1、 A 组 夯基保分专练一、选择题1(2018合肥第一次质量检测)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，BFDE，M 为棱 AE 的中点(1)求证：平面 BDM平面 EFC；(2)若 DE2AB，求直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值解：(1)证明：连接 AC，交 BD 于点 N，连接 MN，则 N 为 AC 的中点，又 M 为 AE 的中点，所以 MNEC.因为 MN平面 EFC，EC 平面 EFC，所以 MN平面 EFC.因为 BF，DE 都垂直底面 ABCD，所以 BFDE.因为 BFDE ，所以四边形 BDEF 为平行
2、四边形，所以 BDEF.因为 BD平面 EFC，EF平面 EFC，所以 BD平面 EFC.又 MNBDN，所以平面 BDM平面 EFC.(2)因为 DE平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，所以 DA，DC，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设 AB2，则 DE4，从而 D(0，0，0)，B(2 ，2，0)，M(1 ，0，2)，A(2，0，0)，E(0，0，4) ，所以 (2 ，2，0) ， (1，0，2)，DB DM 设平面 BDM 的法向量为 n (x，y ，z) ，则 得nDB 0，nDM 0，) 2x 2y 0，x 2z 0. )令 x2，则 y2，z1，从而
3、n(2，2，1) 为平面 BDM 的一个法向量因为 (2，0，4)，设直线 AE 与平面 BDM 所成的角为 ，则AE sin |cosn | ，AE |nAE |n|AE | 4515所以直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 .45152.(2018高考全国卷)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异于 C，D 的点CD CD (1)证明：平面 AMD平面 BMC; (2)当三棱锥 MABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD，BC
4、平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM.因为 M 为 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.CD 又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所DA 示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为 的中点CD 由题设得 D(0，0，0)，A (2，0，0)，B(2，2，0) ，C (0，2，0)，M (0，1，1)，( 2，1，1)， (0 ，2，0)， (2，0，0)AM AB DA 设 n(x，y，z )是平面 MAB 的法向量，则
5、 即nAM 0，nAB 0，) 2x y z 0，2y 0. )可取 n(1 ，0 ，2)是平面 MCD 的法向量，因此 cosn ， ，sinn ， .DA DA nDA |n|DA | 55 DA 255所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是 .2553(2018陕西教学质量检测( 一)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，ACBD O，A 1O底面 ABCD，AB 2，AA 13.(1)证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；(2)若BAD60，求二面角 BOB1C 的余弦值解：(1)证明：因为 A1O平面 ABCD，BD平面ABCD，所以 A
6、1OBD.因为四边形 ABCD 是菱形，所以 COBD.因为 A1OCOO，所以 BD平面 A1CO.因为 BD平面 BB1D1D，所以平面 A1CO平面 BB1D1D.(2)因为 A1O平面 ABCD，COBD，所以 OB，OC，OA 1 两两垂直，以 O 为坐标原点， ， ， 的方向为 x，y ，z 轴的OB OC OA1 正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为 AB2，AA 13， BAD60，所以 OBOD 1，OAOC ，3OA1 .6则 O(0，0，0)，B (1，0，0)，C(0， ，0)，A(0， ，0)，A 1(0，0， )，3 3 6所以 (1 ，0，0) ， (0， ，
7、)， (1， ， )，OB BB1 AA1 3 6 OB1 OB BB1 3 6设平面 OBB1 的法向量为 n(x，y，z)，OB n 0，OB1 n 0，)所以 x 0，x 3y 6z 0.)令 y ，得 n(0， ，1)是平面 OBB1 的一个法向量2 2同理可求得平面 OCB1 的一个法向量 m( ，0，1) ，6所以 cosn， m ，nm|n|m| 137 2121由图可知二面角 BOB1C 是锐二面角，所以二面角 BOB1C 的余弦值为 .21214.如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB BC AD， BAD ABC 90 ，E 是
8、 PD 的中点12(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 MABD 的余弦值解：(1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，如图所示因为 E 是 PD 的中点，所以EF AD，EF AD.由BADABC 90 得 BCAD，又 BC AD，所以 EF 綊 BC，12 12四边形 BCEF 是平行四边形，CE BF，又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面PAB.(2)由已知得 BAAD，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正AB 方向，设| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A
9、xyz，AB 则A(0，0，0) ，B(1，0，0)，C(1，1，0) ，P(0，1， )， (1 ，0， )，3 PC 3 (1，0，0)AB 设 M(x，y，z )(0x1)，则(x1，y ，z )， (x，y1，z )BM PM 3因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 n(0，0，1)是底面 ABCD 的一个法向量，所以|cos ， n|sin 45， ，BM |z|（x 1）2 y2 z2 22即(x1) 2y 2 z20.又 M 在棱 PC 上，设 ，则PM PC x，y1，z .3 3由，解得 (舍去 )，x 1 22，y 1，z 62 ) x 1 22，y 1，z
10、62，)所以 M ，从而 .(1 22，1，62) AM (1 22，1，62)设 m(x 0，y 0，z 0)是平面 ABM 的法向量，则即mAM 0，mAB 0，) （2 2）x0 2y0 6z0 0，x0 0， )所以可取 m(0， ，2)6于是 cosm，n .mn|m|n| 105因此二面角 MABD 的余弦值为 .105B 组 大题增分专练1(2018南昌模拟)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABCD 为直角梯形，ADBC ，AD AB，ABBC AP AD3，AC BD O，过 O12点作平面 平行于平面 PAB，平面 与棱 BC，AD ，PD， PC 分别相交
11、于点 E，F，G，H.(1)求 GH 的长度；(2)求二面角 BFHE 的余弦值解：(1)因为平面 平面 PAB，平面 平面 ABCDEF，平面 PAB平面 ABCDAB，所以 EFAB.同理 EHBP，FGAP.因为 BCAD，AD6，BC3，所以BOCDOA，且 ，BCAD COAO 12所以 ，CE CB1，BEAF2，EOOF 12 13同理 ，CHPC EHPB COCA 13连接 HO，则有 HOPA，且 HOEO ，HO 1，所以 EH PB ，13 2同理 FG PA2，23过点 H 作 HNEF 交 FG 于 N，易得四边形 HNFO 为矩形，则 GH .HN2 GN2 5(
12、2)建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(3，0，0)，F(0， 2，0) ，E (3，2，0)，H(2 ，2，1) ，(1，2，1) ， (2，0，1)BH FH 设平面 BFH 的法向量为 n(x，y，z)，则 ，nBH x 2y z 0nFH 2x z 0 )令 z2，得 n .(1，32， 2)因为平面 EFGH平面 PAB，所以平面 EFGH 的一个法向量为 m(0，1，0) 故 cosm，n ，mn|m|n|321 94 4 32929二面角 BFHE 的余弦值为 .329292(2018西安模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面PAD底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边
13、形，ABC 45，ADAP 2， ABDP 2 ，E 为 CD 的中2点，点 F 在线段 PB 上(1)求证：AD PC；(2)试确定点 F 的位置，使得直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所成的角相等解：(1)证明：在平行四边形 ABCD 中，连接 AC，AB 2 ，BC2，ABC45，2由余弦定理得 AC28422 2cos 454，得 AC2，2所以ACB90，即 BCAC，又 ADBC ，所以 ADAC，又 ADAP2，DP2 ，2所以 PAAD ，又 APACA ，所以 AD平面 PAC，所以 ADPC.(2)因为侧面 PAD底面 ABCD，PAAD，
14、所以 PA底面 ABCD，所以直线 AC，AD，AP 互相垂直，以 A 为坐标原点，DA，AC ，AP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0) ， D(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2 ，2，0)，E (1，1，0)，P(0，0，2) ，所以 (0，2，2)， (2，0，2)， (2 ，2，2)，PC PD PB 设 (0，1) ，PFPB则 (2 ，2，2 )，F (2，2，2 2) ，PF 所以 (2 1，21， 22) ，EF 易得平面 ABCD 的法向量 m(0 ，0，1)设平面 PDC 的法向量为 n( x，y，z)
15、，由 得nPC 0，nPD 0，) 2y 2z 0， 2x 2z 0，)令 x1，得 n(1，1， 1)因为直线 EF 与平面 PDC 所成的角和直线 EF 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cos ，m|cos ，n|，EF EF 即 ，|EF m|EF |m|EF n|EF |n|所以| 22| ，|23|即 |1| |，解得 ，所以 .33 32 PFPB 3 323(2018潍坊模拟)在PABC 中，PA4，PC 2 ，P45，D 是 PA 的中点(如2图 1)将 PCD 沿 CD 折起到图 2 中P 1CD 的位置，得到四棱锥 P1ABCD.(1)将PCD 沿 CD 折起的过程中
16、， CD平面 P1DA 是否成立？请证明你的结论；(2)若 P1D 与平面 ABCD 所成的角为 60，且P 1DA 为锐角三角形，求平面 P1AD 和平面 P1BC 所成角的余弦值解：(1)将PCD 沿 CD 折起过程中， CD平面 P1DA 成立证明如下：因为 D 是 PA 的中点， PA4，所以 DPDA 2，在PDC 中，由余弦定理得，CD 2PC 2PD 22PC PDcos 458422 22 4，22所以 CD2PD，因为 CD2DP 28PC 2，所以PDC 为等腰直角三角形且 CDPA，所以 CDDA，CDP 1D，P 1DADD，所以 CD平面 P1DA.(2)由(1)知
17、CD平面 P1DA，CD平面 ABCD，所以平面 P1DA平面 ABCD，因为P 1DA 为锐角三角形，所以 P1 在平面 ABCD 内的射影必在棱 AD 上，记为 O，连接 P1O，所以 P1O平面 ABCD，则P 1DA 是 P1D 与平面 ABCD 所成的角，所以P 1DA 60，因为 DP1DA2，所以P 1DA 为等边三角形，O 为 AD 的中点，故以 O 为坐标原点，过点 O 且与 CD 平行的直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴， OP1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 x 轴与 BC 交于点 M，因为 DAP 1A2，所以 OP1 ，易知 ODOACM1
18、，所以 BM3，3则 P1(0，0， )，D (0，1，0) ，C (2，1，0)，B(2，3 ，0) ， (2，0，0)，3 DC (0 ，4，0)， (2 ，1， )，BC P1C 3因为 CD平面 P1DA，所以可取平面 P1DA 的一个法向量 n1(1，0，0)，设平面 P1BC 的法向量 n2(x 2，y 2，z 2)，则 所以n2BC 0，n2P1C 0，) 4y2 0，2x2 y2 3z2 0，)解得 令 z21，则 n2 ，y2 0，x2 32z2，) ( 32，0，1)设平面 P1AD 和平面 P1BC 所成的角为 ，由图易知 为锐角，所以 cos |cos n 1，n 2|
19、 .|n1n2|n1|n2|32172 217所以平面 P1AD 和平面 P1BC 所成角的余弦值为 .2174.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AD BC，AD CD ，且 ADCD2 ，BC 4 ，PA2.2 2(1)求证：ABPC；(2)在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 45，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由解：(1)证明：由已知得四边形 ABCD 是直角梯形，由 ADCD2 ，BC4 ，可2 2得 ABAC4 ，所以 BC2AB 2AC 2，所以BAC90，即 ABAC，因为 PA平面 ABC
20、D，所以 PAAB ，又 PAACA，所以 AB平面 PAC，所以 ABPC .(2)存在，理由如下：取 BC 的中点 E，则 AEBC ，以 A 为坐标原点，AE ，AD，AP所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0) ， C(2 ，2 ，0)，D (0，2 ，0)，P(0，0，2)，B(2 ，2 ，0)，2 2 2 2 2(0，2 ， 2)， (2 ，2 ，0)PD 2 AC 2 2设 t (0t1)，PM PD 则点 M 的坐标为(0，2 t，22t )，2所以 (0 ，2 t，22t)AM 2设平面 MAC 的法向量是 n( x，y，z) ，则 nAC 0，nAM 0，)即 22x 22y 0，22ty （2 2t）z 0，)令 x1，得 y1，z ，2t1 t则 n .(1， 1，2t1 t)又 m(0，0，1)是平面 ACD 的一个法向量，所以|cosm，n|mn|m|n| ，| 2tt 1|2 ( 2tt 1)2 22解得 t ，即点 M 是线段 PD 的中点12此时平面 MAC 的一个法向量 n(1 ，1， )，2又 (2 ，3 ，1) BM 2 2设 BM 与平面 MAC 所成的角为 ，则 sin |cosn， | .BM 42233 269故 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值为 .269
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