1、1.4 生活中的优化问题举例,第一章 导数及其应用,学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . (2)利用导数解决优化问题的实质是 . (3)解决优化问题的基本思路：,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,求函数最值,数学建模,题型探究,类型一 平面几何中的最值问题,例1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的
2、最大值.,解答,解 设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂
3、足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度). (1)将S表示为的函数；,解答,解 由题干图知BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，则S MBAB 100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，).,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,解答,解 S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1).,即点A到北京路一边l的距离为150 m.,类型二 立体几何中的最值问题,例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长 度单
4、位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两 端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立 方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元. (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；,解答,所以圆柱的侧面积为,两端两个半球的表面积之和为4r2.,所以定义域为(0, ).,(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.,解答,引申探究 例2中，若r(0,1，求最小建造费用.,解答,解 由例2(2)可知，,当r1时，ymin136. 最小建造费用为136千元.,(1)立体几何
5、中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体 积的最大值为_ cm3.,答案,解析,解析 设矩形的长为x cm， 则宽为(10x) cm (0x10). 由题意可知圆柱体积为 Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2，,类型三 实际生活中的最值问题,命题角度1 利润最大问题,例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为1
6、0万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x),(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,解 当0x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,跟踪训练3 某商场销售某
7、种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,解 因为当x5时，y11，所以 1011， 所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,解 由(1)可知，该商品每日的销售量为,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,210(x3)(x6)2，3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,
8、6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,命题角度2 费用(用材)最省问题 例4 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)， 则y1kv2，当v12时，y1720， 720k122，得k5. 设全程燃料费为y，由题意，得,令y0，得v16， 当v016， 即v16 km/h时，全程燃料费最省，ymin32 000(元)；,当v016，即v(8，v
9、0时，y0)，为使利润最大，应生产 A.9千台 B.8千台 C.6千台 D.3千台,解析 构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形， 当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.,1,2,3,4,5,解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.,设正方形与圆形的面积之和为S，,由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小 值显然存在，故当x cm时
10、，面积之和最小.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,160,当x2时，ymin160(元).,1,2,3,4,5,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,解答,解 设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2. 若记商品一个星期的获利为f(
11、x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,1,2,3,4,5,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解答,解 根据(1)得，f(x)18x2252x43218(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,本课结束,
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