2019年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》单元测试卷（含答案解析）

1、第 1 章 直角三角形的边角关系单元测试卷一选择题（共 10 小题）1如图，在 RtABC 中，C90，AB 10，AC8，则 sinA 等于（ ）A B C D2已知A 为锐角，且 tanA ，则A 的取值范围是（ ）A0A30 B30A45 C45A60 D60A 903在 RtABC 中，若C90，cosA ，则 sinA 的值为（ ）A B C D4在 RtABC 中，C90，sin A ，则 cosB 等于（ ）A B C D5sin30 的值为（ ）A B C D6下面四个数中，最大的是（ ）A Bsin88 Ctan46 D7如图是教学用直角三角板，边 AC30cm，C 90，t

2、anBAC ，则边 BC 的长为（ ）A30 cm B20 cm C10 cm D5 cm8如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC100 米，PCA35，则小河宽 PA 等于（ ）A100sin35米 B100sin55米C100tan35米 D100tan55米9如图在坡角为 a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A5cosa B C5sina D10如图，在一个 20 米高的楼顶上有一信号塔 DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A处测得信号塔下端 D 的仰

3、角为 30，然后他正对塔的方向前进了 8 米到达地面的 B 处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 45，CDAB 于点 E，E、B、A 在一条直线上信号塔 CD 的高度为（ ）A20 B20 8 C20 28 D20 20二填空题（共 5 小题）11如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是 12比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50 13在 RtABC 中，C90，sin A ，则 tanA 14已知在 RtABC 中，C90，sin A ，则 tanB 的值为 15在ABC 中，A、B 为锐角，且|tan A1|+ （ cosB） 20

4、，则C 三解答题（共 6 小题）16学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC 中，AB AC ，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为 A B1 C D2（2）对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 （3）已知 sin ，其中 为锐角，试求 sad的值17下列关系式是

5、否成立（090），请说明理由（1）sin +cos1；（2）sin2 2sin18计算： +（ ） 1 4cos45（ ） 019在 RtABC 中，C90（1）已知 c25，b15，求 a；（2）已知 a ，A60，求 b、c20一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB50cm，拉杆最大伸长距离BC35cm ，（点 A、B、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A，A 与水平地面切于点 D，AEDN，某一时刻，点 B 距离水平面 38cm，点 C 距离水平面 59cm（1）求圆形滚轮的半径 AD 的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点

6、 C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点 C 距离水平地面 73.5cm，求此时拉杆箱与水平面 AE 所成角CAE 的大小（精确到 1，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）21如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上，A、B 之间的距离约为 49cm，现测得 AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45与 68，若点C 到地面的距离 CD 为 28cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm，求点 E 到地面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin680.93，cos68 0.37，cot680.4

7、0）2019 年北师大版数学下册第 1 章 直角三角形的边角关系单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1如图，在 RtABC 中，C90，AB 10，AC8，则 sinA 等于（ ）A B C D【分析】先根据勾股定理求得 BC6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在 RtABC 中，AB10、AC 8，BC 6，sinA ，故选：A【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义2已知A 为锐角，且 tanA ，则A 的取值范围是（ ）A0A30 B30A45 C45A60 D60A 90【分析】首先明确 tan451，tan60 ，再根据

8、正切值随角增大而增大，进行分析【解答】解：tan451，tan60 ，正切值随角增大而增大，又 1 ，45A60故选：C【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键3在 RtABC 中，若C90，cosA ，则 sinA 的值为（ ）A B C D【分析】先根据特殊角的三角函数值求出A 的值，再求出 sinA 的值即可【解答】解：RtABC 中，C90，A 是锐角，cosA 设 AB25x，AC7x，由勾股定理得：BC24x，sinA ，故选：A【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，主要考察学生对锐角三角函数的定义的理解能力和计算能力4在 RtABC 中，C90，si

9、n A ，则 cosB 等于（ ）A B C D【分析】根据三角函数定义解答【解答】解：在 RtABC 中，C90，sin A ，设 BC3x，则 AB5x，AC4xcosB 故选：C【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边5sin30 的值为（ ）A B C D【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：sin30 ，故选：A【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键6下面四个数中，最大的是（ ）A Bsin88 Ctan46 D【分析】利用计算器求出数值，再计算即可【解答】解：A、

10、 2.2361.7320.504；B、sin880.999；C、tan461.036；D、 0.568故 tan46最大，故选：C【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力7如图是教学用直角三角板，边 AC30cm，C 90，tanBAC ，则边 BC 的长为（ ）A30 cm B20 cm C10 cm D5 cm【分析】因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角 BAC 的对边为 BC，邻边为 AC，根据角 BAC 的正切值，即可求出BC 的长度【解答】解：直角ABC 中，C90，tanBAC ，又AC30cm，ta

11、n BAC ，BCACtanBAC 30 10 （cm）故选：C【点评】此题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟知 tanBAC 是解答此题的关键8如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC100 米，PCA35，则小河宽 PA 等于（ ）A100sin35米 B100sin55米C100tan35米 D100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度【解答】解：PAPB ，PC100 米，PCA 35，小河宽 PAPCtan PCA 100tan35米故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一

12、般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案9如图在坡角为 a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A5cosa B C5sina D【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离 AB 即可【解答】解：由于相邻两树之间的水平距离为 5 米，坡角为 ，则两树在坡面上的距离 AB 故选：B【点评】此题主要考查了坡度坡角问题，正确掌握三角函数关系是解题关键10如图，在一个 20 米高的楼顶上有一信号

13、塔 DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A处测得信号塔下端 D 的仰角为 30，然后他正对塔的方向前进了 8 米到达地面的 B 处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 45，CDAB 于点 E，E、B、A 在一条直线上信号塔 CD 的高度为（ ）A20 B20 8 C20 28 D20 20【分析】利用 30的正切值即可求得 AE 长，进而可求得 CE 长CE 减去 DE 长即为信号塔 CD的高度【解答】解：根据题意得：AB8 米，DE20 米，A30，EBC45，在 Rt ADE 中，AE DE20 米，BEAEAB20 8（米），在 Rt BCE 中，CEBEtan45（20 8）12

14、0 8（米），CDCEDE20 82020 28（米）；故选：C【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段二填空题（共 5 小题）11如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是 【分析】连接 AC，根据网格特点和正方形的性质得到 BAC90，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可【解答】解：连接 AC，由网格特点和正方形的性质可知，BAC90，根据勾股定理得，AC ，AB2 ，则 tanABC ，故答案为： 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定

15、理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边12比较下列三角函数值的大小：sin40 sin50 【分析】根据当 090 ，sin 随 的增大而增大即可得到 sin40sin50 【解答】解：4050，sin40sin50故答案为【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当 090，sin 随 的增大而增大13在 RtABC 中，C90，sin A ，则 tanA 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答【解答】解：由 sinA 知，可设 a3x，则 c5x，b4

16、xtanA 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值14已知在 RtABC 中，C90，sin A ，则 tanB 的值为 【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tanB 的值B 的对边与邻边之比【解答】解：在 RtABC 中，C90，sin A ，sinA ，设 a 为 3k，则 c 为 5k，根据勾股定理可得：b4k，tanB ，故答案为： 【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值15在ABC 中，A、B 为锐角，

17、且|tan A1|+ （ cosB） 20，则C 75 【分析】根据非负数的性质求出 tanA 和 cosB 的值，然后求出A 、B 的度数，最后求出C【解答】解：由题意得，tanA1，cosB ，则A45，B60，则C1804560 75故答案为：75【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值三解答题（共 6 小题）16学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC

18、中，AB AC ，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60的值为 A B1 C D2（2）对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 0sadA2 （3）已知 sin ，其中 为锐角，试求 sad的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出 0 度和 180 度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形 ACD，根据正对的定义解答【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为 60时，等

19、腰三角形底角为 60，则三角形为等边三角形，则 sad60 1故选 B（2）当A 接近 0时，sad 接近 0，当A 接近 180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sad接近 2于是 sadA 的取值范围是 0sadA2故答案为 0sadA2（3）如图，在ABC 中，ACB 90，sin A 在 AB 上取点 D，使 ADAC，作 DHAC，H 为垂足，令 BC3k，AB5k，则 ADAC 4k，又在ADH 中，AHD 90，sin A DHAD sinA k，AH k则在CDH 中，CHACAH k，CD k于是在ACD 中，ADAC4k，CD k由正对的定义可得：sadA ，即 sad

20、 【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin +cos1；（2）sin2 2sin【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在ABC 中，B90，C 则 sin+cos + 1，故 sin+cos1 不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设 30，则 sin2sin60 ，2sin 2sin30 2 1， 1，sin22sin ，即 sin22sin 不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系

21、解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值18计算： +（ ） 1 4cos45（ ） 0【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及 0 指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式2 +2 4 1，2 +22 1，1故答案为：1【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算19在 RtABC 中，C90（1）已知 c25，b15，求 a；（2）已知 a ，A60，求 b、c【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出 a 的值

22、；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出 b、c 的值【解答】解：（1）根据勾股定理可得：a 20；（2）ABC 为 Rt，A60，B30，c2b，根据勾股定理可得：a 2+b2c 2，即 6+b2（2b） 2，解得 b ，则 c2 【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力20一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB50cm，拉杆最大伸长距离BC35cm ，（点 A、B、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A，A 与水平地面切于点 D，AEDN，某一时刻，点 B 距离水平面 38cm，点 C 距离水平面 59cm（1）求圆形滚轮的半径

23、 AD 的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点 C 距离水平地面 73.5cm，求此时拉杆箱与水平面 AE 所成角CAE 的大小（精确到 1，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19）【分析】（1）作 BHAF 于点 G，交 DM 于点 H，则ABGACF，设圆形滚轮的半径 AD的长是 xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得 x 的值；（2）求得 CF 的长，然后在直角 ACF 中，求得 sinCAF，即可求得角的度数【解答】解：（1）作 BHAF 于点 G，交 DM 于点

24、 H则 BGCF，ABG ACF设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm则 ，即 ，解得：x8则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm；（2）CF73.5865.5（m）则 sinCAF 0.77，则CAF50【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算21如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方 A 处与坐垫下方 B 处在平行于地面的水平线上，A、B 之间的距离约为 49cm，现测得 AC、BC 与 AB 的夹角分别为 45与 68，若点C 到地面的距离 CD 为 28cm，坐垫中轴 E 处与点 B 的距离 BE 为 4cm，求点 E 到

25、地面的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin680.93，cos680.37，cot680.40）【分析】过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 E 作 EF 垂直于 AB 延长线于点 F，设 CHx，则AHCHx，BHCHcot68 0.4x ，由 AB49 知 x+0.4x49，解之求得 CH 的长，再由EFBEsin68 3.72 根据点 E 到地面的距离为 CH+CD+EF 可得答案【解答】解：过点 C 作 CH AB 于点 H，过点 E 作 EF 垂直于 AB 延长线于点 F，设 CHx，则 AHCH x，BHCH cot680.4x，由 AB49 知 x+0.4x49，解得：x35，BE4，EFBEsin683.72，则点 E 到地面的距离为 CH+CD+EF35+28+3.7266.7（cm ），答：点 E 到地面的距离约为 66.7cm【点评】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义