1、精选大题2019江西联考已知函数 ， 2ln1fxaxaR（1）若 ，且曲线 在 处的切线 过原点，求 的值及直线 的方程；ayftltl（2）若函数 在 上有零点，求实数 的取值范围fx1,ea【答案】 （1） ， ；（2） 2t3ln0xy2e1,【解析】 （1）若 ，则 ，所以 ，a2lnflnfxx因为 的图象在 处的切线 过原点，fxxtl所以直线 的斜率 ，即 ，lftkft 221lnlttt整理得 ，因为 ，所以 ， ，120t3k所以直线 的方程为 l3ln0xy（2）函数 在 上有零点，即方程 在 上有实根，fx1,e2ln10xa,e即方程 在 上有实根ln0a,设 ，则
2、 ，1lhxx221xaahx当 ，即 ， 时， ， 在 上单调递增，1a0a,e0h,e若 在 上有实根，则 ，即 ，所以 hx,e1 h2 1ea2a当 ，即 时， 时， ， 单调递减，1a0ea,x0hxhx时， ， 单调递增，,exhx函数与导数：零点（方程的解）的判断大题精做十四所以 ，由 ，可得 ，min12ln1hxaa1ea0ln1a所以 ， 在 上没有实根0hx,e当 ，即 ， 时， ， 在 上单调递减，1ea1a,0hxx1,e若 在 上有实根，则 ，即 ，解得 0hx, e2 ea21a因为 ，所以 时， 在 上有实根2e121a0hx1,综上可得实数 的取值范围是 2e
3、,模拟精做12019宁夏联考已知函数 22exfa（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2ay0,f（2）当 时，讨论函数 的零点个数0fx22019肇庆统测已知函数 2lnfxax（1）讨论 的单调性；fx（2）若 有两个零点，求 的取值范围f a32019济南期末已知函数 21eexxfa（1）讨论 的单调性；fx（2）若 有两个零点，求 的取值范围f a答案与解析1 【答案】 （1） ；（2）见解析3y【解析】 （1）因为 ，所以 ，e4xf0240f又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 023fyf, 3y（2） ，2eexxxfaa当 时， ，无零点；0axf当 时，由 ，得 0
4、ln2当 时， ；,ln2axfx当 时， ，所以 l,0f2min3lln4aafxf，当 时， ；当 时， ， 22exfax0fx0fx所以当 ，即 时，函数 有两个零点；23ln04342eafx所以当 ，即 时，函数 有一个零点；2la34f当 ，即 时，函数 没有零点23ln04a342eafx综上，当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有一个零点；34efx342eafx当 时，函数 没有零点02af2 【答案】 （1）见解析；（2） 0,1【解析】 （1） ，2120axfxax若 ， ， 在 上单调递减；0af0,若 ，当 时， ，即 在 上单调递减，1,xafxfx10,
5、a当 时， ，即 在 上单调递增,0ff,（2）若 ， 在 上单调递减， 至多一个零点，不符合题意0afx,fx若 ，由（1）可知， 的最小值为 ，f1ln1fa令 ， ，所以 在 上单调递增，lnha210hah0,又 ，当 时， ， 至多一个零点，不符合题意，100,fx当 时， ，ha,1又因为 ，结合单调性可知 在 有一个零点，20eeaffx1e,a令 ， ，lngx1xgx当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，0,1,gx的最小值为 ，所以 ，gx10glnx当 时， ，3a222l 330fxaaxaxa结合单调性可知 在 有一个零点，fx3,a综上所述，若 有两个零点， 的范
6、围是 f 0,13 【答案】 （1）见解析；（2） 1,2【解析】 （1） ，2 eeexxxxfaa （）若 ，0a当 时， ， 为减函数；,x0fxfx当 时， ， 为增函数，0,ff当 时，令 ，则 ， ；a0fx1x2lna（）若 ， ， 恒成立， 在 上为增函数；12ffx,（）若 ， ，0a1x当 时， ， 为增函数；,lnx0ffx当 时， ， 为减函数；l,0afxf当 时， ， 为增函数，,x0ffx（）若 ， ，1a2x当 时， ， 为增函数；,0x0ffx当 时， ， 为减函数；,lnafxf当 ， ， 为增函数；l,x0ff综上所述：当 ， 在 上为减函数，afx,在
7、上为增函数；fx0,当 时， 在 上为增函数；1afx,当 时， 在 上为增函数，01afx,lna在 上为减函数， 在 上为增函数；fxln, fx0,当 时， 在 上为增函数，1afx,0在 上为减函数， 在 上为增函数fx0,lnfxln,a（2） （）当 时， ，令 ， ，a211eexxf0fxln2此时 1 个零点，不合题意；（）当 时，由（1）可知，0a在 上为减函数， 在 上为增函数，fx,fx0,因为 有两个零点，必有 ，即 ，f 12fa12a注意到 ，21e1ee0fa所以，当 时， 有 1 个零点；0,xfx当 时， ，e1e12x xfaaaa取 ，则 ，01x0f所以当 时， 有 1 个零点；0,fx所以当 时， 有 2 个零点，符合题意；12a（）当 时， 在 上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；fx,（）当 时， 在 上为增函数，01af,lna在 上为减函数， 在 上为增函数；fxln, fx0,，2lnln2111leelnl2aaf aa因为 ，所以 ，l0l0f此时， 最多有 1 个零点，不合题意；fx（）当 时， 在 上为增函数，afx,0在 上为减函数； 在 上为增函数，fx0,lnfln,a因为 ，11022fa此时， 最多有 1 个零点，不合题意；fx综上所述，若 有两个零点，则 的取值范围是 f a1,02
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