1、一、选择题1已知方程 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的x2m2 n y23m2 n取值范围是( )A(1，3) B(1， )3C(0，3) D(0， )3解析：选 A.由题意得(m 2n)(3m 2n)0，解得m 2n3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为 4，得 m2n3m 2n4，即 m21，所以1n3.2(2018潍坊模拟)已知双曲线 1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为 ，x2a2 y2b2 3且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )A1 B. 3C2 D2 3解析：选 C.由题意知双曲线的焦点 (c，0)到渐近线 bxay0 的距离为 bbca2 b2
2、，即 c2a 2 3，又 e 2，所以 a1，该双曲线的实轴的长为 2a2.3ca3(2018石家庄质量检测(一 )双曲线 1(a0，b 0) 的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，过 F1 作倾斜角为 60的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A平分线段 F1B，则该双曲线的离心率是( )A. B23 3C2 D. 12解析：选 B.由题意可知 A 是 F1B 的中点，O 是 F1F2 的中点(O 为坐标原点)，连接BF2，则 OA 是 F 1BF2 的中位线，故 OABF 2，故 F1F2BF2，又BF 1F260，|F1F2| 2c，所以| BF1|4c
3、，| BF2|2 c，所以 2a4c2 c，所以 e 2 ，故选 B.3 3ca 34(2018武汉模拟)抛物线 y22px( p0)的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜角为 的直线 3与抛物线相交于 A，B 两点，若| AB|8，则抛物线的方程为 ( )Ay 23x By 24xCy 2 6x Dy 28x解析：选 C.因为抛物线 y22px( p0)的焦点为 F ，所以过点 F 且倾斜角为 的直(p2，0) 3线方程为 y (x )，联立直线与抛物线的方程，得 3x25px p20，3p2 y 3（x p2），y2 2px ) 34设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，则 所以|AB|
4、 xA xB 53p，xAxB 14p2，) （xA xB）2 （yA yB）2|xAx B| p8p3，所以抛物线的方程为 y26x ，故1 k2 1 3 (53p)2 414p2 83选 C.5(2018高考全国卷)设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为 的直23线与 C 交于 M，N 两点，则 ( )FM FN A5 B6C7 D8解析：选 D.法一：过点(2，0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2) ，由23 23得 x25x 4 0，解得 x1 或 x4，所以 或 不妨设 M(1，2)，y 23（x 2），y2 4x， ) x 1，y 2) x 4，y 4，
5、)N(4，4) ，易知 F(1，0)，所以 (0，2) ， (3 ，4)，所以 8.故选 D.FM FN FM FN 法二：过点(2，0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由 得23 23 y 23（x 2），y2 4x， )x25x40，设 M(x1，y 1)，N (x2，y 2)，则 y10，y 20，根据根与系数的关系，得x1x 25，x 1x24.易知 F(1， 0)，所以 ( x11，y 1)， (x 21，y 2)，所FM FN 以 (x 11)(x 21)y 1y2x 1x2( x1x 2)14 45188.故选 D.FM FN x1x26(2018贵阳模拟)过双曲线 1(
6、a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y 2a 2 的切x2a2 y2b2线 FM，切点为 M，交 y 轴于点 P，若 ，且双曲线的离心率 e ，则 ( )PM MF 62A1 B2C3 D4解析：选 B.如图，| OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根据射影定理得|PF| ，所以| PM| b，所以 .c2b c2b |PM |MF |c2b bb c2 b2b2 a2b2因为 e2 1 ，所以 .所以 2.故选 B.c2a2 a2 b2a2 b2a2 ( 62)232 b2a2 12二、填空题7(2018合肥第一次质量检测) 抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，准线 l 与 x
7、 轴交于点A，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ，垂足为 Q.若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为_解析：设 P(x，y) ，其中 x0，y0，由抛物线的定义知|PF| PQ|x1.根据题意知|AF|2 ，| QA|y ，则 或 (舍去)所以点 P 的坐标为(4，4) 2（x 1） 2 y 16，y2 4x ) x 4，y 4) x 9，y 6)答案：(4，4)8(2018贵阳模拟)椭圆 C： 1( ab0)的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 Fx2a2 y2b2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 P，Q 两点，若 cosPAQ ，则椭圆 C 的离心率
8、 e 为35_解析：根据题意可取 P ，Q ，所以 tanPAF (c，b2a) (c， b2a)b2aa c b2a2 ac a2 c2a2 ac1e，cos PAQcos 2PAFcos 2PAFsin 2PAF a ca cos2PAF sin2PAFcos2PAF sin2PAF ，故 55(1e) 233(1 e)28(1e) 22 (1e) 2 .又1 tan2PAF1 tan2PAF 1 （1 e）21 （1 e）2 35 14椭圆的离心率 e 的取值范围为(0，1) ，所以 1e ，e .12 12答案：129已知双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)
9、，F 2(1，0) ，x2a2 y2b2P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2 ，4 ，则 的最小值的取值PF1 PF2 范围是_解析：设 P(m，n) ，则 1，m2a2 n2b2即 m2a 2 .(1 n2b2)又 F1(1，0) ， F2(1，0)，则 (1m，n)，PF1 (1 m， n)，PF2 n 2m 21PF1 PF2 n 2a 2 1(1 n2b2)n 2 a 21a 21，(1 a2b2)当且仅当 n0 时取等号，所以 的最小值为 a21.PF1 PF2 由 2 4，得 a ，1a 14 12故 a 21 ，1516 34即 的最小值的取值范围是 .PF1 P
10、F2 1516， 34答案： 1516， 34三、解答题10(2018南昌调研)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短轴长为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON ，54求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围解：(1)由题知 e ，2b 2，又 a2b 2c 2，所以 b1，a2，ca 32所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.x24(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立 得(4k 21)x 28kmx4m 240，y kx m，x24 y2 1，)依题
11、意， (8km )24(4k 21)(4m 24)0，化简得 m24k 21，x1x 2 ，x 1x2 ，8km4k2 1 4m2 44k2 1y1y2(kx 1m)( kx2m )k 2x1x2km( x1x 2)m 2，若 kOMkON ，则 ，即 4y1y25x 1x2，54 y1y2x1x2 54所以 4k2x1x24 km(x1x 2)4m 25x 1x2，所以(4k 25) 4km ( )4（m2 1）4k2 1 8km4k2 14m 20，即(4k 2 5)(m21)8k 2m2m 2(4k21) 0，化简得 m2k 2 ，54由得 0m 2 ， k 2 ，65 120 54因为
12、原点 O 到直线 l 的距离 d ，|m|1 k2所以 d2 1 ，m21 k2 54 k21 k2 94（1 k2）又 k 2 ，120 54所以 0d 2 ，所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是 .87 0，2147 )11(2018贵阳模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，x2a2 y2b2点 M 为短轴的上端点， 0，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且MF1 MF2 |AB| .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2 ， 1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G，H 两点若 k1，k 2 分别为直线
13、MH，MG 的斜率，求 k1k 2 的值解：(1)由 0，得 bc.MF1 MF2 因为过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB| ，2所以 ，b2a 22 .b cb2a 22a2 b2 c2) a2 2b2 1)故椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)设直线 l 的方程为 y1k( x2) ，即 ykx2k 1，将 ykx2k1 代入 y 21 得(12k 2)x24k(2 k1) x8k 28k0，x22由题设可知 16k(k2) 0，设 G(x1，y 1)，H(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，4k（2k 1）1 2k2 8k2 8k1
14、2k2k1k 2 2k 2k(y1 1x1 y2 1x2 kx1 2k 2x1 kx2 2k 2x2（2k 2）4k（2k 1）1 2k28k2 8k1 2k22k1) 1，所以 k1k 21.12(2018石家庄质量检测(二 )已知圆 C：( xa) 2(yb) 2 的圆心 C 在抛物线94x22py(p0) 上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别在点 A，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程解：(1)由已知可得圆心 C(a，b) ，半径 r ，32
15、焦点 F ，准线 y .(0，p2) p2因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b ，且圆 C 过焦点 F，32 p2又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 b ，p4所以 b ，即 p2，故抛物线的方程为 x24y.32 p2 p4(2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k，即直线方程为 ykx1.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得 x24kx40， 0，x 1x 24k，x 1x24，y kx 1x2 4y)对 y 求导得 y ，即 kAP ，x24 x2 x12直线 AP 的方程为 yy 1 (xx 1)，即 y x x ，x12 x12 1421同理直线 BP 的方程为 y x x .x22 142设 P(x0，y 0)联立直线 AP 与 BP 的方程，得 ，x0 x1 x22 2ky0 x1x24 1)即 P(2k，1)，|AB| |x1x 2|4(1k 2)，点 P 到直线 AB 的距离 d 2 ，1 k2|2k2 2|1 k2 1 k2所以三角形 PAB 的面积 S 4(1k 2)2 4(1 k2) 4，当且仅当 k0 时取12 1 k2 32 等号综上，三角形 PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y1.
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