1、第 1 页，共 14 页四川省南充市 2019 届高三第二次诊断考试数学文试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则 =|=2,=|=2+1, ( )A. B. C. D. = =【答案】D【解析】解：P 表示偶数集，Q 表示奇数集；=故选：D可看出，集合 P 表示偶数集，Q 表示奇数集，从而得出 =考查描述法的定义，以及交集、空集的定义2. 复数 等于 21 ( )A. B. C. D. 1+ 1 1+ 1【答案】A【解析】解：原式 =2(1+)(1)(1+)=1+故选：A利用复数的运算法则即可得出熟练掌握复数的运算法则是解题的关键3. 如图是
2、 2012 年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ( )A. 84， B. 84， C. 85， D. 85，44.84 1.6 1.6【答案】C【解析】解：去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后的数据为 84，84，86，84，87，共 5 个数据所以平均数为 15(843+86+87)=85方差为 153(8485)2+(8685)2+(8785)2=85=1.6故选：C利用平均数和方差的公式分别计算即可本题主要考查茎叶图是应用以及平均数和方差的公式，要求熟练掌握相应的公式4. 已知 是定义
3、在 R 上的奇函数，当 时， ，则 () 0 ()=(1+) (1)=( )第 2 页，共 14 页A. B. C. 0 D. 22 1【答案】A【解析】解： 是定义在 R 上的奇函数，()，(1)=(1)=2故选：A根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键5. 在等比数列 中， ，则 26=23 (243)=( )A. B. C. D. 12 12 32 32【答案】C【解析】解：在等比数列 中， ， 26=23可得 ，24=26=23则 ，(243)=3=32故选：C运用等比数列的性质和特殊角的正弦函数值，可得所求值本题考查
4、等比数列的性质，以及三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题6. P 是双曲线 的右支上一点 ， 分别为双曲线的左右焦点，则2324=1 1 2的内切圆的圆心横坐标为 12 ( )A. B. 2 C. D. 33 7【答案】A【解析】解：如图所示：、 ，1(7,0)2(7,0)设内切圆与 x 轴的切点是点 H， 、 与内1 2切圆的切点分别为 M、N，由双曲线的定义可得 ， |1|2|=2=23由圆的切线长定理知， ，故|=|，|1|2|=23即 ，|1|2|=23设内切圆的圆心横坐标为 x，则点 H 的横坐标为x，故 ， (+7)(7)=23 =3故选：A第 3 页，共 14 页根据题意，利
5、用切线长定理，再利用双曲线的定义，把 ，转化为|1|2|=23，从而求得点 H 的横坐标|1|2|=23本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键7. 已知函数 在 处取得最小值，则 ()=(+)(0,0)=6 ( )A. 一定是奇函数 B. 一定是偶函数(+6) (+6)C. 一定是奇函数 D. 一定是偶函数(6) (6)【答案】B【解析】解：函数 在 处取得最小值，()=(+)(0,0)=6即函数 关于直线 对称，() =6将函数 的图象向左平移 个单位后其图象关于直线 对称，()6 =0即将函数 的图象向左平移 个单位后其图象
6、对应的函数 为偶函数，()6 (+6)故选项 B 正确，故选：B由三角函数图象的性质得：函数 在 处取得最小()=(+)(0,0)=6值，即函数 关于直线 对称，() =6由三角函数图象的平移变换得：将函数 的图象向左平移 个单位后其图象关于直线()6对称，即函数 为偶函数，得解=0 (+6)本题考查了三角函数图象的平移变换及三角函数图象的性质，属中档题8. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数 x 的取值范围 14, 12 是 ( )第 4 页，共 14 页A. B. C. D. (,2 2,1 1,2 2,+)【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程
7、图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 的函数值()=2,2,22,(,2)(2,+)又 输出的函数值在区间 内， 14, 12 故选：B2,1分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 的函数值 根据函数的解析式，结合()=2,2,22,(,2)(2,+) .输出的函数值在区间 内，即可得到答案 14, 12 本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键9. 已知 m，n 为异面直线， 平面 ， 平面 直线 l 满足 ， ， ， . ，则 ( )A. 且 B. 且/ C. 与 相交，且交线垂直于 l D
8、. 与 相交，且交线平行于 l 【答案】D【解析】解：由 平面 ，直线 l 满足 ，且 ，所以 ， /又 平面 ， ， ，所以 /由直线 m，n 为异面直线，且 平面 ， 平面 ，则 与 相交，否则，若 则 /推出 ，/与 m，n 异面矛盾故 与 相交，且交线平行于 l 故选：D由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确第 5 页，共 14 页的结论本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题10. 椭圆的焦点为 ， ，过 的最短弦 PQ 的长为 10， 的周长为
9、36，则此1 2 1 2椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. 33 13 23 63【答案】C【解析】解：设椭圆方程为 ，22+22=1的周长为 36，2，2+2+=36=4解得 ，=9过 的最短弦 PQ 的长为 10 1，2=2=12(3610)=13在直角三角形 中，根据勾股定理得，12，2=2221=13252=12，=6故选：C=69=23根据三角形的周长求出 a 的值，再根据勾股定理求出 c 的值，最后根据离心率公式计算即可本题考查了椭圆方程的定义和离心率的计算，属于基础题11. 如图，原点 O 是 内一点，顶点 A 在 x 上， ， ， ，=150 =90|=2 |=1，若
10、 ，则 |=3 =+=( )第 6 页，共 14 页A. 33B. 33C. 3D. 3【答案】D【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则 ，(2,0)，(32,12)，(12,32)因为 ，=+由向量相等的坐标表示可得：，232=122=32 解得： ，=1=3即 ，=3故选：D先建立平面直角坐标得： ， ， ，(2,0)(32,12) (12,32)再利用向量相等的坐标表示得： ，解得： ，即 ，得解232=122=32 =1=3 =3本题考查了向量的坐标运算及向量相等的坐标表示，属中档题12. 定义在 R 上的函数 满足 ， 若关()(+4)=()()=2+1, 11|2|+1, 109
11、+3(8)+15025+5(8)+15031 16综上可得 ，161.值范围本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知变量 x，y 满足 ，则 的最大值为_202+300 =+5【答案】8【解析】解：由约束条件 作出202+300 可行域如图，联立 ，解得 ，2=02+3=0 (1,2)化目标函数 为 ，=+5 =+5由图可知，当直线 过点 时，=+5 (1,2)直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 8故答案为：8由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结
12、合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14. 设等差数列 满足： ， 则 _ 1+2=7 13=6.5=【答案】14【解析】解： 等差数列 满足： ， 1+2=7 13=6， 1+1+=7112=6解得 ， ，1=2 =35=1+4=2+43=14故答案为：14第 8 页，共 14 页利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出 5本题考查等差数列的第 5 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15. 直线 是曲线 的一条切线，则实数 b 的值为_=12+ =【答案】 21
13、【解析】解：设切点为 ，(,)则 ， ，=12+的导数为 ，= =1即有 ，1=12解得 ， ， =2 =2=21故答案为： 21设切点为 ，分别代入切线的方程和曲线方程，求出曲线表示函数的导数，可得(,)切线的斜率，再由切线方程，可得 m，n，b本题考查导数的运用：求切线的斜率，设出切点、求出导数和运用切线方程是解题的关键，属于基础题16. 设点 P 是函数 图象上任意一点，点 ，则 的=4(1)2 (2,3)() |最小值为_【答案】 52【解析】解：由函数 ，得=4(1)2， ，(1)2+2=4 (0)对应的曲线为圆心在 ，半径为 2 的圆的下(1,0)部分，点 ， (2,3)， ，消去
14、 a 得 ，=2=3 26=0即 在直线 上，(2,3) 26=0过圆心 C 作直线的垂线，垂足为 A，则 |=|2=|106|1+42=52故答案为： 52将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）第 9 页，共 14 页17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， 已知 ， ， . =45 =10=255求 a；(1)设 D 为 AB 边的中点，求 CD 的长(2)【答案】解： 由题意得： ， ， ，(1) =255 2+2
15、=1 00) =2+2455求抛物线 C 的方程；(1)若 O 为坐标原点， ，是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与抛物(2) (1,2) 线 C 有公共点，且直线 OA 与 的距离等于 ？若存在，求出直线的方程；若不存55在说明理由第 12 页，共 14 页【答案】解： 抛物线的焦点为 ， ，得 ， 舍去 ；(1) (2,0)=|+2|5=455 =2 =6( )抛物线 C 的方程为 分 2=4(4)假设存在符合题意的直线 其方程为(2) =2+由 得=2+2=4 2+22=0直线 与抛物线 C 有公共点， =4+80解得 12此外，由直线 OA 与 的距离 可得1=55 |5=15
16、解得 =12因为 112,+),112,+)所以符合题意的直线 存在，其方程为 分2+1=0(12)【解析】 抛物线的焦点为 ，焦点到直线 l： 的距离，求解 p；得到抛(1) (2,0) =2+2物线方程假设存在符合题意的直线 其方程为 ，由 得 ，(2) =2+ =2+2=4 2+22=0然后转化求解即可本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力21. 已知函数 ， ，其中 e 为自然对数的底数()=(),0)求 的单调区间和极值；(1)()求证： (2) ()+() 12【答案】解： ；令 ，得(1)()=()()=11 ()=0 =1时， ， 单调递减0 ()
17、单调递减区间是 ，单调递增区间是() ,1) (1,0)有极小值，极小值是 ，() (1)=1由 知， 的最小值为 令(2)(1) () (1)=1.()=12()所以 ，当 时， ，()=1()2 ,0)所以 在 上单调递减； 的最大值为 ，(),0) () ()=12+1当 时， 恒成立()()=1 ()+() 12第 13 页，共 14 页【解析】 由 是确定的 对 求导，由导函数的正负可以得到原函数的极值与单(1)() . ()调区间构造新的函数 ，通过对 求导，得到 的单调区间，从而求出 的最大(2) () () () ()值，进而得到要证明的问题本题考查了函数的单调性，最值问题，考
18、查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 为参数 ，在以 O 为极点，x 轴： =2+1=2+1( )的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： +=若 ，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；(1)=0若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围(2)22【答案】解： 曲线 为参数 ，(1)： =2+1=2+1( )曲线 C 的直角坐标方程为： ，是一个圆；圆心 ，半径为：(1)2+(1)2=2 (1,1)2直线 l： ，可得直线 l 的直角坐标方程为：+=0 +=0圆心 C 到直线 l 的距离 ，所以直线 l 与圆
19、 C 相切 分=|1+1|12+12=2= (5)由已知曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 ，可得：圆心 C 到直线 l：(2)22的距离的最大值为： ；+= 2+22=322所以： ，=|1+1|12+12322解得 分15(10)【解析】 求出曲线 C 的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与(1)半径比较，即可得到结果利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果(2)本题考查直线的参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力23. 已知函数 的最小值为 a()=|4|+|()求实数 a 的值；(1)解不等式 (2) ()5【答案】解： ，(1)()=|4|+|4|=从而解得 分=2(5)由 知，(2)(1)，()=|4|+|2|=2+6,22,2426,4时， ，解得： ，2 2+65 12第 14 页，共 14 页时， ，符合题意，24 25时， ，解得： ，4 265 112故不等式的解集为 分|12112(10)【解析】 根据绝对值的几何意义求出 的最小值，从而求出 a 的值即可； 求出(1) () (2)的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可()本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分段函数问题，是一道基础题
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