1、 27.2 达标训练一 选择题1已知线段 AD， BC 相交于点 O， OB OD31，若 OA12 cm， OC4 cm， AB30 cm，则 CD 的长为( B )A5 cm B10 cm C45 cm D90 cm2如图 K103，在 ABC 中， A78， AB4， AC6.将 ABC 沿图 K104中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的 ( C )图 K1033已知 ABC DEF，且它们的周长之比为 19，则 ABC 与 DEF 对应高的比为( B )A13 B19C118 D1814如图 K94，在方格纸中， ABC 和 EPD 的顶点均在格点上，要使 ABCEPD，
2、则点 P 所在的格点为( C )图 K94A P1 B P2C P3 D P45如图 K105， P 为线段 AB 上一点， AD 与 BC 交于点 E， CPD A B， BC 交PD 于点 F， AD 交 PC 于点 G，则图中相似三角形有( C )图 K105A1 对 B2 对 C3 对 D4 对6若两个相似三角形的对应中线的比为 34，则它们对应角平分线的比为( D )A116 B169 C43 D347已知一个三角形的两个内角分别是 40，60，另一个三角形的两个内角分别是60，80，则这两个三角形( C )A一定不相似 B不一定相似C一定相似 D全等8如图 K113，在 Rt AB
3、C 中， AD 为斜边 BC 上的高，若 S CAD3 S ABD，则AB AC 等于( C )图 K113A13 B14 C1 D1239如图 K114， D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， DE AC.若 S BDE SCDE13，则 S DOE S AOC的值为( D )图 K114A. B. C. D.13 14 19 11610小刚身高为 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( A )A0.5 m B0.55 mC0.6 m D2.2 m二、填空题11 “今有邑，东西七
4、里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术 意思是说：如图 K125，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB， AD 的中点，EG AB， FH AD， EG15 里， HG 经过点 A，则 FH_里图 K125答案 1.05解析 EGAB，FHAD，HG 经过点 A，FAEG，EAFH，AEGHFA90，EAGFHA，GEAAFH， .GEAF AEHFAB9 里，AD7 里，EG15 里，AF3.5 里，AE4.5 里， ，153.5 4.5HFFH1.05(里)12如图
5、 K98，已知ABC，DCE，FEG，HGI 是 4 个全等的等腰三角形，底边 BC，CE，EG，GI 在同一直线上，且 AB2，BC1，连接 AI，交 FG 于点 Q，则QI_图 K98答案 43解析 ABC，DCE，FEG，HGI 是 4 个全等的等腰三角形，HIAB2，GIBC1，BI4BC4， ， ，ABBI 24 12 BCAB 12 .ABBI BCAB又ABIABC，ABICBA， .ACAI ABBIABAC，AIBI4.ACBFGE，ACFG， ，QI AI .QIAI GICI 13 13 4313综合实践课上，小宇想测量公园假山的高度，如图 K136(示意图)，他把一面镜
6、子放在与假山 AC 的距离为 21 米的 B 处，然后沿着射线 CB 退后到点 E，这时恰好在镜子里看到山头 A，利用皮尺测得 BE2.1 米若小宇的身高是 1.7 米，则假山 AC 的高度为_米图 K136解：如图所示，过点 C 作 CFAB，垂足为 F，交 MN 于点 E.则 CFDB50 m，CE0.65 m.MNAB，CMNCAB， ，CECF MNABAB 12.3(m)MNCFCE 0.16500.65答：旗杆 AB 的高度约为 12.3 m.三、解答题14. 在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 km 的码头 MN，如图 K1310，在码头西端 M 的正西 19.5 km 处有
7、一个观察站 A.某时刻测得一艘沿直线匀速航行的轮船位于 A 的北偏西30，且与 A 相距 40 km 的 B 处；经过 1 小时 20 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东60，且与 A 相距 8 km 的 C 处3(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由图 K1310解：(1)由题意，得BAC90，在 RtABC 中，BC 16 402 （ 8 3） 2(km)7轮船航行的速度为 16 12 (km/h)743 7(2)能理由如下：如图，过点 B 作 BDl 于点 D，过点 C 作 CEl 于点 E，延长
8、BC 交 l 于点 F，则 AD20 km，BD20 km，CE4 km，AE12 km.3 3BDl，CEl，BDFCEF90.又BFDCFE，BDFCEF， ， ，DFEF BDCE EF 32EF 20 34 3EF8(km)，AFAEEF12820(km)AM19.5 km，AN19.5120.5(km)，且 19.52020.5，如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船正好能行至码头 MN 靠岸15.如图 K1210 所示，某学习小组发现 8 m 高的旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高 1.6 m，同时测得其影长
9、为 2.4 m， EG 的长为 3 m， HF 的长为 1 m，测得拱高( 的中点到弦 GH 的距离，GH 即 MN 的长)为 2 m，求小桥所在圆的半径 OG 的长图 K1210解：由相似三角形的性质得 ，而 DE8 m，DEEF 1.62.4EF12 m.EG3 m，HF1 m，GHEFEGHF8 m.由垂径定理，得 MG GH4 m.12在 RtOMG 中，由勾股定理，得 OM2MG 2OG 2，即(ON2) 24 2OG 2.又ONOG，(OG2) 24 2OG 2，解得 OG5 (m)答：小桥所在圆的半径 OG 的长为 5 m.16. 如图 K1112，有一块三角形余料 ABC，它的
10、边 BC120 mm，高 AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB， AC 上问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？小颖解得此题的答案为 48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图 K1113，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少毫米？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 K1114，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求矩形面积达到这个最大值时矩形零件的相邻两边长图 K1112图 K1113图 K1
11、114解：(1)四边形 PNMQ 是矩形，PNQM，APNABC， .PNBC AEAD设 PQEDx mm，则 PN2x mm，AE(80x)mm， ，2x120 80 x80解得 x ，则 2x .2407 4807这个矩形零件的相邻两边长分别是 mm 和 mm.2407 4807(2)四边形 PNMQ 是矩形，PNQM，APNABC， .PNBC AEAD设 PQEDx mm，则 AE(80x)mm， ，PN120 80 x80即 PN 120 ，80 x80 3（ 80 x）2S 矩形 PNMQPNPQ x x2120x (x40) 22400，3（ 80 x）2 32 32当 x40
12、 时，S 矩形 PNMQ有最大值 2400，此时 PN 60(mm)3（ 80 40）2矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长分别为 40 mm，60 mm.17. 如图 K1014，在 ABC 中， P 是边 AB 上的一点，连接 CP，要使 ACP ABC，还需要补充的一个条件是_，并说明理由(2)请你参考上面的图形和结论，探究解答下面的问题：如图 K1014，在 ABC中， A30， AC2 AB2 ABBC，求 ACB 的度数图 K1014解：(1)(答案不唯一)ACPB 或APCACB 或 AC2APAB.理由略(2)延长 AB 到点 D，使 BDBC，连接 CD，如图所示AC 2
13、AB 2ABBCAB(ABBC)AB(ABBD)ABAD， .ACAD ABAC又AA，ACBADC，ACBD.BDBC，BCDD.在ACD 中，ACBBCDDA180，3ACB30180，ACB50.18. 如图 K913，在 RtABC 中，A90，BC10 cm，AC6 cm，在线段 BC 上，动点 P 以 2 cm/s 的速度从点 B 向点 C 匀速运动；同时在线段 CA 上，点 Q 以 a cm/s 的速度从点 C 向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 C(或点 Q 到达点 A)时，两点停止运动(1)当点 P 运动 s 时，CPQ 与ABC 第一次相似，求点 Q 的速度；3011(2
14、)在(1)的条件下，当CPQ 与ABC 第二次相似时，求点 P 总共运动了多少秒图 K913解：(1)如图，BP 2 (cm)3011 6011依题意，知当 时，CPQ 与ABC 第一次相似，QCAC PCBC即 ，解得 a1，30a11610 601110点 Q 的速度为 1 cm/s.(2)如图，设点 P 运动了 t s.依题意，知当 时，CPQ 与ABC 第二次相似，即 ，解得 t ，QCBC PCAC t10 10 2t6 5013点 P 总共运动了 s.501319. 如图 K1210 所示，某学习小组发现 8 m 高的旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧形小桥在内的路上，于是
15、他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高 1.6 m，同时测得其影长为 2.4 m， EG 的长为 3 m， HF 的长为 1 m，测得拱高( 的中点到弦 GH 的距GH 离，即 MN 的长)为 2 m，求小桥所在圆的半径 OG 的长图 K1210解：由相似三角形的性质得 ，而 DE8 m，DEEF 1.62.4EF12 m.EG3 m，HF1 m，GHEFEGHF8 m.由垂径定理，得 MG GH4 m.12在 RtOMG 中，由勾股定理，得 OM2MG 2OG 2，即(ON2) 24 2OG 2.又ONOG，(OG2) 24 2OG 2，解得 OG5 (m)答：小桥所在圆的半径 OG 的长为 5 m.
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