2018-2019学年天津市南开翔宇中学八年级下第一次月考数学试卷（含答案解析）

1、2018-2019 学年天津市南开翔宇中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，12 小题共 36 分1在 RtABC 中，B90，BC 1，AC2，则 AB 的长是（ ）A1 B C2 D2如图，在ABCD 中，AD16，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于（ ）A10 B8 C6 D43如图，在ABC 中，A45，B30，CDAB 于 D，CD2，则 AB 长为（ ）A6 B C +2 D +24如图，在ABC 中，AB AC 8，D 是 BC 上一动点（D 与 B、C 不重合），且DEAB，DFAC，则四边形 DEAF 的周长是（ ）A24 B18

2、C16 D125下列选项中，矩形具有的性质是（ ）A四边相等B对角线互相垂直C对角线相等D每条对角线平分一组对角6平行四边形的边长为 5，则它的对角线长可能是（ ）A4 和 6 B2 和 12 C4 和 8 D4 和 37如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，EBDF 且 BE 与 DF 之间的距离为 3，则 AE 的长是（ ）A B C D8下列结论中，错误的有（ ）在 RtABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5；ABC 的三边长分别为 AB，BC ，AC，若 BC2+AC2 AB2，则A90；在 ABC 中，若A ：B ：C 1：5：6，则ABC 是直角三角形；若

3、三角形的三边长之比为 3：4：5，则该三角形是直角三角形；A0 个 B1 个 C2 个 D3 个9如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的短直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b） 2 的值为（ ）A169 B25 C19 D1310如图，东西方向上有 A，C 两地相距 10 千米，甲以 16 千米/ 时的速度从 A 地出发向正东方向前进，乙以 12 千米/时的速度从 C 地出发向正南方向前进，那么最快经过（ ）小时，甲、乙两人相距 6 千米？A B C1.5 D11

4、如图，MON90，长方形 ABCD 的顶点 B、C 分别在边 OM、ON 上，当 B 在边 OM 上运动时，C 随之在边 ON 上运动，若 CD5，BC 24，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为（ ）A24 B25 C D2612如图，已知ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，且 BD1，以 AD 为边作等边ADE，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F，连接 BF，则下列结论中ABDBCF；四边形 BDEF 是平行四边形； S 四边形 BDEF ； SAEF 其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（每小题 3 分，6 小题共

5、 18 分13若 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的交点，且 OBOD ，AC14cm，则当 OA cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形14如图，在ABC 中，AB6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 在 DE 上，且 DF3FE，当AF BF 时，BC 的长是 15如图，在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于 M，若 CM3，则CE2+CF2 16如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQAD，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP 17如图，在四边形 ABCD 中，A

6、BBC，对角线 AC、BD 相交于点 E，E 为 BD 中点，且ADBD，AB2，BAC30，则 DC 18如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，P 为 AD 上一点，将ABP 沿 BP 翻折至EBP，PE与 CD 相交于点 O，BE 与 CD 相交于点 G，且 OEOD，则 AP 的长为 19如图是规格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则 C 点坐标是 ；（3）求ABC

7、中 BC 边上的高长20如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，A90，CBD30，C45，如果AB ，求 CD 的长21如图，平行四边形 ABCD 中，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F，连结 AF、CE （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB6，AD 2 ，ABD30，求四边形 AECF 的面积22如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO CO，BODO ，且ABC+ADC180（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 DEAC 交 BC 于 E，ADB：CDB2：3，则BDE 的度数是多少？23如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小

8、岛 A 在船的北偏东 60的方向上，轮船从 B 处继续向正东方向航行 100 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30的方向上，ADBC 于点D，求 AD 的长24如图，长方形纸片 ABCD 中，AB8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，折痕的一端 G 点在边 BC 上（1）如图 1，当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE4 时，求 AF 的长（2）如图 2，当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG10 时，求证： EFEG求 AF 的长（3）如图 3，当折痕的另一端 F 在 AD 边上，B 点的对应点 E 在长方形内部，E 到 AD 的距离为2cm，且

9、BG 10 时，求 AF 的长2018-2019 学年天津市南开翔宇中学八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，12 小题共 36 分1在 RtABC 中，B90，BC 1，AC2，则 AB 的长是（ ）A1 B C2 D【分析】根据勾股定理即可得到结论【解答】解：在 RtABC 中，B90，BC 1，AC2，AB ，故选：B【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键2如图，在ABCD 中，AD16，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于（ ）A10 B8 C6 D4【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：四边形

10、 ABCD 是平行四边形，BCAD16，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，EF BC8，故选：B【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题3如图，在ABC 中，A45，B30，CDAB 于 D，CD2，则 AB 长为（ ）A6 B C +2 D +2【分析】在 RtACD 中求出 AD，在 RtCDB 中求出 BD，继而可得出 AB【解答】解：在 RtACD 中， A45，CD2，则 ADCD2，在 Rt CDB 中， B30， CD2，则 BD2 ，故 ABAD +BD2 +2故选：D【点评】本题考查了等腰直角三角形及含 3

11、0角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质4如图，在ABC 中，AB AC 8，D 是 BC 上一动点（D 与 B、C 不重合），且DEAB，DFAC，则四边形 DEAF 的周长是（ ）A24 B18 C16 D12【分析】根据等角对等边可得BC，再根据两直线平行，同位角相等可得BCDE，然后根据等角对等边可得 CE DE，同理可得 BFDF，然后求出四边形 DEAF 的周长AB+AC ，代入数据进行计算即可得解【解答】解：ABAC，BC，DEAB，BCDE，CEDE，同理可得 BFDF ，四边形 DEAF 的周长AF+ DF+DE+AEAF +BF+CE+AEAB +

12、AC，ABAC8，四边形 DEAF 的周长8+816故选：C【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记等腰三角形的性质与判定求出四边形 DEAF 的周长AB +AC 是解题的关键5下列选项中，矩形具有的性质是（ ）A四边相等B对角线互相垂直C对角线相等D每条对角线平分一组对角【分析】根据矩形的性质可判断【解答】解：矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，选项 C 正确故选：C【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键6平行四边形的边长为 5，则它的对角线长可能是（ ）A4 和 6 B2 和 12 C4 和 8 D4 和 3【分析】根据平行四边形的性质

13、中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知【解答】解：A、对角线一半分别是 2 和 3，2+35，故不能构成三角形，故本选项错误；B、对角线一半分别是 1 和 6，615，故不能构成三角形，故本选项错误C、对角线一半分别是 2 和 4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项正确；D、对角线一半分别是 2 和 ，2+35，故不能构成三角形，故本选项错误故选：C【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，注意平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形，另外要熟练三角形的三边关系7如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，EBDF 且 BE 与 DF 之间

14、的距离为 3，则 AE 的长是（ ）A B C D【分析】过点 D 作 DGBE，垂足为 G，则 GD3，首先证明AEBGED，由全等三角形的性质可得到 AEEG ，设 AEEGx，则 ED4x ，在 RtDEG 中依据勾股定理列方程求解即可【解答】解：如图所示：过点 D 作 DGBE，垂足为 G，则 GD3AG，AEBGED，ABGD3，AEB GEDAEEG 设 AEEG x，则 ED4x，在 Rt DEG 中，ED 2GE 2+GD2，x 2+32（4x） 2，解得：x 故选：C【点评】本题主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用，依据题意列出关于 x 的方程是解题的关键8下列结论中，错误

15、的有（ ）在 RtABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5；ABC 的三边长分别为 AB，BC ，AC，若 BC2+AC2 AB2，则A90；在 ABC 中，若A ：B ：C 1：5：6，则ABC 是直角三角形；若三角形的三边长之比为 3：4：5，则该三角形是直角三角形；A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据勾股定理和其逆定理进行判断即可【解答】解：在 RtABC 中，已知两边长分别为 3 和 4，则第三边的长为 5 或 ，错误；ABC 的三边长分别为 AB，BC ，AC，若 BC2+AC2 AB2，则C 90，错误；在 ABC 中，若A ：B ：C 1：5：6

16、，则ABC 是直角三角形，正确；若三角形的三边长之比为 3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理和其逆定理解答9如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的短直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b） 2 的值为（ ）A169 B25 C19 D13【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可【解答】解：大正方形的面积 13，小正方形的面积是 1，四个直角三角形的面积和是 13112，

17、即 4 ab12，即 2ab12，a 2+b213，（a+b） 213+1225故选：B【点评】注意完全平方公式的展开：（a+b） 2a 2+b2+2ab，还要注意图形的面积和 a，b 之间的关系10如图，东西方向上有 A，C 两地相距 10 千米，甲以 16 千米/ 时的速度从 A 地出发向正东方向前进，乙以 12 千米/时的速度从 C 地出发向正南方向前进，那么最快经过（ ）小时，甲、乙两人相距 6 千米？A B C1.5 D【分析】根据题意表示出 BC，DC 的长，进而利用勾股定理求出答案【解答】解：设最快经过 x 小时，甲、乙两人相距 6km，根据题意可得：BC（1016x ）km ，

18、DC12xkm，故 BC2+DC2BD 2，则（1016x） 2+（12x ） 26 2，解得：x 1x 20.4答：最快经过 0.4 小时，甲、乙两人相距 6km故选：A【点评】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，正确利用勾股定理求出是解题关键11如图，MON90，长方形 ABCD 的顶点 B、C 分别在边 OM、ON 上，当 B 在边 OM 上运动时，C 随之在边 ON 上运动，若 CD5，BC 24，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为（ ）A24 B25 C D26【分析】取 BC 的中点 E，连接 OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E

19、三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，再根据勾股定理列式求出 DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE 的长，两者相加即可得解【解答】解：如图，取 BC 的中点 E，连接 OE、DE、OD，ODOE +DE，当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，CD5，BC24，OEEC BC12，DE ，OD 的最大值为：12+1325故选：B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点 O、E、D 三点共线时，点 D 到点 O的距离最大是解题的关键12如图，已知ABC

20、 是边长为 3 的等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，且 BD1，以 AD 为边作等边ADE，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F，连接 BF，则下列结论中ABDBCF；四边形 BDEF 是平行四边形； S 四边形 BDEF ； SAEF 其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】连接 EC，作 CHEF 于 H首先证明BADCAE，再证明EFC 是等边三角形即可解决问题；【解答】解：连接 EC，作 CHEF 于 HABC，ADE 都是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAEABCACB60，BADCAE，BADCAE，BDEC1，ACEABD60，EFB

21、C，EFCACB60，EFC 是等边三角形，CH ，EFECBD，EFBD，四边形 BDEF 是平行四边形，故正确，BDCF1，BA BC，ABDBCF，ABDBCF，故正确，S 平行四边形 BDEFBD CH ，故正确，SAEF SAEC SABD 故错误，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（每小题 3 分，6 小题共 18 分13若 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的交点，且 OBOD ，AC14cm，则当 OA 7 cm 时，四边形 A

22、BCD 是平行四边形【分析】根据 OA 求出 OC，得出 OAOC，平行四边形的判定定理根据得出平行四边形ABCD，即可得出答案【解答】解：由题意得：当 OA7 时，OC1477OA ，OBOD 时，四边形 ABCD 是平行四边形，故答案为：7【点评】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般14如图，在ABC 中，AB6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 在 DE 上，且 DF3FE，当AFBF 时，BC 的长是 8 【分析】根据直角三角形的性质求出 DF，根据题意求出 DE，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解

23、：AFBF ，AFB 90，又 D 是 AB 的中点，DF AB3，DF3FE，EF1，DE4，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC2DE8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键15如图，在ABC 中，CE 平分ACB，CF 平分ACD，且 EFBC 交 AC 于 M，若 CM3，则CE2+CF2 36 【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知ECF90，然后在直角三角形 ECF 中利用勾股定理求 CE2+CF2 的值即可【解答】解：CE 平分ACB，CF 平分ACD，ACE ACB，ACF AC

24、D，即ECF （ACB+ACD）90，又EFBC， CE 平分ACB，CF 平分ACD，ECBMECECM ，DCFCFMMCF，CMEMMF3，EF6 ，由勾股定理可知 CE2+CF2EF 236，故答案为 36【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出ECF是直角三角形是解决本题的关键16如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQAD，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP 【分析】先根据勾股定理得到 AC 的长，再根据 AQAD，得出 CPCQ2，进而得到 BP 的长，最后在 RtABP 中，依据勾股

25、定理即可得到 AP 的长【解答】解：矩形 ABCD 中，AB4，AD3BC，RtACD 中， AC 5，又AQAD 3，AD CP，CQ532，CQPAQDADQ CPQ，CPCQ2，BP321，RtABP 中，AP ，故答案为： 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是判定CPQ 是等腰三角形17如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，对角线 AC、BD 相交于点 E，E 为 BD 中点，且ADBD，AB2，BAC30，则 DC 【分析】如图，在 EA 上取一点 K，使得 EKCE ，连接 DK，BK，延长 DK 交 AB 于 H首先证明四边

26、形 BCDK 是平行四边形，再证明 DHAB ，由 DADB，推出AHHB，TCAKBKCD 即可解决问题；【解答】解：如图，在 EA 上取一点 K，使得 EKCE ，连接 DK，BK，延长 DK 交 AB 于 HDEEB，CE EK，四边形 BCDK 是平行四边形，CDBK，DKBC，BCAB，DHAB，DADB ，AHHB 1，KAKBCD，在 Rt AKH 中， AKAHcos30 ，CD ，故答案为 【点评】本题考查等腰三角形的性质平行四边形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型18如图，矩形 ABCD 中，AB8，B

27、C6，P 为 AD 上一点，将ABP 沿 BP 翻折至EBP，PE与 CD 相交于点 O，BE 与 CD 相交于点 G，且 OEOD，则 AP 的长为 4.8 【分析】由折叠的性质得出 EPAP，EA 90，BEAB8，由 ASA 证明ODPOEG，得出 OPOG，PDGE，设 APEPx，则 PDGE 6x，DGx，求出 CG、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：如图所示：四边形 ABCD 是矩形，DAC90，ADBC6，CDAB8，根据题意得：ABPEBP，EPAP，EA90 ，BEAB8，在ODP 和 OEG 中，ODP OEG（ASA ），OPOG ，PD GE ，DG

28、EP，设 APEPx ，则 PDGE 6x，DGx，CG8x，BG 8（6x）2+x，根据勾股定理得：BC 2+CG2BG 2，即 62+（8x） 2（x +2） 2，解得：x4.8，AP4.8；故答案为：4.8【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键19如图是规格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形

29、，且腰长是无理数，则 C 点坐标是 （1，1） ；（3）求ABC 中 BC 边上的高长【分析】（1）根据 A 点坐标向右两个单位，再向下 4 个单位，可得原点；（2）根据勾股定理，可得点 C 的坐标，根据图形割补法，可得面积；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）如图 1：（2）如图 2：在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则 C 点坐标是 （ 1，1）；故答案为：（1，1）；（3）BC ，S ABC 33 13 13 224，ABC 中 BC 边上的高 【点评】本题考查了作图，勾股定理，三角形的面积，熟

30、练正确勾股定理是解题的关键20如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，A90，CBD30，C45，如果AB ，求 CD 的长【分析】过点 D 作 DEBC 于 E，根据等腰直角三角形的性质求出 AD、BD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 DE，利用CDE 是等腰直角三角形，即可求出 CD的长【解答】解：如图，过点 D 作 DEBC 于 E，ABAD ，BAD90，ADAB ，由勾股定理可得 BD 2，CBD30，DE BD 21，又Rt CDE 中，DEC 90，C 45，由勾股定理可得 CD 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性

31、质，以及等腰直角三角形的性质，通过作辅助线，把BCD 分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点21如图，平行四边形 ABCD 中，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F，连结 AF、CE （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB6，AD 2 ，ABD30，求四边形 AECF 的面积【分析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD，ABCD，又由AEBD ，CF BD，即可得 AECF ，AEB CFD90，然后利用 AAS 证得AEBCFD，即可得 AECF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF 是平行四边形（2）想办法求出

32、AE、EF 的长，根据 S 平行四边形 AECF2 SAEF 计算即可；【解答】（1）证明：连接 AF、EC四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，ABE CDF，AEBD ，CF BD，AECF， AEBCFD90，在AEB 和CFD 中，AEB CFD（AAS），AECF，四边形 AECF 是平行四边形（2）解：在 RtABE 中，AB6，ABE30，AE AB3，BE AE3 ，在 Rt ADE 中，DE 5 ，AEB CFD，BEDF 3 ，EF2 ，S 平行四边形 AECF2S AEF 2 6 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解直角

33、三角形等知识，此题难度适中，证得AEBCFD，得到 AECF 且 AECF 是解此题的关键22如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO CO，BODO ，且ABC+ADC180（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 DEAC 交 BC 于 E，ADB：CDB2：3，则BDE 的度数是多少？【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出ABC90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出ADB 的度数，根据三角形内角和定理求出AOB，从而可得到CDO，最后，依据BDE90DOC 求解即可【解答】解：（1）证明：AOCO，BO DO，四边形

34、ABCD 是平行四边形，ABCADC，ABC+ ADC180，ABCADC90，四边形 ABCD 是矩形；（2）ADC90，ADB：CDB2：3，ADB36四边形 ABCD 是矩形，OAOD ，OAD ADB36，DOC72DEAC，BDE90DOC18 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形23如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60的方向上，轮船从 B 处继续向正东方向航行 100 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30的方向上，A

35、DBC 于点D，求 AD 的长【分析】如图，直角ACD 和直角ABD 有公共边 AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用 AD 表示出 CD 与 BD，根据 CBBD CD 即可列方程，从而求得 AD 的长【解答】解：如图所示则ABD30，ACD60CABABD，BCAC100 海里在 Rt ACD 中，设 CDx 海里，则 AC2x 海里， AD x，在 Rt ABD 中，AB 2AD2 x，BD 3x，又BDBC+CD，3x100+x，解得 x50，AD x 50 海里【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先

36、计算直角三角形的公共边是常用的思路24如图，长方形纸片 ABCD 中，AB8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，折痕的一端 G 点在边 BC 上（1）如图 1，当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE4 时，求 AF 的长（2）如图 2，当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG10 时，求证： EFEG求 AF 的长（3）如图 3，当折痕的另一端 F 在 AD 边上，B 点的对应点 E 在长方形内部，E 到 AD 的距离为2cm，且 BG 10 时，求 AF 的长【分析】（1）根据翻折的性质可得 BFEF，然后用 AF 表示出 EF，在 RtAEF 中，利用勾股定理列出

37、方程求解即可；（2） 根据翻折的性质可得BGFEGF，再根据两直线平行，内错角相等可得BGFEFG，从而得到EGF EFG，再根据等角对等边证明即可；根据翻折的性质可得 EGBG，HE AB ，FH AF，然后在 RtEFH 中，利用勾股定理列式计算即可得解；（3）设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N ，然后求出EM、EN，在 RtENG 中，利用勾股定理列式求出 GN，再根据 GEN 和EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出 EK、KM，再求出 KH，然后根据FKH 和EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】（

38、1）解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，BFEF，AB8，EF8AF，在 Rt AEF 中，AE 2+AF2EF 2，即 42+AF2（8AF） 2，解得 AF3；（2） 证明： 纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，BGFEGF，长方形纸片 ABCD 的边 ADBC，BGFEFG，EGFEFG，EFEG ；解： 纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，EGBG 10，HE AB8，FHAF，EFEG 10，在 Rt EFH 中，FH 6，AFFH 6；（3）解：法一：如图 3，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC

39、 于 M、N ，E 到 AD 的距离为 2cm，EM2，EN 826，在 Rt ENG 中， GN 8，GEN+KEM180GEH1809090 ，GEN+NGE1809090，KEMNGE，又ENGKME90，GENEKM， ，即 ，解得 EK ， KM ，KHEHEK8 ，FKHEKM，H EMK90，FKHEKM， ，即 ，解得 FH ，AFFH 法二：如图 4，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N ，过点 K作 KL CD 交 BC 于点 L，连接 GK，E 到 AD 的距离为 2cm，EM2，EN 826，在 Rt ENG 中， G

40、N 8，设 KMa，在KME 中，根据勾股定理可得：KE 2KM 2+ME2a 2+4，在KEG 中，根据勾股定理可得：GK 2GE 2+KE210 2+a2+4，在GKL 中，根据勾股定理可得：GK 2GL 2+KL2（8a） 2+82，即 102+a2+4（8a） 2+82，解得：a ，故 KE ，KHEHEK8 ，设 FHb，在KFH 中，根据勾股定理可得：KF 2KH 2+FH2，KFKAAFBLAF （BG +GNKM）AF10+8 b b，即：（ b） 2（ ） 2+b2，解得：b ，AFFH 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键，本题难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形