1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.3 圆周角,第1课时 圆周角定理及推论,第24章 圆,学习目标,1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2. 理解圆周角与圆心角的关系，并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点） 3. 理解并掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）,问题1 什么是圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角.,问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.,复习引入,导入新课,像A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公 共点的角叫做圆周角.,一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊
2、的位置关系.,观察图中的A，它 有什么特点？,观察与思考,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判断：下列各图中的BAC是否为圆周角，并简述理由.,顶点不在圆上,顶点A不在圆上,边AC没有和圆相交,如图，连接BO，CO，得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系?,观察与思考,你能证明吗？,圆心O 在BAC 的内部,圆心O在BAC 的一边上,圆心O在BAC 的外部,下面给出猜想的证明：以O上任一点A为顶点的圆周角，按圆心O与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：,(1) 圆心O在BAC的一边上（特殊情形）,OA=OC
3、,A= C,BOC= A+ C,(2) 圆心O在BAC的内部,(3) 圆心O在BAC的外部,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,O,知识要点,A,C,B,如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C 所在直线的同侧，BAC=35.,(1) BOC= ，理由是 .； (2) BDC= ，理由是.,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,练一练,典例精析,例1 如图，AB是O的直径，C，D为圆上两点，AOC130，则D等于 ( ),A25 B30 C35 D50,解析：AOC130，AOB180，BOC50，D25. 故选A.,A,问题1 如图，
4、OB，OC都是O的半径，点A ，D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,BAC=BDC.,解：相等.理由如下：,合作探究,问题2 如图，若 A与B相等吗？,解：相等.,想一想：反过来，如果A=B，那么 成立吗？,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,圆周角定理推论1,几何语言,知识要点,完成下列填空：1= .2= .3= .5= .,如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线，,4,8,6,7,练一练,思考：如图，AC是O的直径，,则ADC = ， ABC= .,90,90,推论2：
5、半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.,例2 如图，AB为O的直径，弦CD交AB于点P，ACD = 60，ADC=70. 求APC的度数.,. O,A,D,C,P,B,解：连接BC，如图，则ACB=90，,DCB =ACBACD = 9060=30.,又BAD=DCB=30，,APC =BAD +ADC =30+70=100.,方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为 ( )A30 B45 C60 D75,解析：BD是O的直径， BCD90. CBD30， D60， AD60. 故选C.,练一
6、练,C,例3 如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. (1) 求DC的长；,B,解：AC是O的直径，, ADC=90.,在RtADC中，,(2) 若ADC的平分线交O于B，求AB、BC的长,解： AC是O的直径， ABC=90. DB平分ADC，ADB=CDB. 又ACB=ADB ，BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC， ABC为等腰直角三角形.,方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，一般考虑构造直角三角形来求解.,1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ）,当
7、堂练习,2. 已知 ABC 的三个顶点在 O 上，BAC=50，ABC=47，则AOB= ,166,3. 如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30 ，AB2，则O的半径是 .,C,A,B,O,2,4. 如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E， 若AOD=60，则DBC的度数为 .,方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.,30,5. 如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为1 的 O 的圆心 O 在格点上，则 AED 的正切值等于 .,ACB=2BAC.,证明：,6. 如图，OA，OB，OC 都是 O 的半
8、径，AOB =2BOC. 求证：ACB = 2BAC.,AOB=2BOC，,7. 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC.,又AB=AC， ABC为等腰三角形， BD=CD.,解：BD=CD. 理由如下：连接AD，如图.,O,(2) 求证： .,证明：, ABC为等腰三角形，ADBC， BAD=CAD.,O,8. 已知 O 的弦 AB 长等于 O 的半径，求此弦 AB 所对的圆周角的度数,解：分下面两种情况： 如图所示，连接OA，OB，在O上任取一点C， 连接CA
9、，CB. ABOAOB， AOB60， ACB1/2AOB30. 即弦AB所对的圆周角等于30.,如图所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D， 连接AD，OD，BD，如图. 则BAD1/2BOD，ABD1/2AOD. BADABD1/2(BODAOD)1/2AOB. AB的长等于O的半径， AOB为等边三角形， AOB60. BADABD30， ADB180(BADABD) 150， 即弦AB所对的圆周角为150. 综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30或150.,课堂小结,圆 周 角,定义,定理,推论,1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角,二者必须同时具备,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径.,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,
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