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    江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市2019届高三第一次调研测试数学试题含附加题(含答案解析)

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    江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市2019届高三第一次调研测试数学试题含附加题(含答案解析)

    1、南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次模拟数学 2019.2一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分1 已知集合 , ,则集合 = 13A, 01B, AB【答案】 0, ,【考点】集合的运算。【解析】并集是属于 A 或属于 B 的元素,所以, AB013, ,2 已知复数 ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 .2i31z=【答案】 5【考点】复数的概念及其运算。【解析】 ,所以,z2i3=12iz 53 某中学组织学生参加社会实践活动,高二(1 )班 50 名学生参加活动的次数统计如下:次数 2 3 4 5人数 20 15 10 5则平均每人参

    2、加活动的次数为 .【答案】3【考点】数据的平均数。【解析】平均次数为: 320315405104 如图是一个算法流程图,则输出的 b 的值为 【答案】7【考点】算法初步。【解析】第 1 步:a1,b 3;第 2 步:a5,b5;第 3 步:a21,b7,退出循环,所以,b7 。5 有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 【答案】 23【考点】古典概型。【解析】设数学、物理、化学分别为 1、2 、3,则甲、乙两位同学参加的兴趣小组可能为:(1,1 ) (1,2) 、 (1,3 ) 、 (2,1) 、 (2 ,2) 、 (2,3 ) 、(

    3、3 , 1) 、 (3,2) 、 (3,3) ,共 9 种,参加不同兴趣小组的可能有 6 种,所以,所求概率为:P 6936已知正四棱柱的底面边长是 3 cm,侧面的对角线长是 cm,则这个正四棱柱的体积为 5cm3【答案】 54【考点】棱柱的结构特征及其体积的计算。【解析】设正四棱柱的高为 h,则 ,解得:h6223(5)VSh96 54。7 若实数 满足 ,则 的最小值为 xy, 2+x y【答案】 6【考点】线性规划。【解析】原不等式化为: ,平面区域如下图所示,2+3xy目标函数 zxy 过点 A(3,3)时,取得最小值为: 68 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 的准线为 l

    4、,直线 l 与双曲线 214xy2(0)ypx的两条渐近线分别交于 A,B 两点, ,则 的值为 6【答案】 26【考点】抛物线和双曲线的性质。【解析】双曲线 214xy的两条渐近线为 ,12yx抛物线 的准线为: ,2(0)yppxA、B 两点坐标分别为( , ) , ( , ) ,2424所以,AB2 , p69 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 与曲线 相切于3yxtsincosyaxbatR, ,点 ,则 的值为 01, abt【答案】 4【考点】函数的导数及其应用。【解析】 ,切线的斜率为 k3 ,切点在直线和曲线上,有:cosinyaxb,所以, 413tbat10已知数列

    5、是等比数列,有下列四个命题:na数列 是等比数列; 数列 是等比数列; 1na数列 是等比数列; 数列 是等比数列1na 2lgna其中正确的命题有 个【答案】 3【考点】等比数列的定义、通项公式。【解析】数列 是等比数列,所以, ,na1naq对于, ,所以,数列 是等比数列,正确;11|nnqn对于, ,所以,数列 是等比数列; 21na 1na对于, ,所以,数列 是等比数列;1naqn对于, ,不是常数,所以,错误211lglnn共有 3 个命题正确。11 已知函数 是定义在 上的奇函数,且 当 时,()fxR(2)(fxf01x,则实数 a 的值为 ()f31a【答案】2【考点】函数

    6、的奇偶性,周期性。【解析】函数 是定义在 上的奇函数,所以, ,()fxR(1)(ff又因为 ,所以, ,2ff(1)ff即 ,即 ,(1)f(1)0f所以, ,解得:3fa2a12 在平面四边形 中, , 则 的最小ABCD1ADB, 32CAD, , ACD值为 【答案】 25【考点】平面向量的数量积。【解析】如图,以 A 为原点,建立平面直角坐标系,则 A(0,0) ,B(1,0) ,因为 DADB,可设 D( ,m ) ,12因为 ,AB1,可设 C(3,n) ,3BC又 所以, ,即A, 12,2(4,2)Dnm ,C2164n218418425mnn当且仅当 ,即 n1,m 时,取

    7、等号。213在平面直角坐标系 xOy 中,圆 ,圆 若存在过点 的21Oxy: 24Cxy: 0Pm,直线 l,l 被两圆截得的弦长相等,则实数 m 的取值范围是 【答案】 43,【考点】直线与圆的方程,直线截圆的弦长问题,一元二次不等式。 。【解析】直线 l 的斜率 k 不存在或 0 时均不成立,设直线 l 的方程为: ,xym圆 O(0,0 )到直线 l 的距离 ,圆 C(4,0)到直线 l 的距离 ,12|kd22|4|1kmdl 被两圆截得的弦长相等,所以, ,即 ,21d213所以, 3,化为:2221681kmk2268kmk0,得:23又 121kmd21k238m26即 ,解得

    8、:23860414 已知函数 若 ,则满()2|2|(0)fxaxa(1)2(3)ff(672)0f足 的 的值为 019f【答案】337【考点】函数的对称性,综合应用数学知识解决问题的能力。【解析】注意到: , ,又因为:()02af2a, ,3()|(0)2afxx 3()2|(0)2afxaxa因此, 0f()2af所以,函数 关于点 对称,所以, ,解得: ,)x,1672a6732019,()2673|673|fxx显然有: ,即02019x14所以, 2019,()673673f x1,解得:x3372673二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分15 (本小题满分 14 分

    9、)如图,在四棱锥 中,M,N 分别为棱 PA,PD 的中点已知侧面 PAD底面 ABCD,PABCD底面 ABCD 是矩形,DA =DP求证:(1)MN平面 PBC; (2)MD平面 PAB【证明】 (1)在四棱锥 中,M ,N 分别为PABCD棱 PA,PD 的中点,所以 MNAD2 分又底面 ABCD 是矩形,所以 BCAD 所以 MNBC 4 分又 BCPMNPBC平 面 , 平 面 ,所以 MN平面 PBC 6 分(2)因为底面 ABCD 是矩形,所以 ABAD又侧面 PAD底面 ABCD,侧面 PAD底面 ABCD=AD,AB 底面 ABCD,所以 AB侧面 PAD8 分又 MD 侧

    10、面 PAD,所以 ABMD 10 分因为 DA=DP,又 M 为 AP 的中点,从而 MD 12 分PA又 ,AB 在平面 PAB 内, ,PAB所以 MD平面 PAB14 分16 (本小题满分 14 分)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对边的长, , cos2csaBbA3o(1 )求角 的值;B(2 )若 ,求ABC 的面积6【解】 (1)在ABC 中,因为 , ,3cosA0所以 2 分26sin1A因为 ,cocsaBb由正弦定理 ,得 iniincos2incosABA所以 4 分cos若 ,则 ,与 矛盾,故 =0Bi022sics1cs0B于是 snta1co又

    11、因为 ,所以 7 分4B(2)因为 , ,6a6sin3A由(1)及正弦定理 ,得 ,isinabB623b所以 9 分 32b又 sinisinCABcos12 分63262所以 的面积为 .14 分ABC23621sin4SabC17 (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的左焦点为 ,右顶点为 ,21yxab=(0)FA上顶点为 B(1 ) 已知椭圆的离心率为 ,线段 中点的横坐标为 ,求椭圆的标准方程;12AF2(2 )已知 外接圆的圆心在直线 上,求椭圆的离心率 的值AFyx=e【解】 (1)因为椭圆 的离心率为 ,21xyab=(0)12所以 ,则 cc

    12、因为线段 中点的横坐标为 ,AF2所以 2ac=所以 ,则 , 28226bac=所以椭圆的标准方程为 4 分1xy(2 )因为 ,(0)()AaFc, , ,所以线段 的中垂线方程为: 2acx=又因为 外接圆的圆心 C 在直线 上,By所以 6 分()2acC,因为 ,0)(Ab, , ,所以线段 的中垂线方程为: B()2bayx=由 C 在线段 的中垂线上,得 ,)2cca整理得, ,10 分2()bac即 ()0因为 ,所以 12 分abc所以椭圆的离心率 14 分2eab18 (本小题满分 16 分)如图 1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形 , 的长分别为 和ABCD, 23m

    13、,上部是圆心为 的劣弧 , 4mOCD=3O(1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离;(2 )现欲以 B 点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直,AB如图 2、图 3、图 4 所示设 与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地面Bl的最大距离为 ,试用 的函数表示 ,并求出 的最大值hh【解】 (1)如图,过 作与地面垂直的直线交 于点 ,交劣弧 于点 , 的OABCD, 12O, CDP1O长即为拱门最高点到地面的距离在 中, , ,2RtC 232所以 ,圆的半径 1ROC所以 12=5OP答:拱门最高点到地面的距离为 4 分m(2 )在拱门放倒过程中,过点 作与地面

    14、垂直的直线与 “拱门外框上沿”相交于点 OP当点 在劣弧 上时,拱门上的点到地面的最大距离 等于圆 的半径长与圆心PCDhO到地面距离之和;O当点 在线段 上时,拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距离A D由(1)知,在 中, 1RtOB 213OB以 为坐标原点,直线 为 轴,建立如图所示的坐标系Blx(2.1 )当点 在劣弧 上时, PCD62由 , ,6OBx23由三角函数定义,得 ,23cos()sin()6,则 8 分ih所以当 即 时,623取得最大值 10 分h(2.2 )当点 在线段 上时, 设 ,在 中,PAD06 =CBDRtBCD,27DBC31427sinco

    15、s7,由 ,得 Bx()sin()D,所以 14 分27sin()h4sin23co又当 时, 064cos23in4cos23in06h所以 在 上递增4sin23h06,所以当 时, 取得最大值 6h5因为 ,所以 的最大值为 23523答: ;艺术拱门在放倒的过程中,拱门上的点到地4sincos0623()62h, , 面距离的最大值为( ) 16 分3m19 (本小题满分 16 分)已知函数 ()lnafxR(1 )讨论 的单调性;f(2 )设 的导函数为 ,若 有两个不相同的零点 ()fx()fx()f 12x, 求实数 的取值范围;a 证明: 12()()ln2xffxa【解】 (

    16、1) 的定义域为 ,且 0+, 2()xf(1.1 )当 时, 成立,所以 在 为增函数; 2 分a ()fx()f0+,(1.2 )当 时,0(i)当 时, ,所以 在 上为增函数;x()0fx()fxa,(ii)当 时, ,所以 在 上为减函数4 分0aff0,(2 ) 由(1 )知,当 时, 至多一个零点,不合题意; ()fx当 时, 的最小值为 ,0a()fxfa依题意知 ,解得 6 分=1ln01e一方面,由于 , , 在 为增函数,且函数 的图af()fxa, ()fx象在 上不间断1,所以 在 上有唯一的一个零点()fxa,另一方面, 因为 ,所以 10e210ea,令 ,221

    17、()lnlfaalng当 时, ,0e22110ag所以 2()lnf gea又 , 在 为减函数,且函数 的图象在 上不间断0fa(fx0, ()fx2a,所以 在 有唯一的一个零点()f,综上,实数 的取值范围是 10 分a10e, 设 121212=+aapxffxxx又 则 12 分12ln0ax, 12lnp下面证明 21a不妨设 ,由知 2x120xa要证 ,即证 1a2因为 , 在 上为减函数,20x, , ()fx0a,所以只要证 12aff又 ,即证 14 分1=0fx22affx设函数 2lnlFffxax所以 ,所以 在 为增函数.20xaF+,所以 ,所以 成立2F22

    18、affx从而 成立.1xa所以 ,即 成立. 16 分12lnlpxa12ln2xffxa20 (本小题满分 16 分)已知等差数列 满足 ,前 8 项和 na4836S(1 )求数列 的通项公式;(2 )若数列 满足 nb211(21)n nkka N, 证明: 为等比数列; 求集合 *3()=pmab, , ,【解】 (1)设等差数列 的公差为 dna因为等差数列 满足 ,前 8 项和 ,4836S所以 ,解得138762da, 1ad,所以数列 的通项公式为 3 分nn(2 ) 设数列 前 项的和为 bB由(1)及 得,2113(21)n nkka N,21113212nnkkknkba

    19、n, , 由-得 1122313132 +2nnnnnnbaba5 123211()()()2nnnnba 51+2baba121nnnB所以 ,132nnB N ,又 ,所以 ,满足上式1ba1b所以 6 分32nn当 时,2 21nnB由-得, 8 分b,1212nnbb 102nb所以 , ,n所以数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列 10 分由 ,得 ,即 3=pmab132mp3pm记 ,由得, ,nc12nacb所以 ,所以 (当且仅当 时等号成立) 12n 1n 1n由 ,得 ,3=pmab3mpc所以 12 分设 ,由 ,得 tp*tN, , 32pm32t当 时, ,不

    20、合题意;13m当 时, ,此时 符合题意;2t68当 时, ,不合题意;95当 时, ,不合题意4t13下面证明当 时, tN , 312tm不妨设 ,xf4,2ln30xf所以 在 上单调增函数,4+),所以 ,()1ff所以当 时, ,不合题意tN , 312tm综上,所求集合 16 分*()=pmabN, , , =68,21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 , ,且 ,求矩阵 =abcdM102N10

    21、42MNM【解】由题意, ,则 4 分14010因为 ,则 6 分=12N1=2所以矩阵 10 分40401MB选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 ( 为参数) 以原点 O 为极点,2xty,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是 sin()24求:(1)直线 l 的直角坐标方程;(2)直线 被曲线 C 截得的线段长【解】 (1)直线 l 的极坐标方程可化为 ,即 (sincosin)24sincos2又 ,cosixy,所以直线 l 的直角坐标方程为 4 分20xy(2)曲线 C: ( 为参数)的普通方

    22、程为 2ty, xy由 ,得 ,20x, 20x所以直线 l 与曲线 C 的交点 , 8 分1A, 24B,所以直线 被曲线 C 截得的线段长为 10 分22=1+=3C选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)已知实数 满足 ,求证: abc, , 22bc 12229114abc【证明】由柯西不等式,得2222221c+c,5 分2222119ab 所以 10 分222221199314+abcabc 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)“回文数”是指从左到右与

    23、从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个:11,22,33,99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4,其结果记为 X;从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加,其结果记为 Y(1)求 X 为“回文数”的概率; (2)设随机变量 表示 X,Y 两数中“回文数”的个数,求 的概率分布和数学期望 ()E【解】 (1)记“X 是回文数 ”为事件 A9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为:44,88,132,176,220,264 ,308,352,396其中“回文数”有:44 ,88所以,事件 A 的概率 3 分2

    24、()9P(2)根据条件知,随机变量 的所有可能取值为 0,1,2由(1)得 5 分2()9设“Y 是回文数 ”为事件 B,则事件 A,B 相互独立根据已知条件得, 2905=PC;8=011PA;25431981B8 分2502981所以,随机变量 的概率分布为0 1 2P 281438108所以,随机变量 的数学期望为 10 分27()019E23 (本小题满分 10 分)设集合 是集合 , 的子集记 中所有元素的B123nA, , , 23nnN, , , B和为 (规定: 为空集时, =0) 若 为 3 的整数倍,则称 为 的“和谐子集” SBSBnA求:(1)集合 的“和谐子集”的个数

    25、;1A(2)集合 的“和谐子集”的个数n【解】 (1)集合 的子集有: , , , , , , ,1=23, , 12312, 3, 2,23, ,其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有: , , , 312, 3, ,所以 的“和谐子集”的个数等于 43 分1A(2)记 的“和谐子集”的个数等于 ,即 有 个所有元素和为 3 的整数倍的子集;n nanAa另记 有 个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集,有 个所有元素和为 3 的整数nAb nc倍余 2 的子集由(1)知, 11=42ac, ,集合 的“和谐子集”+331321nAnnn, , , , , , , , ,有以下四类(考察

    26、新增元素 ):12, ,第一类 集合 , 的“和谐子集” ,共 个;23n, , , 31nn, , na第二类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;1na同时含两个元素 的“和谐子集” ,共 个;32n, n同时含三个元素 的“和谐子集” ,共 个;131n, , na第三类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;3nnc同时含两个元素 的“和谐子集” ,共 个;1+, n第四类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;32nnb同时含有两个元素 的“和谐子集” ,共 个,1n, nb所以集合 的“和谐子集”共有 个 +1nA142nnabc同理得 , 7 分142nnbca142nncab所以 , ,+()ab所以数列 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列n所以 同理得 =ab=nnac又 ,所以 10 分32nnc312nN,


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