1、2019 年北师大版九下数学第 2 章 二次函数单元测试卷一选择题（共 10 小题）1若关于 x 的函数 y（2a）x 2x 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba2 Ca2 Da22二次函数 yax 2+bx+c 与一次函数 yax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A BC D3抛物线 y（x 2） 21 的顶点坐标是（ ）A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1）4如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为x1，x 2，其中1x 10，1 x22，下列结论：4a+2b+c0，2a+b0，b 2+8a4
2、ac，a1，其中结论正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5抛物线 yx 24x +1 与 y 轴交点的坐标是（ ）A（0，1） B（1，O） C（0，3） D（0，2）6将抛物线 y2x 2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（ ）Ay2x 2+3 By2x 23 Cy2（x+3） 2 Dy 2（x3） 27函数 y（x +1） 22 的最小值是（ ）A1 B1 C2 D28对称轴平行于 y 轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）Ay2x 2+8x+3 By2x 28x+3Cy 2x 2+8x5 Dy2x 28x+29把二次函数
3、 yx 22x +4 化为 ya（xh） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ）Ay（x+1） 2+3 By（x2） 2+3 Cy（x1） 2+5 Dy （x1） 2+310若抛物线 ykx 22x 1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k0二填空题（共 5 小题）11若函数 是二次函数，则 m 的值为 12如图，O 的半径为 2，C 1 是函数 y2x 2 的图象，C 2 是函数 y2x 2 的图象，则图中阴影部分的面积为 13二次函数 y4（x 3） 2+7 的图象的顶点坐标是 14如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0
4、）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb 2；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23；3a+c0；当 y0 时，x 的取值范围是1x3；当 x0 时，y 随 x 增大而增大；其中结论正确有 15已知抛物线 y2x 25x +3 与 y 轴的交点坐标是 三解答题（共 6 小题）16已知函数 y（m 2m） x2+（m1）x+m+1（1）若这个函数是一次函数，求 m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？17已知二次函数 yx 2+4x（1）写出二次函数 yx 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角
5、坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当 y0 时，x 的取值范围18已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标 ；（2）对称轴为 ；（3）当 x 时，y 有最大值是 ；（4）当 时，y 随着 x 得增大而增大（5）当 时，y019已知抛物线 yax 2+bx+c，如图所示，直线 x1 是其对称轴，（1）确定 a，b，c，b 24ac 的符号；（2）求证：ab+c0；（3）当 x 取何值时，y 0，当 x 取何值时 y020已知抛物线 ya（x 3） 2+2 经过点（1，2）（1）求 a 的值（2）若点 A（m，y 1），（n，y 2）（mn3）都
6、在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小21在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x +2 与 y 轴交于点 A，顶点为点 B，点 C 与点 A关于抛物线的对称轴对称（1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4将抛物线在点 A，D 之间的部分（包含点A，D）记为图象 G，若图象 G 向下平移 t（t 0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t 的取值范围2019 年北师大版九下数学第 2 章 二次函数单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1若关于 x 的函数 y（2a）x 2x 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba
7、2 Ca2 Da2【分析】根据二次函数的定义即可得【解答】解：函数 y（2a）x 2x 是二次函数，2a0，即 a2，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如 yax 2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数是解题的关键2二次函数 yax 2+bx+c 与一次函数 yax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据二次函数的开口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得相关图象【解答】解：一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c），两个函数图象交于 y 轴上的同一点，排除 B、C ；当 a0 时，二次函数开
8、口向上，一次函数经过一、三象限，排除 D；当 a0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A 正确；故选：A【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与 y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于 0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于 0，图象开口向上；二次项系数小于 0，图象开口向下3抛物线 y（x 2） 21 的顶点坐标是（ ）A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1）【分析】二次函数表达式中的顶点式是：ya（xh） 2+k（a0，且 a，h，k 是常数），它的对称轴是 xh，顶点坐
9、标是（h，k）【解答】解：抛物线 y（x2） 21 的顶点坐标是（2，1）故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标4如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2）且与 x 轴交点的横坐标分别为x1，x 2，其中1x 10，1 x22，下列结论：4a+2b+c0，2a+b0，b 2+8a4ac，a1，其中结论正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由抛物线的开口
10、向下知 a0，与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，得 c0，对称轴为 x 1，a0，2a+b0，而抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，当 x2 时，y4a+2b+ c0，当 x1 时，a+b+c2 2，4acb 28a，b 2+8a4ac，a+b+c2，则 2a+2b+2c4，4a+2b+c0，ab +c0由， 得到 2a+2c2，由， 得到 2ac 4，4a2c8，上面两个相加得到 6a6，a1故选：D【点评】考查二次函数 yax 2+bx+c 系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数等5抛物线 yx 24x +1 与 y 轴交点
11、的坐标是（ ）A（0，1） B（1，O） C（0，3） D（0，2）【分析】抛物线与 y 轴相交时，横坐标为 0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标【解答】解：当 x0 时，y x 24x+11，抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，1），故选：A【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法令 x0，可到抛物线与 y 轴交点的纵坐标，令 y0，可得到抛物线与 x 轴交点的横坐标6将抛物线 y2x 2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（ ）Ay2x 2+3 By2x 23 Cy2（x+3） 2 Dy 2（x3） 2【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y2x
12、 2 向左平移 3 个单位所得直线解析式为：y2（x+3） 2；故选：C【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键7函数 y（x +1） 22 的最小值是（ ）A1 B1 C2 D2【分析】抛物线 y（x +1） 22 开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2 即为函数的最小值【解答】解：根据二次函数的性质，当 x1 时，二次函数 y（x1） 22 的最小值是2故选：D【点评】本题考查对二次函数最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法8对称轴平行于 y 轴的抛物线的顶点为点（2，3）
13、且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（ ）Ay2x 2+8x+3 By2x 28x+3Cy 2x 2+8x5 Dy2x 28x+2【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可【解答】解：根据题意，设 ya（x2） 2+3，抛物线经过点（3，1），所以 a+31，a2因此抛物线的解析式为：y2（x2） 2+32x 2+8x5故选：C【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式9把二次函数 yx 22x +4 化为 ya（xh） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ）Ay（x+1） 2+3 By（x2） 2+3 Cy（x1） 2+5 Dy
14、（x1） 2+3【分析】利用配方法整理即可得解【解答】解：yx 22x +4，x 22x+1+3 ，（x1） 2+3故选：D【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：yax 2+bx+c（ a0，a、b、c 为常数）；（ 2）顶点式：y a（xh） 2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y a（xx 1）（xx 2）10若抛物线 ykx 22x 1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k0【分析】根据抛物线 ykx 22x1 与 x 轴有两个不同的交点，得出 b24ac0，进而求出 k 的取值范围【解答】解：二次函
15、数 ykx 22x1 的图象与 x 轴有两个交点b 24ac（2） 24k （1）4+4k 0k1抛物线 ykx 22x 1 为二次函数k0则 k 的取值范围为 k1 且 k0【点评】考查二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数的判断二填空题（共 5 小题）11若函数 是二次函数，则 m 的值为 3 【分析】根据二次函数的定义得出 m272，再利用 m 30，求出 m 的值即可【解答】解：若 y（m 3）x m27 是二次函数，则 m272，且 m30，故（m3）（m+3）0，m 3，解得：m 13（不合题意舍去）， m23，m3故答案为：3【点评】此题主要考查了二次函数的定
16、义，根据已知得出 m272，注意二次项系数不为 0 是解题关键12如图，O 的半径为 2，C 1 是函数 y2x 2 的图象，C 2 是函数 y2x 2 的图象，则图中阴影部分的面积为 2 【分析】根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积， O 的半径为 2，图中阴影部分的面积为： 222 故答案为：2【点评】此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影部分面积是解题关键13二次函数 y4（x 3） 2+7 的图象的顶点坐标是 （3，7） 【分析】由抛物线解析式可求得答案【解答】解：y4（x3） 2+7，
17、顶点坐标为（3，7），故答案为：（3，7）【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ya（xh） 2+k 中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k）14如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb 2；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23；3a+c0；当 y0 时，x 的取值范围是1x3；当 x0 时，y 随 x 增大而增大；其中结论正确有 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的一个交点坐标为（3，0
18、），则可对进行判断；由对称轴方程得到 b2a，然后根据x1 时函数值为 0 可得到 3a+c0，则可对进行判断；根据抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点，b 24ac0，所以 正确；抛物线的对称轴为直线 x1，而点（1，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（3，0），方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23，所以正确；x 1，即 b2a，而 x1 时，y 0，即 ab+c 0，a+2a+c0，所以错误；抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0），（3，0），当1x3 时，y 0，所以错误；抛物线的
19、对称轴为直线 x1，当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以 正确故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax 2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由 决定：b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点
20、；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点15已知抛物线 y2x 25x +3 与 y 轴的交点坐标是 （0，3） 【分析】y 轴上点的坐标特点为横坐标为 0，纵坐标为 y，把 x0 代入即可求得交点坐标为（0，3）【解答】解：当 x0 时，y 3，即交点坐标为（0，3）【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确 y 轴上点的坐标横坐标为 0三解答题（共 6 小题）16已知函数 y（m 2m） x2+（m1）x+m+1（1）若这个函数是一次函数，求 m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？【分析】根
21、据一次函数与二次函数的定义求解【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2m 0解得 m0 或 m1又m10 即 m1；当 m0 时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m 2m 0解得 m10，m 21当 m10，m 21 时，这个函数是二次函数【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义17已知二次函数 yx 2+4x（1）写出二次函数 yx 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当 y0 时，x 的取值范围【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连
22、线画出图象即可（3）根据图象从而得出 y0 时，x 的取值范围【解答】解：（1）yx 2+4x（x2） 2+4，对称轴是过点（2，4）且平行于 y 轴的直线 x2；（2）列表得：x 1 0 1 2 3 4 5 y 5 0 3 4 3 0 5 描点，连线（3）由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是 x0 或 x4【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出 y0 时，x 的取值18已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标 （3，2） ；（2）对称轴为 x3 ；（3）当 x 3 时，y 有最大值是
23、 2 ；（4）当 x3 时，y 随着 x 得增大而增大（5）当 5x1 时，y0【分析】（1）由抛物线与 x 轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可得对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；（4）根据二次函数的性质即可求解；（5）抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值即为所求【解答】解：（1）抛物线与 x 轴交于点（5，0），（1，0），顶点横坐标为 3，由图可知顶点纵坐标为 2，顶点坐标为（3，2）；（2）对称轴为 x3；（3）当 x3 时，y 有最大值是 2；（4）当 x3 时，y 随着 x 得增大而增大；（5）当5x1 时，y 0故答案为
24、（1）（3，2）；（2）x3；（3）3，2；（4）x3；（5）5x1【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的顶点坐标是（， ），对称轴直线 x ，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a 0 时，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的开口向上，x 时，y 随 x 的增大而减小；x 时，y 随 x 的增大而增大；x 时，y 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点当 a 0 时，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的开口向下，x 时，y 随 x 的增大而增大；x 时，y 随 x 的增大而减小；x 时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最
25、高点19已知抛物线 yax 2+bx+c，如图所示，直线 x1 是其对称轴，（1）确定 a，b，c，b 24ac 的符号；（2）求证：ab+c0；（3）当 x 取何值时，y 0，当 x 取何值时 y0【分析】（1）根据开口方向确定 a 的符号，根据对称轴的位置确定 b 的符号，根据抛物线与 y轴的交点确定 c 的符号，根据抛物线与 x 轴交点的个数确定 b24ac 的符号；（2）根据图象和 x1 的函数值确定 ab+c 与 0 的关系；（3）抛物线在 x 轴上方时 y0；抛物线在 x 轴下方时 y0【解答】解：（1）抛物线开口向下，a0，对称轴 x 1，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的
26、上方，c0，抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0；（2）证明：抛物线的顶点在 x 轴上方，对称轴为 x1，当 x1 时，y ab+c 0；（3）根据图象可知，当3x1 时，y 0；当 x3 或 x1 时，y0【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 yax 2+bx+c 系数的符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点确定利用数形结合是解题的关键20已知抛物线 ya（x 3） 2+2 经过点（1，2）（1）求 a 的值（2）若点 A（m，y 1），（n，y 2）（mn3）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小【分析】（1）根据抛物线 ya（x3） 2+2 经
27、过点（1，2），可以求的 a 的值；（2）根据（1）中 a 的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得 y1 与 y2的大小【解答】解：（1）抛物线 ya（x3） 2+2 经过点（1，2），2a（13） 2+2，a1；（2）y（x 3） 2+2，此函数的图象开口向下，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，点 A（m，y 1），（n，y 2）（mn3）都在该抛物线上，y 1y 2【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答21在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x +2 与 y 轴交于
28、点 A，顶点为点 B，点 C 与点 A关于抛物线的对称轴对称（1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4将抛物线在点 A，D 之间的部分（包含点A，D）记为图象 G，若图象 G 向下平移 t（t 0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t 的取值范围【分析】（1）欲求直线 BC 的解析式，需要求得点 B、C 的坐标，由抛物线解析式求得点 A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点 C 的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式 y x+2 易求 D（4，6），由直线 y x+1 易求点（0，1），点F（4，3）设点 A 平移后的对应点为点
29、 A，点 D 平移后的对应点为点 D当图象 G 向下平移至点 A与点 E 重合时，点 D在直线 BC 上方，此时 t1当图象 G 向下平移至点 D与点 F 重合时，点 A在直线 BC 下方，此时 t3结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是1t3【解答】解：（1）抛物线 与 y 轴交于点 A，点 A 的坐标为（0，2） ，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点 B 的坐标为（1， ） 又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，点 C 的坐标为（2，2），且点 C 在抛物线上设直线 BC 的解析式为 ykx +b直线 BC 经过点 B（1， ）和点 C（2，2），解得直线 BC 的解析式为：y x
30、+1；（2）抛物线 y x +2 中，当 x4 时，y 6，点 D 的坐标为（4，6） 直线 y x+1 中，当 x0 时，y 1当 x4 时，y3，如图，点 E 的坐标为（0，1），点 F 的坐标为（4，3）设点 A 平移后的对应点为点 A，点 D 平移后的对应点为点 D当图象 G 向下平移至点 A与点 E 重合时，点 D在直线 BC 上方，此时 t1当图象 G 向下平移至点 D与点 F 重合时，点 A在直线 BC 下方，此时 t3结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 1t 3【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了
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