1、勾股定理 单元培优练习题一选择题1下列命题中，是假命题的是（ ）A有一个内角等于 60的等腰三角形是等边三角形B在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半C在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和D三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B1，1， C6，8，11 D5，12，233如图，在 ABC 中， ACB90， AC8， AB10， CD AB 于 D，则 CD 的长是（ ）A6 B C D4有一个三角形两边长为 4 和 5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ）A3 B C3 或 D以上都不对5如图是我国古代著名的“
2、赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE5， BE12，则 EF 的长是（ ）A7 B8 C7 D76在下列各组数中，是勾股数的是（ ）A1、2、3 B2、3、4 C3、4、5 D4、5、67在同一平面上把三边 BC3， AC4， AB5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到 ABC，则 CC的长等于（ ）A B C D8如图， ABC 的顶点 A， B， C 在边长为 1 的正方形网格的格点上， BD AC 于点 D，则 BD 的长为（ ）A B C D9 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形
3、和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ）A9 B6 C4 D310从电线杆离地面 8 米处拉一根长为 10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（ ）mA2 B4 C6 D811如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高 8cm，玻璃棒被水淹没部分长 10cm，这只烧杯的直径约是（ ）A9 cm B8 cm C7 cm D6 cm12若 ABC 的三边 a、 b、 c 满足（ a b） 2+|a2+b2 c2|0，则 ABC 是（ ）A 等腰三
4、角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形二填空题13直角三角形两条边的长度分别为 3cm，4 cm，那么第三条边的长度是 cm14若 ABC 得三边 a， b， c 满足（ a b） （ a2+b2 c2）0，则 ABC 的形状为 15已知 a， b 是互质的正整数，且 a+b，3 a， a+4b 恰为一直角三角形的三条边长，则 a+b 的值等于 16如图，在 Rt ABC 中， A90， AB AC4 ，点 D 为 AC 的中点，点 E 在边 BC 上，且 ED BD，则 CDE 的面积是 17将勾股数 3，4，5 扩大 2 倍，3 倍，4 倍，可以得到勾股数6，8，10；9
5、，12，15；12，16，20；，则我们把 3，4，5 这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， 18将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若 AB20 cm，则阴影部分的面积是 cm219三角形的三边长 a， b， c 满足 2ab（ a+b） 2 c2，则此三角形的形状是 三角形20若 3，4， a 和 5， b，13 是两组勾股数，则 a+b 的值是 21如图，小正方形边长为 1，则 ABC 中 AC 边上的高等于 22如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD，中间阴影部分是一个小正方形 EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图” 若 AB5， AE4，则正方形
6、 EFGH 的面积为 三解答题23在 ABC 中， ACB90， AC5， AB BC+1，求 Rt ABC 的面积24如图，在 ABD 中， D90， C 是 BD 上一点，已知 BC9， AB17， AC10，求 AD 的长25操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为 a、 b、 c（如图） ，分别用 4 张这样的直角三角形纸片拼成如图的形状，图中的两个小正方形的面积 S2、 S3与图中小正方形的面积S1有什么关系？你能得到 a、 b、 c 之间有什么关系？26观察下表 列 举 猜 想3、4、5 324+55、12、13 5212+137、24、25 7224+25 13
7、、 b、 c 132 b+c请你结合该表格及相关知识，求出 b， c 的值，并验证 13， b， c 是否是勾股数？27如图（1） ，是两个全等的直角三角形（直角边分别为 a， b，斜边为 c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明： a2+b2 c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当 a2， b4 时，求这个四边形的周长参考答案一选择题1解： A、等腰三角形底角相等，若底角为 60，则顶 角为 180606060，若顶角为 60，则底角为 60，所以有一个角为 60的等腰三角形即为等边三角形，故 A 选项正确；B、直角三角形中
8、斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合，故 B 选项错误；C、在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故C 选项正确；D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成 3 对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角形全等，即过角平分线作的高线相等，故 D 选项正确；即 B 选项中命题为假命题，故选： B2解： A、4 2+526 2，不能构成直角三角形，故 A 错误；B、1 2+12 ，能构成直角三角形，故 B 正确；C、6 2+8211 2，不能构成直角三角形，故 C 错误；D、5 2+12223 2，不能
9、构成直角三角形，故 D 错误故选： B3解： ACB90， AC8， AB10， BC 6， ABC 的面积 ABCD ACBC，即 10CD 86，解得， CD ，故选： C4解：当长为 4 和 5 的两边都是直角边时，斜边是： ；当长是 5 的边是斜边时，第三边是： 3第三边长是： 或 3故选： C5解： AE5， BE12，即 12 和 5 为两条直角边长时，小正方形的边长1257， EF ；故选： C6解： A、1 2+2253 2，不是勾股数，故本选项不符合题意B、2 2+32134 2，不是勾股数，故本选项不符合题意C、3 2+425 2，是勾股数，故本选 项符合题意D、4 2+5
10、2416 2，不是勾股数，故本选项不符合题意故选： C7解：如图所示，连接 CC，根据对称的性质可知 CC AB，且 CC2 CE， ACBC ABCE， CE ， CC2 CE 故选： D8解：如图所示：S ABC BCAE BDAC， AE4， AC 5， BC4即 44 5BD，解得： BD 故选： C9解：由题意可知：中间小正方形的边长为： a b，每一 个直角三角形的面积为： ab 84，4 ab+（ a b） 225，（ a b） 225169， a b3，故选： D10解：由题意得，在 Rt ABC 中， AC8， AB10，所以 BC 6故选： C11解：由题意，可得这只烧杯的
11、直径是： 6（ cm） 故选： D12解：（ a b） 2+|a2+b2 c2| 0， a b0， a2+b2 c20，解得： a b， a2+b2 c2， ABC 的形状为等腰直角三角形；故选： C二填空题（共 10 小题）13解：当这个直角三角形的两直角边分别为 3cm，4 cm 时，则该三角形的斜边的长为： 5（ cm） 当这个直角三角形的一条直角边为 3cm，斜边为 4cm 时，则该三角形的另一条直角边的长为： （ cm） 故答案为 ：5 或 14解：（ a b） （ a2+b2 c2）0， a b 或 a2+b2 c2当只有 a b 成立时，是等腰三角形当只有第二个条件成立时：是直角
12、三角形当两个条件都成立时：是等腰直角三角形15解：在直角三角形中， （1）若 a+4b 为斜边，则（ a+4b） 2（ a+b） 2+9a29 a26 ab15 b20， （ a+b） （3 a5 b）0 a+b0，且 a， b 互质， a5， b3三条边长分别为 8，15，17， a+b8（2）若 3a 为斜边，则 9a2（ a+b） 2+（ a+4b） 2，7 a210 ab17 b20，（ a+b） （7 a17 b）0 a+b0，7 a17 b， a， b 互质， a17， b7三条边长分别为 24，45，51， a+b24综上得 a+b8或 a+b2416解：点 D 为 AC 的中点
13、故 AD DC AC2 ，S ABD S BDC S ABC12，由勾股定理得 BC 4 ，过 D 点作 DF 垂直于 BC 于 F 点，DF ，BD2 AD2+AB212+4860，BD2 ，由勾股定理得 BF 3 ，由射影定理得 BD2 BFBE， BE CE BC BE4 ，S CDE CEDF 2故答案为：217解：符合 a2+b2 c2即可，例如 5，12，13；8，15，17；9，40，41 （答案不唯一）18解： B30， ACB90， AB20 cm， AC10 cm AED ACB90， BC ED， AFC ADE45， AC CF10 cm故 S ACF 101050（
14、cm2） 故答案为 5019解：2 ab（ a+b） 2 c2，2 ab a2+2ab+b2 c2， a2+b2 c2，三角形的三边长 a， b， c 满足 2ab（ a+b） 2 c2，此三角形是直角三角形，故答案为：直角20解：3，4， a 和 5， b，13 是两组勾股数， a5， b12， a+b17，故答案为：1721解：过 B 作 BG AC，交 AC 于点 G，在 Rt ACF 中， AF2， CF1，根据勾股定理得： AC ， S ABC S 正方形 AFED S BCE S ABD S ACF4 112 21 ，S ABC ACBG， BG ，则 BG 故答案为：22解：直角
15、三角形直角边的较短边为 3，正方形 EFGH 的面积55432425241故答案为：1三解答题（共 5 小题）23解：如图所示：设 AB x，则 BC x1，故在 Rt ACB 中，AB2 AC2+BC2，故 x25 2+（ x1） 2，解得； x13，即 AB13 BC12， S ABC AC BC 5123024解：设 CD x，则 BD BC+CD9+ x在 ACD 中， D90， AD2 AC2 CD2，在 ABD 中， D90， AD2 AB2 BD2， AC2 CD2 AB2 BD2，即 102 x217 2（9+ x） 2，解得 x6， AD210 26 264， AD8故 AD 的长为 825解：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图 2、图 3 的形状，观察图 2、图 3 可发现，图 2 中的两个小正方形的面积之和等于图 3 中的小正方形的面积，即 S2+S3 S1，这个结论用关系式可表示为 a2+b2 c226解：根据图表，由图可得规律： ，解得 所以 b84； c8513 2+8427225，85 27225，13，84，85 是勾股数27解（1）由图可得： ，整理得： ，整理得： a2+b2 c2；（2）当 a2， b4 时，根据勾股定理得： ；如图 1：则四边形的最大周长为 2b+2c
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