1、2019 年北师大版九下数学第 3 章 圆单元测试卷一选择题（共 10 小题）1下列语句中，正确的是（ ）A长度相等的弧是等弧B在同一平面上的三点确定一个圆C三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等2 O 的半径是 13，弦 ABCD，AB24，CD10，则 AB 与 CD 的距离是（ ）A7 B17 C7 或 17 D343一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB10，水面宽 AB16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A4 B5 C6 D64如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆
2、心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对5如图，一块直角三角板的 30角的顶点 P 落在O 上，两边分别交 O 于 A、B 两点，若O的直径为 4，则弦 AB 长为（ ）A2 B3 C D6如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 是 BC 延长线上一点，若 BAD100，则DCE 的大小是（ ）A115 B105 C100 D957如图，正方形 ABCD 内接于O ，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q若 QPQO ，则 的值为（ ）A B C D8 O 半径为 5，圆心 O 的坐标为（ 0，0），点 P 的坐标为（3，4），则点 P 与O 的位置关系是（ ）A点 P 在
3、O 内 B点 P 在O 上C点 P 在O 外 D点 P 在O 上或外9下列说法正确的是（ ）A半圆是弧，弧也是半圆B三点确定一个圆C平分弦的直径垂直于弦D直径是同一圆中最长的弦10如图，将ABC 放在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）A B C2 D二填空题（共 5 小题）11如图，小量角器的 0刻度线在大量角器的 0刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点 P 在大量角器上对应的度数为 40，那么在小量角器上对应的度数为 （只考虑小于 90的角度）12半径为 1 的
4、O 中，两条弦 AB ，AC 1，BAC 的度数为 13如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点 A，B，C ，其中 B 点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 14如图，O 中，已知弧 AB弧 BC，且弧 AB：弧 AmC3：4，则AOC 度15如图，AB 是半圆的直径，BAC20，D 是 的中点，则 DAC 的度数是 三解答题（共 6 小题）16已知：如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，CEAB 于 E，DFAB 于 F，且AE BF，AC 与 BD 相等吗？为什么？17如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE2，EB6，DEB30，求弦 CD 长18如图，有一座拱桥
5、是圆弧形，它的跨度 AB60 米，拱高 PD18 米（1）求圆弧所在的圆的半径 r 的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有 30 米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4 米，即 PE4 米时，是否要采取紧急措施？19如图，OA、OB、OC 都是O 的半径，AOB2BOC探索ACB 与BAC 之间的数量关系，并说明理由20如图，已知O 中，AB 为直径，AB10cm，弦 AC 6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求线段 BC，AD，BD 的长21如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，DBDC ，DAE 是四边形 ABCD 的一个外角DAE与DAC 相等吗？为什么？2019 年北师大版九下数学第
6、 3 章 圆单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1下列语句中，正确的是（ ）A长度相等的弧是等弧B在同一平面上的三点确定一个圆C三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等【分析】根据圆的有关概念、确定圆的条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；C、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误；D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确；故选：D【点评】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握2 O 的半径是
7、 13，弦 ABCD，AB24，CD10，则 AB 与 CD 的距离是（ ）A7 B17 C7 或 17 D34【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦 AB、CD 的弦心距 OE、OF ，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论【解答】解：如图，AE AB 2412，CF CD 105，OE 5，OF 12，当两弦在圆心同侧时，距离OF OE1257；当两弦在圆心异侧时，距离OE +OF12+5 17所以距离为 7 或 17故选：C【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论3一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB10，
8、水面宽 AB16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A4 B5 C6 D6【分析】根据垂径定理求出 BC，根据勾股定理求出 OC 即可【解答】解：OCAB，OC 过圆心 O 点，BCAC AB 168，在 Rt OCB 中，由勾股定理得：OC 6，故选：D【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出 BC 是解决问题的关键4如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对【分析】根据圆心角定理进行判断即可【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心
9、距相等故选：D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等5如图，一块直角三角板的 30角的顶点 P 落在O 上，两边分别交 O 于 A、B 两点，若O的直径为 4，则弦 AB 长为（ ）A2 B3 C D【分析】连接 AO 并延长交O 于点 D，连接 BD，根据圆周角定理得出D P30，ABD90，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：连接 AO 并延长交 O 于点 D，连接 BD，P30，DP30AD 是 O 的直径，AD4，ABD90，AB AD2故选：A【点评】本题考查的是圆周角定理，根
10、据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6如图，四边形 ABCD 内接于O ，E 是 BC 延长线上一点，若 BAD100，则DCE 的大小是（ ）A115 B105 C100 D95【分析】由圆的内接四边形的性质，可得BAD+BCD180，又由邻补角的定义可得：BCD+DCE180，可得DCEBAD【解答】解：BAD100，BCD180BAD80，DCE180BCD100故选：C【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用7如图，正方形 ABCD 内接于O ，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q若 QPQO ，则 的值为（ ）A
11、 B C D【分析】设O 的半径为 r，QOm，则 QPm ，QC r+m，QArm利用相交弦定理，求出 m 与 r 的关系，即用 r 表示出 m，即可表示出所求比值【解答】解：如图，设O 的半径为 r，QOm，则 QPm ，QCr+m，QArm在 O 中，根据相交弦定理，得 QAQCQPQD即（rm）（r+ m）mQD，所以 QD 连接 DO，由勾股定理，得 QD2DO 2+QO2，即 ，解得所以，故选：D【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”熟记并灵活应用定理是解题的关键8 O 半径为 5，圆心 O 的坐标为（ 0，0），点 P
12、的坐标为（3，4），则点 P 与O 的位置关系是（ ）A点 P 在 O 内 B点 P 在O 上C点 P 在O 外 D点 P 在O 上或外【分析】本题先由勾股定理求得点 P 到圆心 O 的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点 P 与O 的位置关系当 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内【解答】解：点 P 的坐标为（3，4），由勾股定理得，点 P 到圆心 O 的距离 5，点 P 在 O 上，故选 B【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点 P 在O 上； 点 P 在O 内； 点 P 在 O外9下列说法正确的是（ ）A半圆是弧，弧也是半圆B三点确定一个圆
13、C平分弦的直径垂直于弦D直径是同一圆中最长的弦【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，故选：D【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难道不大10如图，将ABC 放在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（ ）A B C2 D【分析】根据题意得出ABC 的外接圆的圆心
14、位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径【解答】解：如图所示：点 O 为ABC 外接圆圆心，则 AO 为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： 故选：A【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键二填空题（共 5 小题）11如图，小量角器的 0刻度线在大量角器的 0刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点 P 在大量角器上对应的度数为 40，那么在小量角器上对应的度数为 70 （只考虑小于 90的角度）【分析】设大量角器的左端点为 A，小量角器的圆心为 B利用三角形的内角和定理求出PBA的度数然
15、后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数【解答】解：设大量角器的左端点是 A，小量角器的圆心是 B，连接 AP，BP，则APB90，PAB 20，因而PBA 902070，在小量角器中弧 PB 所对的圆心角是 70，因而 P 在小量角器上对应的度数为 70故答案为：70；【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是 90 度能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键12半径为 1 的O 中，两条弦 AB ，AC 1，BAC 的度数为 15或 105 【分析】分类讨论：当 AC 与 AB 在点 A 的两旁由 OAOC1，AC1，得到OAC 为等边三角形，则OAC60，又由 OAOB 1，AB ，得到
16、OAB 为等腰直角三角形，则OAB45，所以BAC 45+60105；当 AC 与 AB 在点 A 的同旁有BACOACOAB604515【解答】解：如图 1，当 AC 与 AB 在点 A 的两旁连 OC，OA，OB，如图，在OAC 中，OAOC1，AC1，OAC 为等边三角形，OAC60；在OAB 中，OAOB 1，AB ，即 12+12（ ） 2，OA 2+OB2AB 2，OAB 为等腰直角三角形，OAB45，BAC45+60 105 ；如图 2，当 AC 与 AB 在点 A 的同旁同（1）一样，可求得OAC60，OAB45，BACOACOAB604515综上所述：BAC 的度数为：105
17、或 15故答案为：105或 15【点评】本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用13如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点 A，B，C ，其中 B 点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 （1，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AC 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心【解答】解：如图所示，作弦 AC 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心如图所示，则圆心 D（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知垂直于弦（非直径）的
18、直径平分弦是解答此题的关键14如图，O 中，已知弧 AB弧 BC，且弧 AB：弧 AmC3：4，则AOC 144 度【分析】在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可【解答】解：弧 AB弧 BC，且弧 AB：弧 AmC3：4，弧 ABC：弧 AmC6：4，AOC 的度数为（36010）4144【点评】本题利用了在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为 360 度求解15如图，AB 是半圆的直径，BAC20，D 是 的中点，则 DAC 的度数是 35 【分析】首先连接 BC，由 AB 是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得C90，继而求得B 的度数，然后由 D 是 的中点，根据弧与圆周角的关系
19、，即可求得答案【解答】解：连接 BC，AB 是半圆的直径，C90，BAC20，B90BAC70，D 是 的中点，DAC B35故答案为：35【点评】此题考查了圆周角定理注意准确作出辅助线是解此题的关键三解答题（共 6 小题）16已知：如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，CEAB 于 E，DFAB 于 F，且AE BF，AC 与 BD 相等吗？为什么？【分析】连结 OC、OD，由 OAOB ，AEBF ，得到 OEOF，由 CEAB，DFAB 得到OECOFD90，再根据 “HL”可判断 RtOECRtOFD，则COEDOF，所以AC 弧BD 弧，ACBD【解答】解：AC 与 BD
20、相等理由如下：连结 OC、OD，如图，OAOB ，AEBF，OEOF ，CEAB，DFAB，OECOFD90，在 Rt OEC 和 RtOFD 中，RtOEC RtOFD （HL），COEDOF，AC 弧BD 弧，ACBD【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了直角三角形全等的判定与性质17如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE2，EB6，DEB30，求弦 CD 长【分析】过 O 作 OF 垂直于 CD，连接 OD，利用垂径定理得到 F 为 CD 的中点，由 AE+EB 求出直径 AB 的长，进而确定出半径 OA
21、 与 OD 的长，由 OAAE 求出 OE 的长，在直角三角形 OEF中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半求出 OF 的长，在直角三角形 ODF 中，利用勾股定理求出 DF 的长，由 CD2DF 即可求出 CD 的长【解答】解：过 O 作 OFCD，交 CD 于点 F，连接 OD，F 为 CD 的中点，即 CF DF，AE2，EB6，ABAE+EB2+68，OA4，OEOA AE422，在 Rt OEF 中，DEB30，OF OE1，在 Rt ODF 中，OF1，OD4，根据勾股定理得：DF ，则 CD2DF2 【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含 30直角三角形的性质，利用了转化
22、的思想，熟练掌握定理是解本题的关键18如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 AB60 米，拱高 PD18 米（1）求圆弧所在的圆的半径 r 的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有 30 米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4 米，即 PE4 米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结 OA，利用 r 表示出 OD 的长，在 Rt AOD 中根据勾股定理求出 r 的值即可；（2）连结 OA，在 RtAEO 中，由勾股定理得出 A E 的长，进而可得出 AB 的长，据此可得出结论【解答】解：（1）连结 OA，由题意得：AD AB30，OD（r18）在 Rt ADO 中，由勾股定理得：r 230 2+
23、（r18） 2，解得，r34；（2）连结 OA，OEOP PE30，在 RtA EO 中，由勾股定理得：AE 2AO 2OE 2，即：AE 234 230 2，解得：AE 16AB32AB3230，不需要采取紧急措施【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键19如图，OA、OB、OC 都是O 的半径，AOB2BOC探索ACB 与BAC 之间的数量关系，并说明理由【分析】由圆周角定理，易得：ACB AOB ，CAB BOC；已知AOB2BOC，联立三式可求得所证的结论【解答】解：ACB2BAC证明：ACB AOB ， BAC BOC
24、；又AOB2BOC，ACB2BAC【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，根据已知得出：ACB AOB ，CAB BOC 是解题关键20如图，已知O 中，AB 为直径，AB10cm，弦 AC 6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求线段 BC，AD，BD 的长【分析】由在O 中，直径 AB 的长为 10cm，弦 AC6cm，利用勾股定理，即可求得 BC 的长，又由ACB 的平分线 CD 交O 于点 D，可得ABD 是等腰直角三角形，继而求得 AD、BD 的长；【解答】解：AB 是O 的直径，ACBADB90，AB10cm，AC6cm，BC 8（cm），ACB 的平分线 CD 交O 于点 D，
25、，ADBD ，BADABD45，ADBD ABcos4510 5 （cm ）【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用21如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，DBDC ，DAE 是四边形 ABCD 的一个外角DAE与DAC 相等吗？为什么？【分析】首先利用等腰三角形的性质得出DBCDCB，进而利用圆内接四边形的性质得出EADDCB，再利用圆周角定理求出DAE 与DAC 相等【解答】解：DAE 与DAC 相等，理由：DBDC，DBCDCB，DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，EADDCB，DBCEAD，又DACDBC，DAEDAC【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出DBCEAD 是解题关键
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