1、专题 20 空间几何体的表面积和体积解题方法一【学习目标】1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质 2了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图) ，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系3能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图4会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图二 【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视2空间几何体的直观图空
2、间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y轴，两轴相交于点 O，且使xOy45，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段在直观图中平行于 x轴、y轴；已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半3.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S与原平面图形的面积 S 之间的关系是 S S.24(2)对于 图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标
3、轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.4.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐” 的基本原则.5特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱 (如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱
4、柱.三高考题型典例及训练（一）空间几何体例 1如图，透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：有水的部分始终呈棱柱形； 则多面体 的体积等于四棱锥 的体积与三棱锥 的体积和，多面体 的体积等于四棱锥 的体积与三棱锥 的体积和因为四棱锥 的高是四棱锥 的高的 2 倍，底面积相等，所以四棱锥 的体积是四棱锥 的体积的 2 倍；因为三棱锥 的底面是三棱锥 的底面面积的 倍，高是 3 倍，所以三棱锥 的体积是三棱锥 的体积的 4 倍，设论证 的体积为 ，则三棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积是 ，所以
5、多面体的体积是 ，又多面体 的体积等于 ，所以多面体 的体积与多面体 的体积比等于 .【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，几何体的体积的应用问题，其中解答中合理利用椎体的体积公式，以及多面体的结构特征，合理转化与计算是解本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档试题（二）组合体问题例 2正四面体 的所有棱长均为 12，球 是其外接球， 分别是 与 的重心，则球 截直线 所得的弦长为_【答案】【解析】如图，将正四面体 ABCD 补全为正方体，则正方体的棱长为 ，所以球 是正方体的外接球，其半径。设正四面体的高为 ，则 ，故 。又 ，所以 到直
6、线 的距离为 ，因此球 截直线 所得的弦长为 。答案：点睛：（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）对于一些不规则的图形，要注意补形法在解题中的应用，通过把图形补成长方体或正方体可使得问题的解决变得简单易行。练习 1已知四面体 PABC中， 4， 27AC， ， PA平面 BC，则四面体 的内切球半径为_【答案】 34【解析】 由题意，已 知 PA平面 BC， ，所以，由勾股定理得到 ，即 PBC为等边三角形，ABC为等腰三角形，可求得四面体的体积为 根据等体积法有： ，几何体的表面积为 所以 ，可解得 34r.
7、点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的分割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键.练习 2如图，在棱长为 4 的正方体 中， E， F分别为 AB、 1D的中点，点 P是1D上一点，且 PBA平面 CEF，则四棱锥 PABCD外接球的体积为_.【答案】 416点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的
8、外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两 两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.（三）旋转体问题例 3已知等腰三角形的周长为 ，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时，这个三角形的底边长为_【答案】【解析】由题意知几何体为两个同底等高的圆锥的组合体，设圆锥的高 ，则底面半径 ，则圆
9、锥的体积为 ，所求几何体的体积为 ，对其求导求得最值.【详解】如图，设 ，则底边长为 ，绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组 合体，圆锥的高 ，底面半径 ，则圆锥的体积为 ，所求几何体的体积为 ，所以 ，令 ，解得 ，易得 是函数 的定义域内的唯一极值点，也是最大值点，因此当腰长为 ，底边长为 时，旋转体 的体积最大故这个三角形的底边长为 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，利用导数解决最值问题是常用的方法，属于中等题练习 1圆(x-l) 2+y2=2 绕直线 kx-y-k=0 旋转一周所得的几何体的表面积为 _.【答案】8【解析】圆圆心为 1,0直线 恒过圆
10、心 1,0旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径故答案为 8.点睛：本题考查几何体的表面积的求法及圆、球等基础知识，解答本题的关键是直线 恒过已知圆的圆心，从而可知圆绕直线旋转一周后所得的几何体是球，进而求出球的半径练习 2下列结论不正确的是_（填序号）.各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.【答案】【解析】错误，如图所示，由 两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是
11、棱锥.错误，如图，若ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥.错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.正确，符合圆锥曲线母线的定义，故错误的是.考点: 旋转体的结构特征.（四）投影问题例 4如图所示，棱长为 1 的正方体 中，若 ， 分别为 ， 的中点， 是正方形的中心，则空间四边形 在该正方体的面上的投影的面积的最大值为_【答案】【解析】看出空间四边形 AEFG 在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接做出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去
12、掉的面积，比较得到结果【详解】空间四边形 在该正方体的上、下面上的投影是一个等腰三角形，腰长是 ，底边长是 ，故这个投影的面积是 空间四边形 在该班方体的前、后面上的投影是一个四边形，它的面积是；空间四边形 在该正方体的左、右面上的投影是一个三角形，它的面积是 故答案为：练习 1半径为 R的球 O放置在水平平面 上，点 P位于球 O的正上方，且到球 O表面的最小距离为 R，则从点 P发出的光线在平面 上形成的球 的中心投影的面积等于_【答案】 23【解析】轴截面如图 1 所示， ，中心投影的面积为 23R故答案为： 23R练习 2如图，在棱长为 1 的正方体 中， ,MN分别是 1,BC的中点
13、，则图中阴影部分在平面 1AD上的投影的面积为 _【答案】 8【解析】图中点 M在平面的投影是 1A的中点，点 N在平面的投影是 AD的中点，点 的投影还是点 D,连接三点的三角形的面积是 ，故填： 8.（五）直观图例 1已知水平放置的ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BO=CO=2，BAC =90，则原ABC 的面积为_【答案】8【解析】根据“斜二测画法” 原理还原出ABC，利用边长对应关系计算原ABC 的面积即可【详解】根据“斜二测画法” 原理，还原出ABC，如图所示；由 BOC O 2，B AC90，O A BC2，原ABC 的面积为 S BCOA 448故答案为：8练
14、习 1如图所示， 表示水平放置的 的直观图， 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则的 边上的高为_【答案】【解析】根据题目给出的图形，首先求出 A点在新系下的坐标，取 2 倍后就是原图中 A 点的纵坐标，也就是 OB 边上的高【详解】如图，由 AO=2，可得 A 在 xoy系下的横坐标为 2，纵坐标为 ，根据水平放置的平面图形的直观图的画法知，A 在原坐标系下的纵坐标为 4 ，即原三角形 AOB 的边 OB 上的高为 故答案为： 【点睛】本题考查了平面图形的直观图，画水平放置的平面图形的直观图时，在原系 下在坐标轴上或平行于坐标轴的线段，在新系下仍在坐标轴上或平行于坐标轴，横轴的长度不变，纵轴的减
15、半练习 2如下图所示,梯形 是水平放置的平面图形 的直观图(斜二测画法), 若 , , ,则四边形 的面积是_.【答案】5【解析】根据斜二测画法知，四边形 ABCD 是上底为 2 下底为 3，高 的直角梯形，利用梯形公式即可求解.【详解】由直观图知，四边形 ABCD 中，AB CD, ,因为 ，所以 ，且,根据梯形面积公式 ，故填 5.【点睛】本题考查直观图，斜二测画法，属于中档题. 解决直观图相关问题，需要利用斜二测画法联系原图形和直观图.（六）柱、锥、台的表面积例 6某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积是 _cm3，表面积是_cm 2【答案】3； 【解析】由题意，直观
16、图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积，表面积【详解】由题意，直观图为以正视图为底面的直三棱柱，由图中数据可得该几何体的体积是 ，表面积是（2+2+1+ ）1+2 11+ cm2故答案为：3，11+ 练习 1如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为_【答案】【解析】首先还原几何体，然后计算表面积【详解】由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱锥 P-ABCD，所以几何体的表面积为 故答案为： 练习 2如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_【答案】【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系
17、，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.（七）柱、锥、台的体积例 7由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_【答案】【解析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的
18、三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 ，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则 圆柱体的体积 ，则该几何体的体积 .【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.练习 1四棱锥的三视图如图所示（单位： ） ，则该四棱锥的体积是_ 【答案】12【解析】首先
19、还原几何体，根据图中数据计算几何体体积【详解】由三视图得到几何体如图：体积为 12；故答案为：12【点睛】由三视图画出直观图的步骤 和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.练习 2如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF ，则下列结论中正确的序号是_ACBE EF平面 ABCD AEF 的面积与BEF 的面积相等三棱锥 ABEF 的体积为定值【答案】【解析】利用线面垂直的性质判断正确，利用线面平行的判定定理判断正确，利
20、用同底不同高判断错误，利用等底等高证明正确.【详解】由于 ，故 平面 ，所以 ，所以正确.由于 ，所以平面 ，故正确.由于三角形 和三角形 的底边都是 ，而高前者是 到 的距离，后者是到 的距离，这两个距离不相等，故错误.由于三棱锥 的底面三角形 的面积为定值.高是 点到平面 也即 点到平面 的距离也是定值，故三棱锥 的体积为定值.故正确.综上所述，正确的时.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.（八）组合体的表面积例 8如图,用一边长为 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将
21、体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心 (球心)与蛋巢底面的距离为_ 【答案】【解析】先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心) 与蛋巢底面的距离.【详解】根据球的体积公式，有 .题目所给图中，虚线的小正方形的边长为 ，其一半为，四个等腰直角三角形斜边上的高为 .画出截面图形如下图所示，其中 ，故 .所以鸡蛋中心(球心) 与蛋巢底面的距离为 .【点睛】本小题主要考查球体和其它几何体组合的问题，解题的策略是通过截面图，构造直角三角形来求解.属于中档题.练习 1我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直角三角形，且
22、侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，若 ，当阳马 体积最大时，则堑堵 的外接球的体积为_【答案】【解析】由 ACBC，A AB2，得到“ 阳马”BA 1ACC1 体积 V ，AC 2+BC24，从而BCAC 4，当且仅当 BCAC 时取等号，从而当“阳马”BA 1ACC1 体积最大时，BC AC，由此能求出“堑堵 ABCA1B1C1 的外接球的半径，进而求得体积【详解】“堑堵” ，ACBC ，A AB2，“阳马”B A1ACC1 体积 V ，ACBC，A AB 2， AC2+BC24，BCAC 4，当且仅当 BCAC 时取等号， 当
23、“阳马”B A1ACC1 体积最大时， BCAC ，堑堵的底面是直角三角形，堑堵 ABCA1B1C1 的外接球的球心在面 的中心处，外接球的半径设为 R，则 R=V = 故答案为 【点睛】本题考查棱柱外接球体积的求法，考查“阳马”的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题练习 2如图所示的几何体是一个五面体，四边形 为矩形， ， ，且 ， ，与 都是 正三角形，则 此五面体的体积为_【答案】 【解析】将五面体补全为直三棱柱 ，根据五面体的几何特征，求三棱柱底面积，再用割补法求五面体体积【详解】如图，将五面体补全为直三棱柱 ，因为 ， ，且 ， ，与 都是正三角形，所以 ， ， ，所以 ，取 中点，则 ，所以 ，故五面体的体积为：【点睛】不规则几何体体积的求法，关键是将几何体看作是多个规则几何体如柱、锥、台、球的组合体，利用割补法求解，注意运算的准确性
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