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    北师大版九年级下数学《2.4.1图形面积的最大值》课件

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    北师大版九年级下数学《2.4.1图形面积的最大值》课件

    1、2.4 二次函数的应用,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 图形面积的最大值,学习目标,1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.(难点) 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.(重点),导入新课,复习引入,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4.,解:(1)开口方向:向上;对称轴:x=2;顶点坐标:(2,-9);,(2)开口方向:向下;对称轴:x= ;顶点坐标:( , );,由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低(高)点

    2、, 当 时,二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值,想一想:如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小(大)值?,讲授新课,典例精析,例1 写出下列抛物线的最值. (1)y=x2-4x-5;,解:(1)a=10,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-9),当x=2时,y取最小值,最小值为-9;,(2)y=-x2-3x+4.,(2)a=-10,对称轴为x= ,顶点坐标为( , ),当x= 时,y取最大值,最大值为 ;,例2 已知二次函数yax24xa1的最小值为2,则a的值为( ) A3 B1 C4 D4或1,解析:二次函数yax24xa1有最小值2, a0

    3、,y最小值 2, 整理,得a23a40,解得a1或4. a0,a4.故选C.,C,引例:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小球的运动时间 t(单位:s)之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 (0t6)小球的运动时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?,可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.,小球运动的时间是 3s 时,小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的

    4、面积S最大?,问题1 矩形面积公式是什么?,典例精析,问题2 如何用l表示另一边?,问题3 面积S的函数关系式是什么?,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?,解:根据题意得,S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).,因此,当 时, S有最大值,也就是说,当l是15m时,场地的面积S最大.,变式1 如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?,x,x,60-2x,问题2 我们可以设面积为S,如何设自变量?,问题3 面积S的

    5、函数关系式是什么?,问题4 如何求自变量x的取值范围?墙长32m对此题有什么作用?,问题5 如何求最值?,最值在顶点处,即当x=15m时,S=450m2.,问题1 变式1与例1有什么不同?,Sx(602x)2x260x.,0602x32,即14x30.,设垂直于墙的边长为x m,,变式2 如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?,问题1 变式2与变式1有什么异同?,问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式?,问题3 可否试设与墙平行的一边为x米?则如何表示另一边?,设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x

    6、 m ,则,问题5 当x=30时,S取最大值,此结论是否正确?,问题6 如何求最值?,由于30 18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时,S有最大值是378.,不正确.,问题4 如何求自变量的取值范围?,0 x 18.,实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.,方法总结,知识要点,二次函数解决几何面积最值问题的方法,1.求出函数解析式和自变量的取值范围; 2.配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最

    7、大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.,例2 用某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m2),典例精析,解:7x+4y+x=15,0x1.48.,设窗户的面积是S m2, 则,因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多. 此时,窗户的面积约为4.02 m2.,例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场,现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过,需要把水面下降1 m,问此时水面

    8、宽度增加多少?,-3,(-2,-2) , (2,-2),4米,当 时, 所以,水面下降1m,水面的宽度为 m.,所以水面的宽度增加了 m.,解:建立如图所示坐标系,由抛物线经过点(2,-2),可得,所以,这条抛物线的解析式为,当水面下降1m时,水面的纵坐标为, (2,-2),设二次函数解析式为,如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场,现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过,需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?,4 m,4 m,请同学们分别求出对应的函数解析式.,O,O,解:设y=ax2+2,将(-2,0)代入得a= y= +2;,设y=a(x-2

    9、)2+2,将(0,0)代入得a= y= +2;,知识要点,解决拱桥问题的一般步骤,(1)根据题意建立适当的直角坐标系; (2)把已知条件转化为点的坐标; (3)合理设出函数解析式; (4)利用待定系数法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.,1.如图1,用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .,当堂练习,2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为 ,当水面离桥拱顶的高度DO是2m时,这时水面宽度AB为( ),A.-10m B. m C. m D. m,D,3.如图1,在ABC中, B=90 ,AB=

    10、12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过 s,四边形APQC的面积最小.,3,4. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围;,解:(1)因为矩形一边长为x,则另一边长为(6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0x6.,(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;,当x=3时,即矩形的一边长为3m时,矩

    11、形面积最大,为9m2.,这时设计费最多,为91000=9000(元),(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.,5.公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O点恰在水面中心,OA=1.25米,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不落到池外?,O,A,1.25米,O,A,解:建立如图坐标系,设抛物线顶点为B,水流落水处与x轴交于C点.由题意可知A( 0,1.25)、B( 1,

    12、2.25 )、C(x0,0).,x,y,设抛物线为y=a(x1)2+2.25 (a0),把点A坐标代入,得a= 1;,当y= 0时, x= 0.5(舍去), x=2.5,水池的半径至少要2.5米.,抛物线为y=-(x-1)2+2.25.,1.25,6.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图,板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式,解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2 .点B(6,5.6)在抛物线的图象上,5.6=36a,抛物线的表达式为,(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底

    13、边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户?,(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C,D两点,D点坐标为(k,t),已知窗户高1.6m, t=5.6(1.6)=4 ,解得k= , 即k15.07,k25.07 CD=5.07210.14(m) 设最多可安装n扇窗户, 1.5n+0.8(n1)+0.8210.14,解得n4.06 则最大的正整数为4 答:最多可安装4扇窗户.,7悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知

    14、两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图,求这条抛物线对应的函数表达式;,解:根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5), 对称轴为y轴,设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得 81.5=a4502+0.5. 解得 故所求表达式为,(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图,求这条抛物线对应的函数表达式;,(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.,解:当x=450100=350(m)时,得,当x=45050=400(m)时,得,课堂小结,几何面积最值问题,一个关键,一个注意,建立函数关系式,常见几何图形的面积公式,依 据,最值有时不在顶点处,则要利用函数的增减性来确定,(二次函数的图象和性质),实际问题,数学模型,(实物中的抛物线形问题),拱桥问题,转化的关键,建立恰当的直角坐标系,能够将实际距离准确的转化为点的坐标; 选择运算简便的方法.,


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