1、无锡市滨湖区初三 2018-2019学年第一学期数学期中试卷一、选择题（每小题 3分，满分 30分）1已知 x1 是一元二次方程 x22 mx+10 的一个解，则 m的值是（ ）A1 B0 C0 或 1 D0 或12若 ，则 的值为（ ）A1 B C D3若关于 x的方程 x2+2x+m0 没有实数根，则实数 m的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m1 D m14在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ）A12.36 cm B13.6 cm C32.36 cm D7.64 cm5如图，在 ABC中，点 D、 E分别在
2、AB、 AC上， DE BC，若 ，则 的值为（ ）A1：2 B2：1 C1：3 D3：16如图，已知 O的半径为 5cm，弦 AB的长为 8cm， P是 AB的延长线上一点， BP2 cm，则 OP等于（ ）A cm B3 cm C cm D cm7如图，在 O中， A10， B30，则 ACB等于（ ）A15 B20 C25 D408给出下列 4个命题：圆的对称轴是直径所在的直线等弧所对的圆周角相等相等的圆周角所对的弧相等经过三个点一定可以作圆其中真命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个9某工厂生产的某种产品按质量分为 10个档次，第 1档次（最低档次）的产品一天能生产 95件
3、，每件利润 6元，每提高一个档次，每件利润增加 2元，但一天产量减少 5件若生产的产品一天的总利润为 1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A6 B8 C10 D1210如图，正方形 OABC的边长为 8， A， C分别位于 x轴、 y轴上，点 P在 AB上， CP交 OB于点 Q（ m， n） ，若 S BPQ S OQC，则 mn值为（ ）A12 B16 C18 D36二、填空题（每空 2分，共 16分）11在 1：25000000 的图上，量得福州到北京的距离为 6cm，则福州到北京的实际距离为 km12一元二次方程 x2+3x+20 的两个实根分别为 x
4、1， x2，则 x12x2+x1x22 13一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60元降至到现在 48.6元，设平均每次降价的百分率为 x，则列方程为 14已知在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为（0，4） 、 （6，4） 、 （0，1） ，则这个三角形的外接圆的圆心坐标为 15如图， C、 D是以 AB为直径的半圆上两点，且 D是 中点，若 ABD80则 CAB 16如图，在平行四边形 ABCD中，已知点 E在边 BC上， BAE DAC， AB7， AD10，则 CE 17 O的半径为 1，弦 AB ，弦 AC ，则 BAC度数为 18如图，把一块含 30角的三角板的直角顶点
5、放在反比例函数 y （ x0）的图象上的点 C处，另两个顶点分别落在原点 O和 x轴的负 半轴上的点 A处，且 CAO30，则 AC边与该函数图象的另一交点 D的坐标坐标为 三、解答题（本大题共 10小题，共 84分）19 （8 分）解方程（1） （ x1） 29；（2）2 x2+3x4020 （6 分）阅读下面的材料，解决问题：解方程 x45 x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2 y，那么 x4 y2，于是原方程可变为 y25 y+40，解得 y11， y24当 y1 时， x21， x1；当 y4 时， x24， x2；原方程有四个根： x11， x
6、21， x32， x42请参照例题，解方程 （ x2+x） 24（ x2+x）12021 （10 分）已知： ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） 、B（3，4） 、 C（2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出 ABC向下平移 4个单位长度得到的 A1B1C1，点 C1的坐标是 ；（2）以点 B为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2与 ABC位似，且位似比为2：1，点 C2的坐标是 ；（3） A2B2C2的面积是 平方单位22 （8 分）如图，在 ABC中， AD BC且 AD2 BDCD（1）求证： BAC90；（2）若
7、 BD2， AC ，求 CD的长23 （8 分）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB为 16米，拱高 CD为 4米（1）求桥拱的半径 R（2）若大雨过后，桥下水面上升到 EF的位置，且 EF的宽度为 12米，求拱顶 C到水面 EF的高度24 （8 分）如图，在长为 32m，宽为 20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽25 （8 分）请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图中作出一点 D，使得 ADB2 C；（2）在图中作出一点 E，使得 AEB C26 （8 分）如图，在矩形 ABC
8、D中， AB6， BC8，动点 P在边 AD上以每秒 2个单位的速度从 A出发，沿 AD向 D运动，同时动点 Q在边 BD上以每秒 5个单位的速度从 D出发，沿 DB向 B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动时间为 t秒（1）填空：当某一时刻 t，使得 t1 时， P、 Q两点间的距离 PQ ；（2）是否存在以 P、 D、 Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时 t的值；若不存在，请说明理由27 （10 分）如图，在 Rt ABC中， BAC90，以边 AB为直径作 O，交斜边 BC于D， E在弧 上，连接 AE、 ED、 DA，连接 AE、 ED、 DA（
9、1）求证： DAC AED；（2）若点 E是 的中点， AE与 BC交于点 F，当 BD5， CD4 时，求 DF的长28 （10 分）如图，已知点 A（1，0） ， B（0，3） ，将 AOB绕点 O逆时针旋转 90，得到 COD，设 E为 AD的中点（1）若 F为 CD上一动点，求出当 DEF与 COD相似时点 F的坐标；（2）过 E作 x轴的垂线 l，在直线 l上是否存在一点 Q，使 CQO CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1已知 x1 是一元二次方程 x22 mx+10 的一个解，则 m的值是（ ）A1 B0 C0 或 1 D0 或1【分析】本题根
10、据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解把 x1 代入方程式即可求解解：把 x1 代入方程 x22 mx+10，可得 12 m+10，得 m1，故选： A【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义把求未知系数的问题转化为方程求解的问题2若 ，则 的值为（ ）A1 B C D【分析】根据合分比性质求解解： ， 故选： D【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质3若关于 x的方程 x2+2x+m0 没有实数根，则实数 m的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m1 D m1【分析】根据判别式的意义得到2 24 m0，
11、然后解不等式即可解：根据题意得2 24 m0，解得 m1故选： C【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根的判别式 b24 ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根4在中华 经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ）A12.36 cm B13.6 cm C32.36 cm D7.64 cm【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比解：方法 1：设书的宽为 x，则有（20+
12、x）：2020： x，解得 x12.36 cm方法 2：书的宽为 200.61812.36 cm故选： A【点评】理解 黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键5如图，在 ABC中，点 D、 E分别在 AB、 AC上， DE BC，若 ，则 的值为（ ）A1：2 B2：1 C1：3 D3：1【分析】由于 DE BC，可得出 ADE ABC，因此它们的边对应相等成比例，由此可求出的值解： DE BC， ADE ABC， 故选： C【点评】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键6如图，已知 O的半径为 5cm，弦 AB的长为
13、 8cm， P是 AB的延长线上一点， BP2 cm，则 OP等于（ ）A cm B3 cm C cm D cm【分析】过 O作 OC AB于 C，根据垂径定理求出 AC、 BC，根据勾股定理求出 OC，根据勾股定理求出 OP即可解：过 O作 OC AB于 C，则 OCP ACO90， OC AB， OC过 O， AC BC AB 8cm4 cm， BP2 cm， PC BC+BP6 cm，在 Rt ACO中，由勾股定理得： OC 3（ cm） ，在 Rt PCO中，由勾股定理得： OP 3 （ cm） ，故选： D【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题
14、的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦7如图，在 O中， A10， B30，则 ACB等于（ ）A15 B20 C25 D40【分析】由题意 AOB2 ACB，设 ACB x，则 AOB2 x，根据 A+ AOB B+ ACB，构建方程求出 x即可；解： AOB2 ACB，设 ACB x，则 AOB2 x，由题意 A+ AOB B+ ACB，10+2 x30+ x， x20，故选： B【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型8给出下列 4个命题：圆的对称轴是直径所在的直线等弧所对的圆周角相等相等的圆周角所对的弧相等经过三个点一定
15、可以作圆其中真命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据轴对称的性质、圆周角定理、确定圆的条件即可一一判断；解：圆的对称轴是直径所在的直线正确；等弧所对的圆周角相等正确；相等的圆周角所对的弧相等错误，条件是同圆或等圆中；经过三个点一定可以作圆错误，条件是不在同一直线上的三点；故选： B【点评】本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9某工厂生产的某种产品按质量分为 10个档次，第 1档次（最低档次）的产品一天能生产 95件，每件利润 6元，每提高一个档次，每件利润增加 2元，但一天产量减少 5件若生产的产品一天的总利润为 1120元，且同一天所生产
16、的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）A6 B8 C10 D12【分析】设该产品的质量档次是 x档，则每天的产量为955（ x1）件，每件的利润是6+2（ x1）元，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其小于等于 10的值即可得出结论解：设该产品的质量档次是 x档，则每天的产量为955（ x1）件，每件的利润是6+2（ x1）元，根据题意得：6+2（ x1）955（ x1）1120，整理得： x218 x+720，解得： x16， x212（舍去） 故选： A【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键10如图，正方形
17、 OABC的边长为 8， A， C分别位于 x轴、 y轴上，点 P在 AB上， CP交 OB于点 Q（ m， n） ，若 S BPQ S OQC，则 mn值为（ ）A12 B16 C18 D36【分析】由 PBQ COQ，推出 （ ） 2 ，推出 OC3 PB，由 OC8，推出PB ，由 ， BO8 ，推出 OQ 8 6 ，求出点 Q坐标即可解决问题；解：四边形 ABCO是正方形， AB OC， PBQ COQ， （ ） 2 ， OC3 PB， OC8， PB ， ， BO8 ， OQ 8 6 ， Q（6，6） ， mn36，故选： D【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、
18、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型二、填空题（每空 2分，共 16分）11在 1：25000000 的图上，量得福州到北京的距离为 6cm，则福州到北京的实际距离为 1500 km【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离比例尺实际距离”即可求出两地的实际距离解：6： 150000000（厘米）1500（ 千米） ；答：福州到北京的实际距离是 1500千米故答案为：1500【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系12一元二次方程 x2+3x+20 的两个实根分别为 x1， x2，则 x12x2+x1x22 6 【分析】先根据
19、根与系数的关系得到 x1+x23， x1x22，再将 x12x2+x1x22变形为x1x2（ x1+x2） ，然后利用整体思想代入计算即可解：根据题意得 x1+x23， x1x22，所以 x12x2+x1x22 x1x2（ x1+x2）2（3）6故答案为6【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 x1， x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的两根时，x1+x2 ， x1x2 13一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60元降至到现在 48.6元，设平均每次降价的百分率为 x，则列方程为 60（1 x） 248.6 【分析】可先
20、表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格（1降价的百分率）48.6，把相应数值代入即可求解解：第一次降价后的价格为 60（1 x） ，二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为 60（1 x）（1 x） ，所以可列方程为 60（1 x） 248.6【点评】考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1 x） 2 b14已知在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为（0，4） 、 （6，4） 、 （0，1） ，则这个三角形的外接圆的圆心坐标为 （3， ） 【分析】由题意， ABC是直角三角形，推出 AB
21、C的外接圆的圆心是斜边 BC的中点 Q，利用中点坐标公式计算即可解决问题；解：如图，由题意， ABC是直角三角形， ABC的外接圆的圆心是斜边 BC的中点 Q， C（0，1） ， B（6，4） ， Q（3， ） ，故答案为（3， ） 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是记住直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点15如图， C、 D是以 AB为直径的半圆上两点，且 D是 中点，若 ABD80则 CAB 20 【分析】连接 AD根据直径的性质求出 DAB，再证明 CAD DAB即可解决问题；解：连接 AD AB是直径， ADB90， ABD80， DAB10，
22、D是 中点， ， CAD DAB10， CAB20，故答案为 20【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16如图，在平行四边形 ABCD中，已知点 E在边 BC上， BAE DAC， AB7， AD10，则 CE 5.1 【分析】由 ABCD的性质及 BAE DAC可得 BAE BCA，进而可判定 BAE BCA，可得 ，可 BE的长，即可得 CE的长解：四边形 ABCD是平行四边形， AD BC，且 AD BC10， DAC BCA，又 BAE DAC， BAE BCA， B B， BAE BCA， ， AB7， BC10，
23、 BE4.9， EC5.1故答案为：5.1【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到 BAE BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键17 O的半径为 1，弦 AB ，弦 AC ，则 BAC度数为 75或 15 【分析】连接 OA，过 O作 OE AB于 E， OF AC于 F，根据垂径定理求出 AE、 FA值，根据解直角三角形的知识求出 OAB和 OAC，然后分两种情况求出 BAC即可解：有两种情况：如图 1所示：连接 OA，过 O作 OE AB于 E， OF AC于 F， OEA OFA90，由垂径定理得： AE BE ，
24、AF CF ，cos OAE ，cos OAF ， OAE30， OAF45， BAC30+4575；如图 2所示：连接 OA，过 O作 OE AB于 E， OF AC于 F， OEA OFA90，由垂径定理得： AE BE ， AF CF ，cos OAE ，cos OAF ， OAE30， OAF45， BAC453015；故答案为：75或 15【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况此题比较好，但是一道比较容易出错的题目18如图，把一块含 30角的三角板的直角顶点放在反比例函数 y （ x0）的图象上的点 C处
25、，另两个顶点分别落在原点 O和 x轴的负半轴上的点 A处，且 CAO30，则 AC边与该函数图象的另一交点 D的坐标坐标为 （3， ） 【分析】过点 C作 CE AO于点 E，由题意可得： AE CE， CE OE，设点 C坐标为（ a， a） ，代入解析式可求 a1，可求点 A坐标，点 C坐标，即可求直线 AC解析式，直线 AC解析式与反比例函数解析式组成方程组，可求点 D坐标解：如图：过点 C作 CE AO于点 E CAO30， CE AO COE60， AC2 CE， AE CE CE EO设点 C坐标为（ a， a）点 C在反比例函数 y （ x0）的图象上 a（ a）解得： a1点
26、C坐标（1， ） CE ， EO1 AE 3 AO4点 A（4，0）点 A（4，0） ，点 C（1， ）直线 AC解析式 y直线 AC与反比例函数 y 相交于点 C，点 D 解得： x11， x23点 D坐标为（3， ）故答案为：（3， ）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质是解决问题的关键三、解答题（本大题共 10小题，共 84分）19 （8 分）解方程（1） （ x1） 29；（2）2 x2+3x40【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用公式法求解即可解：（1） （ x1） 29，开方得： x13，解得： x14
27、， x22；（2）2 x2+3x40， a2， b3， c4， b24 ac94 2（4）41， x ， x1 ， x2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键20 （6 分）阅读下面的材料，解决问题：解方程 x45 x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2 y，那么 x4 y2，于是原方程可变为 y25 y+40，解得 y11， y24当 y1 时， x21， x1；当 y4 时， x24， x2 ；原方程有四个根： x11， x21， x32， x42请参照例题，解方程 （ x2+x） 24（ x2+x）12
28、0【分析】根据题目中的例子和换元法解方程的方法可以解答本题解：设 x2+x y，原方程可变为 y24 y120，解得 y16， y22，当 y6 时， x2+x6，得 x13， x22，当 y2 时， x2+x2，得方程 x2+x+20， b24 ac1 24270，此时方程无实根，所以原方程有两个根： x13， x22【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程21 （10 分）已知： ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3） 、B（3，4） 、 C（2，2） （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （1）画出 ABC向下平移
29、4个单位长度得到的 A1B1C1，点 C1的坐标是 （2，2） ；（2）以点 B为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2与 ABC位似，且位似比为2：1，点 C2的坐标是 （1，0） ；（3） A2B2C2的面积是 10 平方单位【分析】 （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出 A2B2C2的面积解：（1）如图所示： C1（2，2） ；故答案为：（2，2） ；（2）如图所示： C2（1，0） ；故答案为：（1，0） ；（3） A2C2220， B2C 20， A2B2 40， A2B2C2是
30、等腰直角三角形， A2B2C2的面积是： 2010 平方单位故答案为：10【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键22 （8 分）如图，在 ABC中， AD BC且 AD2 BDCD（1）求证： BAC90；（2）若 BD2， AC ，求 CD的长【分析】 （1）根据已知条件得到 ABD CAD，根据相似三角形的性质得到 BAD C，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论（1）证明： AD2 BDCD， ， BDA ADC90， ABD CAD， BAD C， DAC+ C90， DAC+ BAD90， BAC90 ；（2
31、）解： BAC ADC90， C C， BAC ADC， ， AC2 BCCD，（2+ DC） DC24， DC4【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键23 （8 分）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度 AB为 16米，拱高 CD为 4米（1）求桥拱的半径 R（2）若大雨过后，桥下水面上升到 EF的位置，且 EF的宽度为 12米，求拱顶 C到水面 EF的高度【分析 】 （1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答（2）在 Rt OEM中，求出 OM即可解决问题；解：（1）如图，设圆心为 O连接 OA， OE在 Rt AOD中， AO 2 O
32、D2+AD2， R264+（R4） 2，解得 R10；（2）在 Rt OEM中， OE2 EM2+OM2，10036+ OM2，解得 OM8， CM862，即拱顶 C 到水面 EF的高度是 2米【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长24 （8 分）如图，在长为 32m，宽为 20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解解：原图经过平移转化为图 1设道路宽为 X米，根据题意，得（20 x） （
33、32 x）540整理得 x252 x+1000解得 x150（不合题意，舍去） ， x22答：道路宽为 2米【点评】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解25 （8 分）请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图中作出一点 D，使得 ADB2 C；（2）在图中作出一点 E，使得 AEB C【分析】 （1）作 AC的垂直平分线交 BC于 D，则 DA DC，所以 DAC C，然后根据三角形外角性质可得到 ADB2 C；（2）延长 BC到 E使 CE CA，则
34、 E CAE，然后根据三角形外角性质可得到 AEB C解：（1）如图 1， ADB即为所作；（2）如图 2， AEB即为所作【点评】本题考查了作与复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作26 （8 分）如图，在矩形 ABCD中， AB6， BC8，动点 P在边 AD上以每秒 2个单位的速度从 A出发，沿 AD向 D运动，同时动点 Q在边 BD上以每秒 5个单位的速度从 D出发，沿 DB向 B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动
35、设运动时间为 t秒（1）填空：当某一时刻 t，使得 t1 时， P、 Q两点间的距离 PQ ；（2）是否存在以 P、 D、 Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时 t的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据矩形的性质得到 BAD90，根据勾股定理得到 BD10，过 Q作QE AD于 E，根据三角形的中位线的性质得到 EQ AB3， PE2，根据勾股定理即可得到结论；（2）由题意得到 AP2 t， DQ5 t， PD82 t，根据平行线分线段成比例定理得到QE3 t，根据勾股定理得到 PQ ，当 D是圆心时， PD DQ，当 P是圆心时， PD PQ，当 Q是圆心时， PQ D
36、Q，列方程即可得到结论解：（1） t1， AP2， DQ5， PD6，四边形 ABCD是矩形， BAD90， AB6， BC8， BD10， Q为 BD的中点，过 Q作 QE AD于 E， QE AB， AE DE4， EQ AB3， PE2， PQ ；故答案为： ；（2）存在，理由： AP2 t， DQ5 t， PD82 t，由（1）知， QE AB， ， ， QE3 t， DE4 t， PE86 t， PQ ，当 D是圆心时， PD DQ，82 t5 t，解得： t ；当 P是圆心时， PD PQ，82 t ，解得： t ，或 t0（舍去） ；当 Q是圆心时， PQ DQ，5 t ，解得：
37、 t 或 t4（舍去） ，综上所述： t的值为 s或 s或 s【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解方程，熟练掌握矩形的性质是解题的关键27 （10 分）如图，在 Rt ABC中， BAC90，以边 AB为直径作 O，交斜边 BC于D， E在弧 上，连接 AE、 ED、 DA，连接 AE、 ED、 DA（1）求证： DAC AED；（2）若点 E是 的中点， AE与 BC交于点 F，当 BD5， CD4 时，求 DF的长【分析】 （1）根据圆周角定理得到 AD BC，根据余角的性质和圆周角定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到 CA CF，根据相似三角形的
38、性质即可得到结论（1）证明： AB是 O的直径， AD BC， BAC90， CAD+ BAD BAD+ B90， CAD B， E ABD， DAC AED；（2）解：点 E是 的中点， BAE EAD， CFA ABC+ BAE， CAE CDA+ EAD， CFA CAE， CA CF， BAC ADB90， ACD BCA， ADC BAC 即 AC2 BCCD（5+4）436解得 AC6 CA CF6， DF CA CD2【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形判定和性质，正确的识别图形是解题的关键28 （10 分）如图，已知点 A（1，0） ， B（0，3）
39、，将 AOB绕点 O逆时针旋转 90，得到 COD，设 E为 AD的中点（1）若 F为 CD上一动点，求出当 DEF与 COD相似时点 F的坐标；（2）过 E作 x轴的垂线 l，在直线 l上是否存在一点 Q，使 CQO CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）当 DEF COD时， ， DF DEcos CDO ，据此求出 EF的长度和点 F的坐标即可；（2）首先以 CD为直径作圆，设其圆心为 P，交直线 a于点 Q、 Q，连接 PQ， P Q，由圆周角定理，可得 CQO CQ O CDO，在 Rt CDO中，由勾股定理可得CD ，则 PQ CD ；然后求出点 P的
40、坐标是多少；设 Q（1， a） ，则（ ） 2+（ a ） 2 ，据此求出 a的值是多少，进而求出 Q点坐标是多少即可解：（1） A（1，0） ， B（0，3） ， OA1， OB3，将 AOB绕点 O逆时针旋转 90，得到 COD， OC1， OD3， C（0，1） ， D（3，0） ，如图 1，当 DEF COD时， EF ， F（1， ） ；当 DEF COD时， DF DEcos CDO ，作 FK OD于 K，则 FK DFsin CDO ， DK DFcos CDO ， F（ ， ） ；（2）如图 2，以 CD为直径作圆，设其圆心为 P，交直线 a于点 Q、 Q，连接 PQ， P Q，由圆周角定理，可得 CQO CQ O CDO，在 Rt CDO中，由勾股定理可得 CD ，则 PQ CD ，又 P为 CD中点， P（ ， ） ，设 Q（1， a） ，则（ ） 2+（ a ） 2 ，解得 a2 或1， Q（1，2）或（1，1） 【点评】此题还考查了相似三角形的性质，坐标与图形变换，正确的作出图形是解题的关键
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