：BC平面A1AC；,证明 AB为O的直径，点C为O上的任意一点，BCAC. 又在圆柱OO1中，AA1底面O，AA1BC， 又AA1ACA， BC平面A1AC.,证明,1,2,3,4,5,(2)若D为AC的中点，求证：A1D平面O1BC.,1,2,3,4,5,证明 取BC的
9、中点E，连结DE，O1E， D为AC的中点， 在ABC中，DEAB，且DE AB， 又在圆柱OO1中，A1O1AB，且A1O1 AB， DEA1O1，DEA1O1， 四边形A1DEO1为平行四边形，A1DEO1. 而A1D平面O1BC，EO1平面O1BC， A1D平面O1BC.,立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如： (1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线.,规律与方法,
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