1、第十章 检测试题(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(每小题 4分,共 32分)1.下列命题中,其逆命题错误的是( C )(A)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(B)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(C)如果 a3=b3,那么 a2=b2(D)在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半解析:若 a2=b2,那么 a=b或 a=-b,所以 a3=b3不一定成立.故选 C.2.如图,E 是等边ABC 中边 AC上的点,1=2,BE=CD,则对ADE的形状判断正确的是( B )(A)底与腰不相等的等腰三角形(B)等边三角形(C)不等边三角形(D)不能确定形状解析:因
2、为ABC 为等边三角形,所以 AB=AC.因为1=2,BE=CD,所以ABEACD,所以 AE=AD,BAE=CAD=60,所以ADE 是等边三角形.故选 B.3.已知一等腰三角形的腰长为 5,底边长为 4,底角为 .满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( D )(A)两条边长分别为 4,5,它们的夹角为 (B)两个角是 ,它们的夹边为 4(C)三条边长分别是 4,5,5(D)两条边长是 5,一个角是 解析:选项 A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”,选项 C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”,因此,它们都
3、能确定该三角形与已知三角形全等.当两条边长是 5,一个角是 时,所得到的三角形与原三角形不一定全等,故选项 D不合题意.故选 D.4.(2018玉林)如图,AOB=60,OA=OB,动点 C从点 O出发,沿射线OB方向移动,以 AC为边在右侧作等边ACD,连接 BD,则 BD所在直线与 OA所在直线的位置关系是( A )(A)平行 (B)相交(C)垂直 (D)平行、相交或垂直解析:如图,因为AOB=60,OA=OB,所以AOB 是等边三角形,所以 AO=AB.因为ACD 是等边三角形,所以 AC=AD.又因为OAB=CAD=60,所以1=2,所以AOCABD(SAS),所以ABD=AOC=60
4、,所以ABD=OAB=60,所以 BDOA.故选 A.5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7米,顶端距离地面 2.4米.如果保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2米.则小巷的宽度为( C )(A)0.7米 (B)1.5米 (C)2.2米 (D)2.4米解析:梯子斜靠在左墙时,根据勾股定理得梯子的长为 =2.5米,梯子斜靠在右墙时,梯子底端到右墙角的距离为 =1.5米,所以小巷的宽度为 0.7+1.5=2.2米.故选 C.6.如图,在四边形 ABCD中,AB=CD,BA 和 CD的延长线交于点 E,若点 P使得 SPAB =S
5、PCD ,则满足此条件的点 P( D )(A)有且只有 1个(B)有且只有 2个(C)组成E 的平分线(D)组成E 的平分线所在的直线(E 点除外)解析:因为 AB=CD,若 SPAB =SPCD ,则 AB,CD边上的高必须相等,因此考虑点 P所在的位置到 AB,CD的距离相等,即点 P在E 的平分线上;若反向延长E 的平分线,则其上面的点到 AB,CD的距离也相等,同时考虑到点 E在 AB和 CD的延长线上,因此点 P位于点 E时不能构成三角形,所以点 P组成E 的平分线所在的直线(E 点除外).故选 D.7.如图,ABC 中,AB=AC,D 是 BC的中点,AC 的垂直平分线分别交AC,
6、AD,AB于点 E,O,F,则图中全等三角形的对数是( D )(A)1对 (B)2对 (C)3 对 (D)4对解析:因为 EF是 AC的垂直平分线,所以 OA=OC.又因为 OE=OE,所以 RtAOERtCOE.因为 AB=AC,D是 BC的中点,所以 ADBC,所以ABC 关于直线 AD轴对称.所以AOCAOB,BODCOD,ABDACD.综上所述,全等三角形共有 4对.故选 D.8.如图,AOB=120,OP 平分AOB,且 OP=2.若点 M,N分别在 OA,OB上,且PMN 为等边三角形,则满足上述条件的PMN 有( D )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)无数个解析:如图,
7、在 OA上截取 OC=OP=2,因为AOP=60,所以OCP 是等边三角形,所以 CP=OP,OCP=CPO=60.在线段 OC上任取一点 M,在 OB上截取 ON,使 ON+OM=2,连接 MN,PM,PN.因为 MC+OM=2,所以 CM=ON.在MCP 和NOP 中,因为 CM=ON,MCP=NOP=60,CP=OP,所以MCPNOP(SAS),所以 PM=PN,MPC=NPO,所以MPC+MPO=NPO+MPO,即CPO=MPN,所以MPN=60,所以PMN 是等边三角形.故满足条件的PMN 有无数个,故选 D.二、填空题(每小题 4分,共 24分)9.用反证法证明“若 ac,bc,则
8、 ab”时,第一步应先假设 a不平行 b . 10.如图,在 RtABC 中,C=90,D 为 AB的中点,DEAC 于点E,A =30,AB=8,则 DE的长度是 2 . 解析:因为 D为 AB的中点,AB=8,所以 AD=4.因为 DEAC,A=30,所以 DE= AD=2.11.(2018桂林)如图,在ABC 中,A=36,AB=AC,BD 平分ABC,则图中等腰三角形的个数是 3 . 解析:因为 AB=AC,所以ABC 是等腰三角形.因为A=36,所以C=ABC=72.因为 BD平分ABC,所以ABD=DBC=36.所以A=ABD.所以 AD=BD.所以ABD 是等腰三角形.因为BDC
9、=A+ABD=36+36=72,所以BDC=C,所以 BD=BC.所以BDC 是等腰三角形.所以共有 3个等腰三角形.12.如图,依据尺规作图的痕迹,计算= 56 . 解析:=90- 68=56.13.如图,在ABC 中,CD 是ACB 的平分线,BECD,垂足为 E,若ABC的面积为 6,则AEC 的面积为 3 . 解析:延长 BE交 AC于点 F,易证BCEFCE(ASA),所以 BE=FE,则BCE 与FCE 面积相等,ABE 与AFE 面积相等,故AEC 的面积为ABC 面积的一半.所以 SAEC =3.14.如图,一张三角形纸片 ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm,现将
10、纸片折叠,使点 A与点 B重合,那么折痕长等于 cm. 解析:如图,在 RtABC 中,因为 AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理,得 AB=10 cm.设 CE=x cm,由折叠的性质得 BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x) cm,在 RtBCE 中,根据勾股定理可知BC2+CE2=BE2,即 62+x2=(8-x)2,解方程得 x= .则 AE= .在 RtADE 中,由勾股定理解得 DE= .三、解答题(共 44分)15.(7分)已知ABC 中,ABC=ACB,点 D,E分别为边 AB,AC的中点,求证:BE=CD.证明:因为ABC=ACB,所以 AB=AC,因为点 D,
11、E分别为边 AB,AC的中点,所以 BD=CE,在BDC 和CEB 中,BD=CE,ABC=ACB,BC=CB,所以BDCCEB,所以 BE=CD.16.(7分)已知:如图,RtABCRtADE,ABC=ADE=90,试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段,如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明.解:答案不唯一,如 CD=BE,AFDB,AFCE,DBCE 等.选以下三种供参考:第一种:连接 CD,BE;得 CD=BE.证明:因为 RtABCRtADE,所以 AC=AE,AD=AB,BAC=DAE,所以DAC=BAE,所以ADCABE(SAS),所以
12、 CD=BE.第二种:连接 DB,AF;得 AFDB.证明:因为ABCADE,所以 AD=AB.又因为ABC=ADE=90,AF=AF,所以ADFABF(HL),所以DAF=BAF.又因为 AD=AB,所以 AFDB.第三种:连接 CE,AF;得 AFCE.证明:因为ABCADE,所以 AD=AB,AC=AE.又因为ABC=ADE=90,AF=AF,所以ADFABF(HL),所以DAF=BAF.因为CAB=EAD,所以CAD=EAB,所以CAF=EAF,所以 AFCE.17.(7分)如图,ABC 中,AB=AC,BAC=120,AB 的垂直平分线交 BC于点 D,垂足为点 E.(1)求BAD
13、的度数;(2)若 BD=2 cm,试求 DC的长度.解:(1)因为 AB=AC,所以B=C=(180-120)2=30.因为 DE垂直平分线段 AB,所以 DB=DA.所以BAD=B=30.(2)因为BAC=120,BAD=30,所以DAC=90.又因为C=30,DB=DA,所以 DC=2DA=2DB=4 cm.18.(7分)如图,已知AOB=60,点 P在边 OA上,OP=12,点 M,N在边OB上,PM=PN,若 MN=5,求 OM的长度.解:作 PHMN 于 H,因为AOB=60,所以OPH=30,所以 OH= OP=6.因为 PM=PN,PHMN,所以 MH=NH=2.5,所以 OM=
14、OH-MH=3.5.19.(8分)如图所示,在等边三角形 ABC中,ABC,ACB 的平分线交于点 O,OB和 OC的垂直平分线分别交 BC于 E,F.试探索 BE,EF,FC的大小关系,并说明理由.解:结论:BE=EF=FC.理由:因为ABC 是等边三角形,所以ABC=ACB=60.因为 CO,BO平分ACB,ABC,所以OBE=OCF=30.因为 EG,HF分别垂直平分 OB,OC,所以 OE=BE,OF=FC,所以BOE=OBE=30,COF=OCF=30,所以OEF=OFE=60,则EOF=60,所以OEF 是等边三角形,所以 OF=OE=EF,所以 BE=EF=FC.20.(8分)在
15、ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC 的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.作 ADBC 于 D,设 BD=x,用含 x的代数式表示 CD 根据勾股定理,利用 AD作“桥梁”,建立方程模型求出 x 利用勾股定理求出 AD的长,再计算三角形面积解:如图,在ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,作 ADBC 于 D,设 BD=x,所以 CD=14-x.由勾股定理得 AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,所以 152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9.所以 AD
16、=12.所以 SABC = BCAD= 1412=84.附加题(共 20分)21.(10分)如图 1,已知 AB=AC,BAC=90,AE 是过点 A的一条直线,且点 B,C在 DE的两侧,BDAE 于点 D,CEAE 于点 E.(1)求证:BD=DE+CE;(2)如图 2,若直线 AE绕点 A旋转到图 2所示的位置(BDCE)时,其余条件不变,则 BD与 DE,CE的关系如何?(直接写出结论).(1)证明:因为BAC=90,所以BAD+CAE=90.因为 CEAE,所以ACE+CAE=90,所以ACE=BAD.又因为 BDAE,CEAE,所以ADB=CEA=90.在ABD 和CAE 中,因为
17、ADB=CEA,ACE=BAD,AB=AC,所以ABDCAE(AAS),所以 BD=AE,AD=CE.因为 AE=DE+AD,所以 BD=DE+CE.(2)解:BD=DE-CE.(3)解:BD=DE-CE.22.(10分)在ABC 中,BC=AC,BCA=90,P 为直线 AC上一点,过点A作 ADBP 于点 D,交直线 BC于点 Q.(1)如图 1,当 P在线段 AC上时,求证:AQ=BP;(2)当点 P在线段 AC的延长线上时,请在图 2中画出图形,并求CPQ的度数;(3)如图 3,当点 P在线段 CA的延长线上时,DBA= 时,AQ=2BD,并说明理由. (1)证明:因为 ADBP,BC
18、A=90,所以ADB=BCA=90.又因为APD=BPC,所以DAP=CBP.在ACQ 和BCP 中,因为QCA=PCB,CA=CB,CAQ=CBP,所以ACQBCP,所以 AQ=BP.(2)解:如图所示.因为ACQ=BDQ=90,AQC=BQD,所以CAQ=DBQ.在AQC 和BPC 中,因为ACQ=BCP,CA=CB,CAQ=CBP,所以AQCBPC,所以 CQ=CP.因为PCQ=90,所以CPQ=CQP=45.(3)解:DBA=P 时,AQ=2BD.理由:因为DBA=P,所以 AP=AB.因为 ADBP,所以 BD=DP.因为ACQ=ADP=90,PAD=QAC,所以P=Q.在ACQ 和BCP 中,因为QCA=PCB,Q=P,CA=CB,所以ACQBCP,所以 BP=AQ.所以 AQ=BP=2BD.
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