1、专题八 期中复习典例讲解一. 有理数例 1 下列说法: 有理数可分为整数和分数两类; 有理数可以分为正有理数, 负有理数和零三类; 有理数可分为正整数, 负整数, 正分数, 负分数四类; 有理数可分为整数, 分数, 正有理数, 负有理数和零五类, 其中正确的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【思路点拔】中缺“0” ； 中的分类标准混乱，正确的有，解： B【方法规律】有理数分类有两个标准, 一是按整数, 分数分, 二是按性质分二. 数轴与绝对值借用数轴可分析绝对值的计算, 化简问题例 2 如图, 已知 数轴上点 所对应的数为 都不为 0，且 C 是 AB 的中点, 如
2、果,ABC,abc，试确定原点 O 的大致位置.20abcbac A BC【思路点拔】分 O 点在点 A 左边, 线段 AC 上, 线段 BC 上, 点 B 右边四种情况考虑解: 若 O 点在 AC 之间, 设 BC 为 x, a+b0, a 2c0, a+b 2c=(a c)+(b c)= x+x=0因为 ,符合题意.2 0abcbc用同样的方法可分析其余的三种情况, 故不成立.所以原点 O 在 AC 之间, 不包括点 A, 点 C A BCO【方法规律】数轴上两点的距离总可以用两点表示的数的差的绝对值来表示，也可直接用右边点表示的数减左边点表示的数例 3 有理数 在数轴上对应的点的位置如图
3、所示，以下结论：,abc 0ca(1)0ba1abc其中结论正确的个数有( )A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 来源:Z*xx*k.Com0 b1c-1a【思路点拔】分别确定 a,b,c 的性质, , 正确; 数 a 表示的点到数 c 表示0,abcabc的点之间的距离 ,正确; 正确; 所以1,(1)0,1,0,1,b, 不正确1abc解: B【方法规律】比较大小可以计算与估算结合来源:学科网来源:学#科#网 Z#X#X#K三. 数轴上找点例 4 己知 A,B 在数轴上对应的数分别用 a,b 表示, 且 是数轴上的一个动点21(0)0,abP(1) 在数轴上标出 A,B
4、 的位置, 并求出 A,B 之间的距离;(2) 数轴上一点 C 距 A 点 24 个单位长度, 其对应的数 C 满足 ,当 P 满足 PB=2PC 时, 求 P 点对应c的数 1020304050 10203040500【思路点拔】(1) 由非负性可知 a,b 的值; (2) 由 确定 c 的性质, 由 C 距 A 点 24 个单位确定 Cac的大小解: (1) 且21(0)0abQ21(0),0,1aab则 ; 表示略20(1)3AB(2) 则,20,acacQc又 24,C由题意可分析,P 点分在 BC 之间或 C 点右边两种情况 P 点在 BC 之间, 且 PB=2PC,设 P 点表示的
5、数为 x, 则 (10)2(4),6xP 点在 C 点右边, PB=2PC,设 P 点表示的数为 x, 则 ,2综上，P 点对应的数为 6 或 2【方法规律】在数轴上, 已知两点间的距离, 找点的位署, 通常要分析这个点所有的位置四.“混而有序” 的有理数运算(1) 分组有序例 5 计算: 31410.58(3)0.58477【思路点拔】将 , 做一组; , 做一组, 分别计算比较简便.解: 原式 来源:学#科#网 Z#X#X#K341(1)0.580.58473().()1.3.【方法规律】有理数混合运算中, 能简便的尽可能简便(2) 级别有序例 6 计算: 21343(2)(0.5()4【
6、 思路点拔】先算乘方, 再算乘除, 最后算加减, 有括号的先算括号里的.解: 原式 来源:学+科+ 网75()(21342803【方法规律】同级计算, 从左到右, 如“ ” 不能先算“ ”， 应先算“ ”43(3) 分配有序例 7 计算: 52352()()1689【思路点拔】先将后面括号里的用分配律计算，再与前面括号里的数分别相乘.解: 原式 ()24()233516854242309【方法规律】有时正用乘法分配律使计算简便，有时逆用乘法分配律可使计算简便.五、整式的加减运算例 8 先化简，再计算：（1）(4a2b) 5 a(8b2aab)a，其中 a2,b 1.（2） x2( x y2)(
7、 x y2),其中 x2,y .131323【思路点拨】应先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入化简，求值.解：（1）原式4a2b5a8b2aab a4a 2b5a8b2aaba3a5b.当 a2,b1 时，原式32511.（2）原式 x2x y2 x y2 3xy 2.31当 x2,y 时，原式 3(2)( )26 .49例 9 小红家的收入分为农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的 1.5 倍，预计明年农业收入将减少 20%，二其他收入将增加 40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加还是减少？【思路点拨】由题意可知要想知道明年总收入是增加还是减少，需将今年总收入和明年的
8、总收入比较.由题意可设今年其他收入为 a 元，则今年农业收入为 1.5a 元，预计明年农业收入为(120%)1.5 a 元，明年其他收入为(140%) a 元.解：设小红家今年其他收入为 a 元，则今年总收入为 1.5aa2.5a(元).预计明年总收入：（120%）1.5 a(140%)a2.6a（元）.因为 2.6a2.5a，所以预计小红家明年的总年收入增加.六、新运算读懂新运算法则，然后进行运算.例 10 定义一种新运算：观察下列式子：131437,3( 1)34111，5454424,4(3)44313，（1）请你想一想：ab ;(2)若 ab,则 ab ba( 填“ ”或“”);(3)
9、若 a( 2b) 4,请计算(a b)(2ab) 的值.【思路点拨】找出新运算的法则，然后由新运算的法则列出式子，再计算.解：(1)因为 1314 3 7,3( 1)34111,5454424,4(3)44313，所以ab4ab(2) ab4ab, ba4ba,(4 ab)(4ba) 3a3b 3(ab),因为 ab,所以 3(ab) 0，即(4ab) (4 ba)0，所以 abba.(3)因为 a( 2b)4a4b4,所 以 2ab2，所以( a b)(2ab) 4(ab)(2 ab)3(2ab)326.七、找规律例 11 (1)如图所示，在某年 6 月份的月历里，任意圈出一竖列上相邻的三个
10、数，设中间的一个数为 a,则用含 a 的代数式分别表示这三个数（从小到大）是 ；(2)现将连续的自然数 12016 按图中的方式排成一个长方形阵，用一个正方形框出 16 个数.框中 16 个数的 和为 ；在图中，框出的 16 个数是否可能等于 2000 或 2015，若不可能，试说明理由；若可能，请求出该正方形框中的 16 个数的最小数和最大数.【思路点拨】(1)观察图可发现，左右相邻的两数相差 1，上下相邻的两数相差 7.(2)框中的 16 个数关于正方形的中心点对称，找出每组对称数的和及对称数的组数，可求出结果；在前面问题的基础上，用字母表示数，再求和，在字母取整数的情况下满足题意.解：(
11、1)a7,a,a7(2)352可能.理由：设最小的数为 a.则由 16 个数组成的正方形如图：每两个关于正方形的中心点对称的数的和均为 2a24，则这 16 个数的和为：(2a24)8 16a192.当 16a1922000 时，a113.当 16a1322015 时，a113 .516故存在和为 2000 的 16 个数，不存在和为 2015 的 16 个数 ,和为 2000 的 16 个数中，最小数是 113，最大数是 137.113 在第二列.【方法规律】先看出的 a 是否为整数，其次，还要看这样的方框能不能“框出”这些数，也就是要注意这个最小的数在第 n 行、n 列.1.若|a 1|5
12、，则 a 的值为( )A.6 B.4 C.6 或4 D.6 或 42.下列计算结果是负数的是（ ）A.(1)( 2015) B.(1)2015 C.(2016)(1) D.|2015|3.地球的半径为 6400000 米，用科学记数法表示为（ ）A.0.6410 B.6.4106 C.64105 D.6401044.若有理数 m、n 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子表示错误的是（ ）A.|m| n B.|n|m C. |n|m | D.nm5.化简2 a(2a1)的结果是( )A.4a1 B. 4a1 C.1 D.16.化简 2a3b5a(2a7b)的结果是( )A.7a10b B.5a4
13、b C.a4b D.9a10b7.下列各组整式：ab 与ab；ab 与ab；a1 与 1a；ab 与 ab.其中互为相反数的有（ ）A. B. C. D. 8.某商店进了一批商品，每件商品的进价为 a 元，若要获利 20%，则每件商品的零售价为（ ）A.20%a B.(1 20%)a 元 C. D. (120%) a 元a1 20%9.用“”将，3.14，3 ,1 连接起来，正确的是（ ）13A.3.143 1 B. 3 3.141C. 3 3.141 D. 3.143 110.如图所示，数轴上一动点向左移动 2 个单位长度到达 B，再向右移动 5 个单位到达点 C，若点 C 表示的数为 1，
14、则点 A 表示的数为（ ）A.7 B.3 C.3 D.211.计算：(3) ;( 2) 3 ;| 2 | .112.把多项式 x3xy 2x 2yx 43 按 x 的降幂排 列，正确的是 .13.|a| 7,|b|5, 且 ab0,则 ab 的值是 .14.k 时， x3y2k1 与 x3y9 的和还是单项式.15.若|a 4|b4|，且 ab,则 3a3b .16.已知小明的年龄是 m 岁，小红的年龄比小明的年龄的 2 倍小 4 岁，小华的年龄比小红年龄的 还多一12岁，求这三名同学的年龄之和. 17.计算：(1)3 2( )2( )(24)；13468(2)(3 2)(1) 2016(1
15、0.5 );1(3)( )( )2| |（ 0.25） 20154201553(4) (3 )2(6 )( )( 4) 2(2) 32(1) 201514118.按下列程序计算，把答案填写在表格中，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这样的规律？(1)填写表内空格：(2)发现的规律是：输入数据 x，则输出的答案是 ；(3)为什么会有这个规律？请你说明理由.B 冲刺中考19.若|a|3,|b| 1,且 ab0，则 ab 的值是( )A.4 B.2 C. 4 或2 D.420.在2,3，4，5 这四个数中任取两个数相乘，所得的积最大的是（ ）A.20 B.20 C. 10 D.821.有理数 a
16、、b 在数轴上的位置如图所示，则下列的关系式：ab0；ab0； ;|b| |a|0.其中结论正确的个数有( )1A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D.4 个22. 一个商标图案如图中阴影部分,在长方形 ABCD 中,AB2BC,AB 是 8cm. 以点 A 为圆心，AD 为半径的圆与 BA 的延长线相交于点 F，则商标图案的面积等于（ ）A.（4 8）cm 2 B.(416)cm 2 C. (38)cm 2 D. (316)cm 2 23.已知 x23x7 的值是5，那么代数式 3x29x2 的值是（ ）A0 B.2 C.4 D.624.已知 ab3,cd2,则(bc)( ad)的值是(
17、)A.1 B.1 C.5 D.1525.若“”是新规定的某种运算符号，设 ab3a2b,则（xy)（xy) 运算后的结果为 26.已知 3x4y2,则整式 106x 8y2(3x4y) 2 的值为 27.若使用竖式做有理数加 法运算的过程如图所示，则代数式 zy .28.规定一种运算： ，例如 ，请你按照这样的运算规定，计算abdcc235424.1320.529.根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值是 30.一列数按如下的规律排列:1, ，5， ,9, ,13， ,.则第 2015 个数是 .12416831.已知 a,b 互为相反数，且 a0,c,d 互为倒数，
18、e 的绝对值等于 6，求 2a2b6cd e 2 的值.ba32.已知|mn2| ( mn3) 20, 求 2(mn)2mn(m n)32(m n)3mn的值.( 提示：把mn,mn 看着一个整体)33.给出三个多项式 X2a 23abb 2, Y3a 2 3ab,Za 2ab,请你任选两个进行加（或减）法运算.34.已知 ab3,ab3,求代数式(a4bab) (2ab2a3b)(3 ab3b2a)的值.35.已知 x2,y ，求 kx2(x y2)( x y2)的值，以为同学在做题时把 x2 看着 x2,但11结果也值钱，已知计算过程无误，求 k 的值.36.若 ，求 的值.1abc205
19、6abc37.(1)已知|a2015| b2|0，求 ab 的值；(2) 已知|a| |b 22015|2015,求 ab 的值.C 决战中考38.如图，正方形的边长为 a,以各边为直径在正方形内画半圆，所围成图形（阴影）的面积是多少？39.有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示：abc比较 、 、 的大小（用号连接） ；若 ，求 的 值；1mabac20151mcA若 ，且 、 、 对应点分别为 A、 B、 C,问在数轴上是否存在一点 P，使得 P 与2,3,bA 的距离是 P 与 C 的距离的 ，若存在，请求出 P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由.1340.小刚在超市里买了一些物品,
20、用一个长方体的箱子“打包” 、这个箱子的尺寸如图所示（其中） ，售货员分别可按图、图、图三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种0bac方法用绳最长，请说明理由.41.小华在电脑上设计 了一个有理数运算程序:输入 加键,再键入 ,得到运算 .aba2bab求 的值；21小华在运用此程序的时候，屏幕显示“该程序无法操作” ，你猜小华在输入数据是，可能出现什么情况？为什么？42.有理数 均不为 0.且 ，设 ,试求代数式 的值.abc、 、 0abcabcxc20156x43.A、 B 分别是数轴上的两点，点 A 对应的数是-20，点 B 对应的数是 100.请直接写出与.A 、 B 两点距离相
21、等的点 M 所对应的数 ；现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发,以 4 单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇,你知道 C 点对应的数是 .若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发,以4 单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇,你知道 D 点对应的数是 .44.吉姆同学在某月的日历上圈出 个数,正方形的方框内的四个数的和是 32,那么第一个数是 2；玛丽也在上面的日历上圈出 个数,斜框内的四个数的和是 42,则它们分别是 ；莉莉也在日历上圈出 5 个数,呈十字框形,它们的和是 50,则中间的数是 ；某月有 5 个星期日的日期之和是 75，则这个月最后一个星期日是 ；若干个偶数按每行 8 个排成下图：图 中方框 9 个数的和与中间的数有上面关系？a如图 ，汤姆所画的斜框 9 个数的和为 360，求斜框的中间数；b托马斯也画了一个斜框，斜框内 9 个数的和能为 270？说明你的理由.
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