1、专题五 方案设计专题【考纲与命题规律】考纲要求 方案设计问题是运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析计算，证明等，确定出最佳方案的数学问题，一般涉及生产的方方面面，如：测量，购物，生产配料，汽车调配，图形拼接，所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形，概率和统计等知识.命题规律 方案设计问题应用性比较强，解题时要注重综合应用转化思想，数形结合的思想，方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.【课堂精讲】例 1.手工课上,老师要求同学们将边长为 4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割 后得到的最小等腰直
2、角三角形面积(注：不同的分法,面积可以相等)来源:Z*xx*k.Com分析：（1）正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可（2）正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，O 是 AC、BD 的交点，连接 OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可（3）正方形 ABCD 中，F、H 分别是 BC、DA 的中点，O 是
3、AC、BD 的交点，连接 HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可（4）正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，O 是 AC 的中点，I 是 AO 的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求 出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可解答：根据分析，可得。(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AEH、BEF、CFG、DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(42)(42)2=222=2(cm2)(2)第二种情况下，分割后得到的
4、最小等腰直角三角形是AEO、BEO、BFO、CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(42)(42)2=222=2(cm2)(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AHO、DHO、BFO、CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(42)(42)2=222=2(cm2)(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是AEI、OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(42)(42)22=2222=1(cm2).例 2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 8 折出售，乙商场对一次购物中超过 200 元后的价格部分打 7
5、折。设 x(单位：元)表示商品原价,y(单位：元)表示购物金额。()根据题意,填写下表：(单位：元)商品价格购物金额120180200260甲商场96144 160208乙商场120180200242()分别就两家商场的让利方式，写出 y 关于 x 的函数解析式；()春节期间，当在同一商场累计购物超过 200 元时，哪家商场的实际花费少?分析：（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；（2）甲商场按原价直接乘以 0.8，乙商场分 0x200、x200 两种情况分别列式即可；（3）求出两家商场购物付款相同的 x 的值，然后作出判断即可解答：()120180200260甲商场961441602
6、08乙商场120180来源:Z_xx_k.Com200242()甲商场：y=0.8x(x0)；乙商场：当 0x 200 时，y=x；当 x200 时,y=200+0.7(x200)=0.7x+60；即 y=x0.7x+60 x200；()x200，由 0.8x=0.7x+60，得：x=600，当购物金额按原价大于 200 而小于 600 元时，在甲商场购物省钱；当购物金额按原价大于 600 元时，在两商场花钱一样多；当购物金额按原价大于 600 元时，在乙商场购物省钱。【课堂提升】1.如图，A. B 两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A. B 两个单位到街道的距离AC=48 米、BD=24
7、 米，A. B 两个单位的水平距离 CE=96 米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥。(1)天桥建在何处才能使由 A 到 B 的路线最短?(2)天桥建在何处才能使 A. B 到天桥的距离相等?分别在图 1、图 2 中作图说明(不必说明理由)并通过计算确定天桥的具体位置。2.为更新果树品种，某果园计划新购进 A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45 棵，其中 A 种苗的单价为 7 元/棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量 x（棵）之间存在如图所示的函数关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种
8、苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用3.达州市凤凰小学位于北纬 21,此地一年中冬至日正午时刻,太阳光与地面的夹角最小,约为 35.5;夏至日正午时刻,太阳光的夹角最大,约为 82.5.己知该校一教学楼窗户朝南,窗高 207cm,如图(1).请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚 BCD,如图(2)，要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡。(1)在图(3)中画出设计草图；(2)求 BC、CD 的长度(结果精确到个位)(参考数据：sin35.50.58,cos35.50.81,tan35.50.71,sin8 2.50.99,cos82
9、.50.13,tan82.57.60)4某校为美化校园，计划对面积为 1800m2 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完 成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使这次的绿化总费用不超过 8 万元，至少应安排甲队工作多少天？【高效作业本】专题五 方案设计专题1在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有 平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1， a
10、（a1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出 a 的值2.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%（1）今年 A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A， B 两种型号车的进
11、货和销售价格如下表：A 型车 B 型车进货价格（元） 1100 1400销售价格（元） 今年的销售价格 20003. 某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A、 B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号销售收入来源:学#科#网 Z#X#X#K来源:学科网B 种型号第一周 3 台 5 台 1800 元第二周 4 台 10 台 3100 元（进价、售价 均保持不变，利润=销售收入进货成本）（1）求 A、 B 两种型号的电风扇的销售单价；（ 2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号的电风扇最多能采
12、购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能，请给出相 应的采购方案；若不能，请说明理由4.在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们：（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；（2）设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告 名 称 四等分圆的面积方 案 方案一 方案二 方案三选用的工具带刻度的三角板画出示意图简述设计方案作 O 两条互相 垂直的直径 AB、 CD，将 O 的面积分
13、成相等的四份指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】专题五 方案设计专题答案1.解答：(1)如图 1,平移 B 点至B,使 BB= DE,连接 AB交 CE 于 F，在此处建桥可使由 A 到 B 的路线最短；此时易知 AB BG， ACF BDG， ACCF=BDDG，设 CF=x，则 GD=96x，48 x=2496x，解得 x=64，即 CF=64 米，将天桥建在距离 C 点 64 米处，可使由 A 到 B 的路线最短；(2)如图 2,平移 B 点至 B使 BB= DE,连接 AB交 CE 于 F,作线段 AB的中垂线交CE 于 P，在此处建桥可使 A. B 到天桥的距离相等；此时
14、易知 AB BQ,另 OP 为 AB中垂线， ACF POF， PFAF=OFCF，设 CP=x，则 PF=CFx，由(1)得 CF=64， PF=64x；在 Rt ACF 中，由勾股定理得 AF=80， AC BE， CFFE=AFFB=649664=21， FB=40，又 O 为 AB中点， FO=20，64 x80=2064，解得 x=39，即 CP=39 米，将天桥建在距离 C 点 39 米处，可使由 A 到 B 的路线最短。考点：一次函数的应用, 一元一次不等式组的应用分析：（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；（2）根据所需费用为 W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用
15、，即可解答解答：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，把（20，160），（40，288）代入 y=kx+b 得：20k+b=16040k+b=288解得：k=6.4b=32y=6.4x+32（2）B 种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，x35x45-x22.5x35，设总费用为 W 元，则 W=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347，k=-0.6，y 随 x 的增大而减小，当 x=35 时，W 总费用最低，W 最低 =-0.635+347=137（元）3. 考点：解直角三角形的应用分析：（1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可；（2）首
16、先设 CD=x，则 tan35.5=BCCD，表示出 BC 的长，进而利用 tan82.5=ACCD求出 DC 的长，进而得出答案解答：(1)如图所示：(2)由题意可得出： CDB=35.5, CDA=82.5，设 CD=x,则 tan35.5=BCCD， BC=0.71x，在 Rt ACD 中，tan82.5=ACCD=207+0.71xx=7.6，解得： x30， BC=0.713021( cm)，答： BC 的长度是 21cm， CD 的长度是 30cm.4.考点： 分式方程的应用；一元一次不等式的应用分析： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据在独立完成面积为 400m
17、2区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作 x 天，根据这次的绿化总费用不超过 8 万元，列出不等式，求解即可解答： 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据题意得： =4，解得： x=50经检验 x=50 是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 502=100（ m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50 m2；（2）设至少应安排甲队工作 y 天，根据题意得：0.4y+ 0.258，解得： y10，答：至少应安排甲队工作 10 天点评： 此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验
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