1、几何综合东城区27. 已知 ABC 中， AD 是 BAC的平分线，且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线，交 AD的延长线于点 H（1）如图 1，若 60直接写出 和 的度数；若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；（2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明27. （1） 75B， 45AC；-2 分作 DE AC 交 AC 于点 E.Rt ADE 中，由 30DA， AD=2 可得 DE=1， AE 3.Rt CDE 中，由 45C， DE=1，可得 EC=1. AC 31. Rt ACH 中，由 30A，可得 AH 32； -4 分（2）线段 AH
2、 与 AB+AC 之间的数量关系：2 AH=AB+AC证明： 延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接 GH.易证 ACH AFH. ACF,H. GB . D， A. H . G. 22ABCAFBABGAH. -7 分西城区27正方形 D的边长为 ，将射线 绕点 顺时针旋转 ，所得射线与线段 BD交于点 M，作 EA于点 ，点 N与点 M关于直线 CE对称，连接 N（1）如图，当 045时，依题意补全图用等式表示 NCE与 BAM之间的数量关系：_（2）当 4590时，探究 NCE与 BA之间的数量关系并加以证明（3）当 时，若边 D的中点为 F，直接写出线段 EF长的最
3、大值CDBA图1 图CDBA M【解析】 （1）补全的图形如图所示： NEMA BD C 2NCEBAM（2）190，连接 ，NQMA BD CEAM，DQEC， 2NCEMDAQ，1D， BA，90C，12NEM（3） A，点 在以 C为直径的圆上，221FOE max1EFOr海淀区27如图，已知 60AB，点 P为射线 OA上的一个动点，过点 P作 EOB，交B于点 ，点 D在 内，且满足 DE， 6.（1）当 PE时，求 的长；（2）在点 的运动过程中，请判断是否存在一个定点 M，使得 D的值不变？并证明你的判断. BAOEDP FDEOBAP27.解：（1）作 PF DE交 于 F.
4、 BO， 60A， 3. . 120EPD. 1 分 , 6E, 3, 3P. cos02F. 2DE. 3 分（2）当 M点在射线 OA上且满足 23M时， DE的值不变，始终为 1.理由如下：4 分当点 P与点 不重合时，延长 EP到 K使得 P. ,DAA, K. M. P, 是公共边 , . D. 5 分作 L OE于 , N K于 . 2360L， sinM. 6 分 P B, ,M E，四边形 NE为矩形. 3L. 6KPD, . MN E,LNMDKEOBAP87654321GNMDAC EB MKE. D,即 1M.当点 P与点 重合时，由上过程可知结论成立. 7 分丰台区27
5、如图，Rt ABC 中， ACB = 90， CA = CB，过点 C 在 ABC 外作射线 CE，且 BCE = ，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD， BD， CD，其中 AD， BD 分别交射线 CE 于点M， N.（1）依题意补全图形；（2）当 = 30时，直接写出 CMA 的度数；（3）当 0 45时，用等式表示线段 AM， CN 之间的数量关系，并证明A BC E27 解：（1）如图； 1 分（2）45； 2 分（3）结论： AM= 2CN 3 分证明：作 AG EC 的延长线于点 G点 B 与点 D 关于 CE 对称， CE 是 BD 的垂直平分线 CB=CD1=2
6、= CA=CB， CA=CD3= CAD4=90，3= 12（180 ACD）= 12（180 90 ） =455=2+3= +45- =455 分4=90， CE 是 BD 的垂直平分线，1+7=90，1+6=906=7 AG EC， G=90=8 在 BCN 和 CAG 中，8= G，7=6， BC=CA， BCN CAG CN=AG Rt AMG 中， G=90，5=45， AM= 2AG AM= CN 7 分（其他证法相应给分.）石景山区27在正方形 ABCD 中， M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90得到线段 AQ，连接 BP，
7、DQ（1）依题意补全图 1；（2）连接 DP，若点 P， Q， D 恰好在同一条直线上，求证： 22DPQAB；若点 P， Q， C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系 为： 27 （1）补全图形如图 1. 1 分（2）证明：连接 BD，如图 2，线段 AP绕点 顺时针旋转 90得到线段 AQ， Q， 90四边形 BCD是正方形， A， A 12 Q BP 3 分 D， 3在 RtA中， 90A， 3BPQ在 tD中， 22BPD，又 ， A， 22PQ 5 分 BA 7 分证明：过点 A 作 AEPQ 于 E ，连接 BE ACAE 是PAQ 的垂线三PAQ 是等腰直角三角形
8、（已证）AE 是等腰直角三角形 PAQ 的垂线，角平分线AEP=90，AE=PE正方形 ABCDABC=90ACB=BAC=45AEP+ABC=180QBADCMP图 1 31BACMP图 2A ，B，C，E 四点共圆AEB=ACB=45，CEB=BAC=45AEB=CEB=45BE=BEABEPBE (SAS)BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形 ABCD 中， DAB=60，点 E 为 AB 边上一动点（与点 A， B 不重合），连接 CE，将 ACE 的两边所在射线 CE， CA 以点 C 为中心，顺时针旋转 120，分别交射线 AD 于点 F， G.（1）依题意补全图形；（2）若 AC
9、E= ，求 AFC 的大小（用含 的式子表示）；（3）用等式表示线段 AE、 AF 与 CG 之间的数量关系，并证明27.（1）补全的图形如图所示.1 分（2）解：由题意可知， ECF= ACG=120. FCG= ACE= .四边形 ABCD 是菱形， DAB=60， DAC= BAC= 30. 2 分 AGC=30. AFC =+ 30. 3 分（3）用等式表示线段 AE、 AF 与 CG 之间的数量关系为 CGAFE3.证明：作 CH AG 于点 H.由（2）可知 BAC= DAC= AGC=30. CA=CG. 5 分 HG = 1AG. ACE = GCF， CAE = CGF， A
10、CE GCF. 6 分 AE =FG.在 Rt HCG 中， .23cosCGHCGH AG = 3CG. 7 分即 AF+AE= 3CG.燕山区27如图，抛物线 )0(2acbxy的顶点为 M ，直线 y=m 与抛物线交于点 A，B ，若 AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A， B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶(1)由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN， MN 与 AB 的关系是 (2)抛物线 21xy对应的准蝶形必经过 B(m， m),则 m= ，对应的碟宽 AB 是 (3)抛物线 )0(3542aa对
11、应的碟宽在 x 轴上，且 AB=6.求抛物线的解析式；在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（ px， y） ，使得APB 为锐角，若有，请求出 py的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图y=moyxMBA 准AMB1Oxy27.解：(1)MN 与 AB 的关系是 MNAB，MN= 21AB 2（2） m= 2 对应的碟宽是 4 4(3) 由已知，抛物线必过（3，0） ，代入 )0(3542aaxy得， 03549a31a抛物线的解析式是 12xy5 由知， 32xy的对称轴上 P（0，3） ，P（0，-3）时，APB 为直角，在此抛物线的对称轴上有这样的点 P，使得APB 为锐角，py的取
12、值范围是 3ppy或 7门头沟区27. 如图，在 ABC 中， AB=AC， 2A，点 D 是 BC 的中点， EAB于 点 ，DFAC于 点.（1） EB_；（用含 的式子表示）（2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D 顺时针旋转 1802，与 AC 边交于点 N根据条件补全图形；写出 DM 与 DN 的数量关系并证明；用等式表示线段 BMCN、 与 之间的数量关系，（用含 的锐角三角函数表示）并写出解题思路.FEDCBA27 （本小题满分 7 分）（1） EDB 1 分（2）补全图形正确 2 分数量关系： MN3 分 ,ABC DA 平分 DE于 点 ， DFAC于
13、 点 ， MEN 4 分 2A 180EF DN M EF 5 分 数量关系： sinBCN6 分证明思路：a.由 MDEF 可得 EMb. 由 AB可得 ,进而通过 BDECF ,可得 BECF进而得到 2BCN c.过 ERt 可得 sin,最终得到 sinN 7分大兴区27如图，在等腰直角ABC 中，CAB=90，F 是 AB 边上一点，作射线 CF，过点 B 作 BGC F 于点 G，连接 AG（1）求证： ABG= ACF；FEDCBAMN（2）用等式表示线段 CG， AG， BG 之间的等量关系，并证明27.（1）证明 : CAB=90. BG CF 于点 G， BGF= CAB=
14、90. GFB= CFA. 1 分 ABG= ACF. 2 分（2） CG= AG+BG. 3 分证明：在 CG 上截取 CH=BG，连接 AH， 4 分 ABC 是等腰直角三角形， CAB=90， AB=AC. ABG= ACH. ABG ACH. 5 分 AG =AH, GAB= HAC. GAH=90. 22AGH. GH= AG. 6 分 CG=CH+GH= 2AG+BG. 7 分平谷区27在 ABC 中， AB=AC， CD BC 于点 C，交 ABC 的平分线于点 D， AE 平分 BAC 交 BD 于点 E，过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F，连接 DF（1）补全图 1
15、；（2）如图 1，当 BAC=90时，求证： BE=DE；写出判断 DF 与 AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程） ；（3）如图 2，当 BAC= 时，直接写出 ， DF， AE 的关系27解：（1）补全图 1； 1DFEABC（2）延长 AE，交 BC 于点 H 2 AB=AC， AE 平分 BAC， AH BC 于 H， BH=HC CD BC 于点 C， EH CD BE=DE 3延长 FE，交 AB 于点 G由 AB=AC，得 ABC= ACB图 1DEABCEDBCA图 2G DFEAHB CFEDBCA由 EF BC，得 AGF= AFG得 AG=AF由等腰三角形三线合一得
16、GE=EF 4由 GEB= FED，可证 BEG DEF可得 ABE= FDE 5从而可证得 DF AB 6（3） tan2DFAE 7怀柔区27.如图，在ABC 中，A=90，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90，得到线段 AE，连结 EC.(1)依题意补全图形；(2)求ECD 的度数；(3)若CAE=7.5，AD=1，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60交 EC 的延长线于点 F，请写出求 AF 长的思路27. (1)如图 ECBAD1 分HFED CAB(2) 线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90，得到线段 AE.DAE=90，
17、AD=AE.DAC+CAE =90.BAC=90,BAD+DAC =90.BAD=CAE . 2 分又AB=AC,ABDACE.B=ACE.ABC 中，A=90，AB=AC,B=ACB=ACE=45.ECD=ACB+ACE=90. 4 分(3).连接 DE,由于ADE 为等腰直角三角形，所以可求 DE= 2；5 分.由ADF=60,CAE=7.5，可求EDC 的度数和CDF 的度数，从而可知 DF 的长；6 分.过点 A 作 AHDF 于点 H，在 RtADH 中, 由ADF=60，AD=1 可求 AH、DH 的长； . 由 DF、DH 的长可求 HF 的长；. 在 RtAHF 中, 由 AH
18、 和 HF,利用勾股定理可求 AF 的长7 分延庆区27如图 1，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 DE，过点 B 作 BF DE 于点F，连接 FC（1）求证： FBC= CDF（2）作点 C 关于直线 DE 的对称点 G，连接 CG， FG依据题意补全图形；用等式表示线段 DF， BF， CG 之间的数量关系并加以证明27.（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， DCB =90 CDF+ E =90 BF DE， FBC+ E =90 FBC = CDF 2 分（2） 3 分猜想：数量关系为： BF=DF+CG 证明：在 BF 上取点 M 使得 BM=DF 连接
19、 CM四边形 ABCD 是正方形， BC=DC FBC = CDF， BM=DF， BMC DFC CM=CF，1=2 MCF 是等腰直角三角形 MCF =90，4=45 5 分点 C 与点 G 关于直线 DE 对称，图 1FDECBAGFDECBA CF=GF，5=6 BF DE，4=45， 5=45， CFG =90， CFG= MCF， CM GF CM=CF， CF=GF， CM=GF，四边形 CGFM 是平行四边形， CG=MF BF=DF+CG 7 分顺义区27. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，连接 AE，延长 CB 至点 F，使 BF=BE，过点 F 作
20、 FH AE 于点 H，射线 FH 分别交 AB、 CD 于点 M、 N，交对角线 AC 于点 P，连接AF（1）依题意补全图形；（2）求证： FAC= APF；（3）判断线段 FM 与 PN 的数量关系，并加以证明27 （1）补全图如图所示 1 分（2）证明正方形 ABCD， BAC= BCA=45， ABC=90， PAH=45- BAE FH AE APF=45+ BAE BF=BE，MHPNFDACBE AF=AE， BAF= BAE FAC=45+ BAF FAC= APF 4 分（3）判断： FM=PN 5 分证明：过 B 作 BQ MN 交 CD 于点 Q， MN=BQ， BQ AE正方形 ABCD， AB=BC， ABC= BCD=90 BAE= CBQ ABE BCQ AE=BQ AE=MN FAC= APF， AF=FP AF=AE， AE=FP FP=MN FM=PN 8 分QMHPNFDACBE
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