2019年北京中考数学习题精选：课题研究

1、1 （2018 北京燕山地区一模）在 RtABC 中, ACB =90,CD 是 AB 边的中线，DEBC于 E, 连结 CD，点 P 在射线 CB 上（ 与 B，C 不重合） （1）如果A=30如图 1，DCB= 如图 2，点 P 在线段 CB 上，连结 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF,连结 BF，补全图 2 猜想 CP、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；( 2 )如图 3，若点 P 在线段 CB 的延长线上，且A= （00, 01y2x = 6 分 .8 分12+10.（2018 北京大兴第一学期期末）如图，AB = 6cm，CAB = 25，P 是线段

2、 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交射线 AC 于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点N设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，N 两点间的距离为 ycm （当点 P 与点 A 或点 B 重合时， y 的值均为 0）小海根据 学习函数的经验，对函数 y 随自 变量 x 的变化而变化的规律进 行了探究下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00y/cm 0.00 0.29 0.47 0

3、.70 1.20 1.27 1.37 1.36 1.30 1.00 0.49 0.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时 ， 与 之 对 应 的 值 的 个 数 是 .x答案：25. 解：（1） （答案不唯一）1 分0.91（2）4 分（3）两 个 . 5 分11.（2018 北京怀柔区第一学期期末）如图，在 四边形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，点 E 是 BC 边上一动点，联结 AE，过点 E 作 AE 的垂线交直线 CD 于点 F.已知A

4、D=4cm，CD=2cm，BC=5cm ，设 BE 的长为 x cm，CF 的长为 y cm.小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y/cm 2.5 1.1 0 0.9 1.5 1.9 2 1.9 0.9 0(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题: 当 BE=CF 时，B

5、E 的长度约为 cm.答案：25.解：(1)1.5 1 分(2)如图4 分(3)0.7(0.60.8 均可以) .5 分12.（2018 北京平谷区第一学期期末）如图，点 C 是以 AB 为直径的O 上一动点，过点 C作O 直径 CD，过点 B 作 BECD 于点 E已知 AB=6cm，设弦 AC 的长为 xcm，B，E 两点间的距离为 ycm（当点 C 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0） DECO BA小冬根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小冬的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x

6、/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 0 1 1.9 2.6 3 m 0经测量 m 的值是 （保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线 相交时（原点除外） ，BAC 的度12yx数是 解：（1）m=2.76 ； .1（2）如图；4（3）如图 5BAC =30 .613.（2018 北京顺义区初三上学期期末）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为 1） ，使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长（1）如图 1，已知等腰

7、直角三角形纸片ABC，ACB=90 ，AC=BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则 AB= ；（2）如图 2，已知直角三角形纸片DEF ，DEF=90，EF=2DE，求出 DF 的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点 E 的横线与 DF 相交于点 G，直接写出 EG 的长答案：27 （1）AB= ； .2 分26（2）解：过点 E 作横线的垂线，交 l1，l 2 于点M，N， .3 分DME=EDF= 90，DEF=90，2+3=90， 1+3=90，1=2， DMEENF ， .4 分 ，DMENFEF=2DE， ，12ME=2，EN=3，NF=4，DM=1.5，根

8、据勾股定理得 DE=2.5，EF=5 ， .5 分52DF（3）EG=2.5 .7 分14.（2018 北京通州区第一学期期末）如图 1，在矩形 中，点 为 边中点，点ABCDEA为 边中点；点 ， 为 边三等分点， ， 为 边三等分点 .小瑞分别用不FBCGHABIJ同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示.那么，图 2 中四边形 的面积与图GKLH3 中四边形 的面积相等吗？KPOL（1）小瑞的探究过程如下在图 2 中，小瑞发现， ；ABCDGKLHSS_在图 3 中，小瑞对四边形 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整：PO设 ，aSDEP bA FC ，且相似比为 ，得到

9、 DAKEP 2:1aSDAK4 BIG ，且相似比为 ，得到 M 3:bABM9又 ，ABCDDAGSbaS614 CDABFSab419 aBC432 ， ， ba_bSABCD_bSKPOL_ ，则 （填写“ ”， “ ”或“ ” ）KPOLSGH（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 对边上的点.则 .ABCDABCDANMLSS_答案：15.（2018 北京东城区二模）小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为 4 平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整： 建立函数模型

10、： 设矩形小花园的一边长为 米，篱笆长为 米.则 关xy于 的函数表达式为 ; x列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了 与 的几组值，如下表：xy描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，xOy根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当 = 时， 有最小值. xy由此，小强确定篱笆长至少为 米.答案. 解： ；-1 分 42yx； -3 分810，如图； -4 分 . -5 分2，16.（2018 北京房山区二模）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质3126yx小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进

11、行了探究.3126yx下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数 的自变量 x 的取值范围是 ;3126yx(2) 下表是 y 与 x 的几组对应值x 4 3.5 3 2 1 0 1 2 3 3.5 4 y 837 8 6 8m 7 8 则 m 的值为 ；(3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质 答案. （1）任意实数； 1（2） ； 32（3）略 4（4）答案不唯一 617.（ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：收费

12、项目 收费标准3 公里以内收费 13 元基本单价 2.3 元/公里 备注：出租车计价段里程精确到 500 米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。小明首先简化模型，从简单情形开始研究：只考虑白天正常行驶（无低速和等候） ；行驶路程 3 公里以上时，计价器每 500 米计价 1 次，且每 1 公里中前 500 米计价 1.2 元，后 500 米计价 1.1 元.下面是小明的探究过程，请补充完整：记一次运营出租车行驶的里程数为 （单位：公里） ，相应的实付车费为 （单位：x y元）.（1）下表是 y 随 x 的变化情况行驶里程数 x 0 0x 3.5 3.5x4 4 x4.5 4.5x 5

13、 5 x5.5 实付车费 y 0 13 14 15 （2）在平面直角坐标系 中，画出当 时 随 变化的函数图象；Oy05.yyx24211815129636 54321O（3）一次运营行驶 公里（ ）的平均单价记为 （单位：元/ 公里） ，其中 .x0wywx当 和 时，平均单价依次为 ，则 的大小关系是,.4x35123,123,_；（用“”连接）若一次运营行驶 公里的平均单价 不大于行驶任意 （ ）公里的平均单价 ，xwsxsw则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中 轴上表示出 （不包括端点）之间x34:的幸运里程数 的取值范围. yx24211815129636 54321O答案（

14、1） 行驶里程数 x 0 0x 3.5 3.5x4 4 x4.5 4.5x 5 5 x5.5 实付车费 y 0 13 14 15 17 18 （2）如图所示：（3） ； 231w如上图所示. 18、 （ 2018 北 京 海 淀 区 二 模 ） 在平面直角坐标系 中，已知点 ，xOy(3,1)A， ，其中 ，以点 为顶点的平行四边形 有三个，记第四个顶(,)B(,)Cmn1,ABC点分别为 ，如图所示.123D（1）若 ，则点 的坐标分别是（ ） ， （ ） ， （ ） ；,123,D（2）是否存在点 ，使得点 在同一条抛物线上？若C,AB存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 答案 26

15、解：（1） （-3，3） ， （1，3） ， （-3，-1） 1D2D（2）不存在. 理由如下： OyxD3D1 D2BAC假设满足条件的 C 点存在，即 A，B， ， ， 在同一条抛物线上，则线段1D23AB 的垂直平分线 即为这条抛物线的对称轴，而 ， 在直线 上，2x12Dyn则 的中点 C 也在抛物线对称轴上，故 ，即点 C 的坐标为（-2，n）. 1D2 m由题意得： （-4，n） ， （0，n） ， （-2， ）.123注意到 在抛物线的对称轴上，故 为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是3.2yax当 时， ，代入得 .1y1an所以 .2n令 ，得 ，解得 ，与 矛盾.0x431

16、n所以 不存在满足条件的 C 点. 19.（2018 北京延庆区八年级第一学区期末）如图 1，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，若 AB=AC+CD，那么ACB 与ABC 有 怎样的数量关系呢？ 图 1 图 2 图 3（1）通过观察、实验提出猜想:ACB 与ABC 的数量关系，用等式表示为： （2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1:如图 2，延长 AC 到 F，使 CF=CD，连接 DF通过三角形全等、三角形的性质等知 识进行推理，就可以得到ACB 与ABC 的数量关系想法 2：在 AB 上取一点 E，使 AE=AC，连接 ED，通过三角形全等

17、、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到ACB 与ABC 的数量关系请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中ACB 与ABC 的数量关系（一种方法即可）.解：（1）ACB=2ABC1 分（2）想法 1 AD 是BAC 的平分线EDAB CFDAB CDAB C BAC= CAB 2 分 AF=AC+CF，且 CD=CFAF=AC+CD 又AB=AC+CDAB=AF 3 分 又AD=ADABDAFD 4 分B=F 5 分CD=CFF=CDF 6 分又ACBF+CDFACB2F 7 分ACB2B 8 分解：想法 2 AD 是BAC 的平分线 BAC= CAB 2 分又AC=AE,AD=ADAEDACD 3 分ED=CD，CAED 4 分 又AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=ACCD=BE 5 分DE=BE 6 分B=EDB 7 分又AEDB+EDBAED2B 又CAEDC2B 8 分EDAB C