1、第二十二章 二次函数 压轴题过关测试1如图所示，已知直线 y=kx+m与 x轴、y 轴分别交于点 A、C 两点，抛物线y=x 2+bx+c经过 A、C 两点，点 B是抛物线与 x轴的另一个交点，当 x=时，抛物线上一点的纵坐标取最大值 （1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点 P是直线 AC上一点，且 SABP ：S BPC =1：3，求点 P的坐标；（3）直线 y= x+a与（1）中所求的抛物线交于不同的两点 M、N试求：当MON90时，a 的取值范围 （要写出必要的过程） （参考公式：在平面直角坐标系中，若 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 M，N 两点之间的距离为|MN
2、|= ）2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+bx+c与 x轴交于A（1，0） ，B（2，0）两点，与 y轴交于点 C（）求该抛物线的解析式及点 C的坐标；（）直线 y=x2 与该抛物线在第四象限内交于点 D，与 x轴交于点 F，连接 AC，CD，线段 AC与线段 DF交于点 G，求证：AGFCGD；（）直线 y=m（m0）与该抛物线的交点为 M，N（点 M在点 N的左侧） ，点 M关于 y轴的对称点为点 M，点 H的坐标为（1，0） ，若四边形 NHOM的面积为 ，求点 H到 OM 的距离 d3研究发现，抛物线 y= 上的点到点 F（0，1）的距离与到直线 l：y=1的距离相等
3、如图 1所示，若点 P是抛物线 y= 上任意一点，PHl 于点H，则 PF=PH基于上述发现，对于平面直角坐标系 xOy中的点 M，记点 M到点 P的距离与点P到点 F的距离之和的最小值为 d，称 d为点 M关于抛物线 y= 的关联距离；当 2d4 时，称点 M为抛物线 y= 的关联点（1）在点 M1（2，0） ，M 2（1，2） ，M 3（4，5） ，M 4（0，4）中，抛物线 y=的关联点是 ；（2）如图 2，在矩形 ABCD中，点 A（t，1） ，点 C（t+1，3）若 t=4，点 M在矩形 ABCD上，求点 M关于抛物线 y= 的关联距离 d的取值范围；若矩形 ABCD上的所有点都是抛
4、物线 y= 的关联点，则 t的取值范围是 4如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x轴交于A，B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（1，0） ，且 OC=OB，tanOAC=4（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD下方的抛物线上有一点P，过点 P作 PHAD 于点 H，作 PM平行于 y轴交直线 AD于点 M，交 x轴于点 E，求PHM 的周长的最大值（3）在（2）的条件下，如图 2，在直线 EP的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，过点 N作 NGx 轴交 x轴于点 G，使得以点
5、 E、N、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直 接写出点 G的坐标：如果不存在，请说明理由5定义：在平面直角坐标系中，点 Q坐标为（x，y） ，若过点 Q的直线 l与 x轴夹角为 45时，则称直线 l为点 Q的“湘依直线” （1）已知点 A的坐标为（6，0） ，求点 A的“湘依直线”表达式；（2）已知点 D的坐标为（0，4） ，过点 D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，且与 x轴交于 C点，动点 P在反比例函数 y= （x0）上，求PCD面积的最小值及此时点 P的坐标；（3）已知点 M的坐标为（0，2） ，经过点 M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线 y=x2+（m2
6、）x+m+2 相交与 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若 0x 12，0x 22，求 m的取值范围6在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+x+2 交 x轴于 A、B 两点，交 y轴于点 C，点 C关于抛物线对称轴对称的点为 D（1）求点 D的坐标及直线 AD的解析式；（2）如图 1，连接 CD、AD、BD，点 M为线段 CD上一动点，过 M作 MNBD 交线段 AD于 N点，点 P、Q 分别是 y轴、线段 BD上的动点，当CMN 的面积最大时，求线段之和 MP+PQ+QO的最小值；（3）如图 2，线段 AE在第一象限内垂直 BD并交 BD于 E点，将抛物线向右水平移动，点
7、A平移后的对应点为点 G；将ABD 绕点 B逆时针旋转，旋转后的三角形记为A 1BD1，若射线 BD1与线段 AE的交点为 F，连接 FG若线段FG把ABF 分成AFG 和BFG 两个三角形，是否存在点 G，使得AFG 和BFG中一个三角形是等腰三角形、另一个是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由7已知直线 y= x+2分别交 x轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 y= x2+mx2 经过点 A，和 x轴的另一个交点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 D是抛物线上的动点，且在第三象限，求ABD 面积 的最大值；（3）如图 2，经过点 M（4，1）的直线交抛物
8、线于点 P、Q，连接 CP、CQ 分别交 y轴于点 E、F，求 OEOF的值备注：抛物线顶点坐标公式（ ， ）8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 22ax 与 x轴相交于 O、A 两点，OA=4，点 D为抛物线的顶点，并且直线 y=kx+b与该抛物线相交于 A、B 两点，与 y轴相交于点 C，B 点的横坐标是1（1）求 k，a，b 的值；（2）若 P是直线 AB上方抛物线上的一点，设 P点的横坐标是 t，PAB 的面积是 S，求 S关于 t的函数关系式，并直接写出自变量 t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当 PBCD 时，点 Q是直线 AB上一点，若BPQ+CBO=180，求 Q点
9、坐标9如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=ax2+ x+2与 x轴交于点 A和点 B（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（1，0）抛物线上有一动点 P，过点 P作 y轴的平行线分别交 x轴和直线 BC于点 D和 E，点 P的横坐标为 m，过点 P作 PM直线 BC于点 M（1）求抛物线及直线 BC的函数关系式（2）当点 M是线段 BC的中点时，求 m的值（3）如图 2，当点 P移动到抛物线的顶点位置时停止运动，点 Q为抛物线上的另一动点，则在 y轴的正半轴上是否存在点 N，使得以点 O，M，Q，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件
10、的点 N的坐标；若不存在，请说明理由10如图：在平面直角坐标系中，直线 l：y= x 与 x轴交于点 A，经过点A的抛物线 y=ax23x+c 的对称轴是 x= （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线 l经过原点 O，得到直线 m，点 P是直线 m上任意一点，PBx轴于点 B，PCy 轴于点 C，若点 E在线段 OB上，点 F在线段 OC的延长线上，连接 PE，PF，且 PF=3PE求证：PEPF；（3）若（2）中的点 P坐标为（6，2） ，点 E是 x轴上的点，点 F是 y轴上的点，当 PEPF 时，抛物线上是否存在点 Q，使四边形 PEQF是矩形？如果存在，请求出点 Q的坐标，如果不存在，
11、请说明理由11如图，抛物线 y=x 2+bx+c和直线 y=x+1交于 A，B 两点，点 A在 x轴上，点 B在直线 x=3上，直线 x=3与 x轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P从点 A出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 AB向点 B运动，点Q从点 C出发，以每秒 2个单位长度的速度沿线段 CA向点 A运动，点 P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t秒（t0） 以 PQ为边作矩形 PQNM，使点 N在直线 x=3上当 t为何值时，矩形 PQNM的面积最小？并求出最小面积；直接写出当 t为何值时，恰好有矩形 PQNM的顶点落在抛物线上12
12、如图，已知抛物线 y= x2+bx+c与 x轴交于点 A、B 两点、与 y轴负半轴交于点 C，其中 A在 B的左侧，且点 A的坐标为（2，0） （1）用含有 c的式子分别表示 b的值和点 B的横坐标（2）如图 1，连接 BC，过点 A作直线 AEBC 交抛物线 y= x2+bx+c于点 E，点D（2，0）是 x轴上一点，若当 C、D、E 在同一直线上时，求抛物线的解析式（3）如图 2，连接 AC，在第一象限内，抛物线上是否存在点 P点，使得A、B、P 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由13抛物线 y= x2 x+ 与 x轴交 于点 A，B（点 A在点
13、 B的左边） ，与 y轴交于点 C，点 D是该抛物线的顶点（1）如图 1，连接 CD，求线段 CD的长；（2）如图 2，点 P是直线 AC上方抛物线上一点，PFx 轴于点 F，PF 与线段AC交于点 E；将线段 OB沿 x轴左右平移，线段 OB的对应线段是 O1B1，当PE+ EC的值最大时，求四边形 PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点 O1的坐标；（3）如图 3，点 H是线段 AB的中点，连接 CH，将OBC 沿直线 CH翻折至O2B2C的位置，再将O 2B2C绕点 B2旋转一周，在旋转过程中，点 O2，C 的对应点分别是点 O3，C 1，直线 O3C1分别与直线 AC，x 轴交于点
14、M，N那么，在O 2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN 是以 MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 O2M的长；若不存在，请说明理由14已知抛物线 y= x2+bx+c经过点 A（2，0） ，B（0、4）与 x轴交于另一点 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且 SPBO =SPBC ，求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点 D，直线 BD交 x轴于点 E，使ABE 与以A，B，C，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由15如图，已知抛物线与 x轴交于 A
15、（1，0） 、B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，直线 y=2x+3 经过点 C，与 x轴交于点 D（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点 P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点 P的横坐标为t（0t3） 求PCD 的面积的最大值；是否存在点 P，使得PCD 是以 CD为直角边的直角三角形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由来源:学科网 ZXXK16如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3交 x轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 2，该抛物线与 y轴交于点 C，顶点为 F，点 D（2，3）在该抛物线上求四边形 ACFD的面积；
16、点 P是线段 AB上的动点（点 P不与点 A、B 重合） ，过点 P作 PQx 轴交该抛物线于点 Q，连接 AQ、DQ，当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q的坐标参考答案1解：（1）抛物线 y=x 2+bx+c，当 x= 时，y 取最大值 ，抛物线的解析式是：y=（x+ ） 2+ ，即 y=x 2x+6；当 x=0时，y=6，即 C点坐标是（0，6） ，当 y=0时，x 2x+6=0，解得：x=2 或3，即 A点坐标是（3，0） ，B 点坐标是（2，0） 将 A（3，0） ，C（0，6）代入直线 AC的解析式 y=kx+m，得 ，解得： ，则直线的解析式是：y=2x+6；（2）如
17、图 1，过点 B作 BDAC，D 为垂足，S ABP ：S BPC =1：3， = ，AP：PC=1：3，由勾股定理，得 AC= =3 当点 P为线段 AC上一点时，如图 2，过点 P作 PHx 轴，点 H为垂足PHOC， = = ，PH= ， =2x+6，x= ，点 P（ ， ） ；当点 P在 CA延长线时，如图 3，作 PGx 轴，点 G为垂足AP：PC=1：3，AP：AC=1：2PGOC， = = ，PG=3，3=2x+6，x= ，点 P（ ，3） 综上所述，点 P的坐标为（ ， ）或（ ，3） （3）如图 4，设直线 y= x+a与抛物线 y=x 2x+6 的交点为 M（x M，y M
18、） ，N（x N，y N） （M 在N左侧） 则 ， ，为方程组 的解，由方程组消去 y整理，得：x 2+ x+a6=0，x M、x N是方程 x2+ x+a6=0 的两个根，x M+xN= ，x MxN=a6，y MyN=（ xM+a） （ xN+a）= xMxN+ （x M+xN）+a 2= （a6） a+a2MON=90，OM 2+ON2=MN2，即 + + + =（x Mx N） 2+（y My N） 2，化简得 xMxN +yMyN=0，（a6）+ （a6） a+a2=0，整理，得 2a2+a15=0，解得 a1=3，a 2= ，当直线 y= x+a与抛物线 y=x 2x+6 相切时
19、易得 a= 当MON90时，a 的取值范围是 a3 或 a 2解：（）抛物线 y= x2+bx+c与 x轴交于 A（1，0） ，B（2，0）两点， ，解得 ，该抛物线的解析式 y= x2 x3令 x=0，则 y=3，C（0，3） ；（）证明：直线 EF的解析式为 y=x2，当 y=0时，x=2，F（2，0） ，OF=2，A（1，0） ，OA=1，AF=21=1，由 解得 ， ，点 D在第四象限，点 D的坐标为（1，3） ，点 C的坐标为（0，3） ，CDx 轴，CD=1，AFG=CDG，FAG=DCG，在AGF 与CGD 中AGFCGD（ASA） ；（）抛物线的对称轴为 x= = ，直线 y=
20、m（m0）与该抛物线的交点为 M，N，点 M、N 关于直线 x= 对称，设 N（t，m） ，则 M（1t，m） ，点 M 关于 y轴的对称点为点 M，M（t1，m） ，点 M在直线 y=m上，MNx 轴，MN=t（t1）=1，H（1，0） ，OH=1=MN，四边形 OMNH是平行四边形，设直线 y=m与 y轴交于点 P，四边形 OMNH的面积为 ，OHOP=1m= ，即 m= ，OP= ，当 x2 x3= 时，解得 x1= ，x 2= ，点 M的坐标为（ ， ） ，M（ ， ） ，即 PM= ，RtOPM中，OM= = ，四边形 OMNH的面积为 ，OMd= ，d= 3解：（1）由题意知，当点
21、 M与 F在抛物线的两侧时，点 F、P、M 共点时，PF+MP的值最小，且 FM的取值范围为：2FM4 符合题意F（0，1） ，M 1（2，0） ，FM 1= = ，符合题意FM4=54不符合题意；当点 M与 F在抛物线的同侧时，MP+PF 的值等于点 M到直线 l：y=1 的距离，点 M2到直线 y=1 的距离为 3，234，M 2是抛物线 y= 的关联点，点 M3到直线 y=1 的距离 为 6，64，不符合题意，综上所 述，抛物线 y= 的关联点是 M1，M 2；故答案是：M 1，M 2；（2）当 t=4时，A（4，1） ，C（5，3） B（5，1） ，D（4，3） F（0，1） ，当点
22、A与点 M重合时，d= =4；当点 C与点 M重合时，d= = ，当点 D与点 M重合时，d=2 4，当点 B与点 M重合时，d=5，点 M关于抛物线 y= 的关联距离 d的取值范围是：4d 在矩形 ABCD中，点 A（t，1） ，点 C（t+1，3） ，B（t+1，1） ，点 D（t，3） （i）t0 时，当点 A在抛物线 y= 上时，把 y=1代入 y= ，得 t=2；当点 C在抛物线 y= 上时，d 取最大值，此时 4=CF，即 4=，故 t=2 1此时 2t2 1（ii）t0 时，当点 B在抛物线 y= 上时，把 y=1代入 y= ，得 t=3；当点 D在抛物线 y= 上时，d 取最大
23、值，此时 4=CF，即 4= ，故t=2 此时2 t3（iii）t=0 时，A（0，1） ，C（1，3） ，B（1，1） ，D（0，3） 故矩形 ABCD上的所有点都是抛物线 y= 的关联点，综上所述，t 的取值范围是：2 t2 1故答案是：2 t2 14解：（1）点 A的坐标为（1，0） ，OA=1又tanOAC=4，OC=4，C（0，4） OC=OB，OB=4，B（4，0） 设抛物线的解析式为 y=a（x+1） （x4）将 x=0，y=4 代入得：4a=4，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=x23x4（2）抛物线的对称轴为 x= = ，C（0，4） ，点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称
24、，D（3，4）设直线 AD的解析式为 y=kx+b将 A（1，0） 、D（3，4）代入得： ，解得 k=1，b=1，直线 AD的解析式 y=x1直线 AD的一次项系数 k=1，BAD=45PM 平行于 y轴，AEP=90，PMH=AME=45MPH 的周长=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM设 P（a，a 23a4） ，则 M（a，a1） ，则 PMa1（a 23a4）=a 2+2a+3=（a1） 2+4当 a=1时，PM 有最大值，最大值为 4MPH 的周长的最大值=4（1+ ）=4+4 ；（3）存在点 G的坐标为（ ，0）或（ ，0） 附解题过程：设点 G的坐标为（a，
25、0） ，则 N（a，a 23a4）如图 1，若 = 时，AOCEGN则 = ，整理得：a 2+a8=0得：a= （负值舍去）点 G为（ ，0）如图 2，若 = 时，AOCNGE则 =4，整理得：4a 211a17=0得：a= （负值舍去）点 G为（ ，0） 综上所述，点 G的坐标为（ ，0）或（ ，0） 5解：由“湘依直线”的定义知，直线 l与直线 y=x或 y=x 平行（1）设点 A的“湘依直线”表达式为：y=x+b 或 y=x+b，将 A（6，0）代入，得 0=6+b，或 0=6+b解得 b=6 或 b=6故点 A的“湘依直线”表达式为：y=x6 或 y=x+6；（2）点 D的坐标为（0，
26、4） ，过点 D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，过点 D的“湘依直线”为 y=x4，C（4，0） ，即OCD 是等腰直角三角形，CD=4 线段 CD的长度为定值，来源:Zxxk.Com当过点 P的直线与直线 CD垂直时，PCD 面积的最小，又点 P在反比例函数 y= （x0）图象上，点 P是线段 CD的垂直平分线与双曲线的交点，如图，直线 CD与直线 y=x 平行，点 P在直线 y=x上，故设 P（a，a） ，a= ，解得 a=4（舍去负值） 此时 P（4，4） ，SPCD = 4 （4 +2 ）=24综上所述，PCD 面积的最小值是 24，此时点 P的坐标是（4，4） ；（3）点 M
27、的坐标为（0，2） ，过点 M的“湘依直线”经过第一、二、三象限，过点 M的“湘依直线”为 y=x+2，则由题意知，整理，得 x2+（m3）x+m=0 解得， m1故 m的取值范围是 m16解：（1）令 x=0，则 y=2C（0，2 ）对称轴为 x= = ，且 C，D 关于对称轴对称D（ ，2 ）令 y=0，则 0= x2+x+2x 1= ，x 2=2A（ ，0） ，B（2 ，0）设直线 AD解析式 y=kx+b来源:学科网解得：k=1，b=直线 AD解析式 y=x+（2）如图 1：作 DHAB，MTAB，交 AD于 T，作 NKMT设 M（m，2 ） ，则 T（m，m+ ）A（ ，0） ，D
28、（ ，2 ）AH=DHDAH=ADH=45=CDAMTDH，KNCDKNT=KTN=45=CDAKT=KN，MT=MDMNBD，MND=ADB 且CDA=DABADBMNDND= MDDT= MDNT= MDKNCD =KT= MTKM= MT= （ m）S CMN = CMKM= m （ m）= m2+ m当 m= 时，S CMN 最大值M（ ，2 ）如图 2 作 M关于 y轴对称点 M1（ ，2 ） ，作 O关于 BD的对称点 O1（， ）MP+PQ+OQ=M 1P+PQ+O1QM 1，P，Q，O 1共线时，MP+PQ+OQ 值最小最小值为 M1Q1=（3）如图 3：根据题意可得直线 BD
29、解析式 y=2x+4 ，直线 AE解析式y= x+ ，则 E（ ， ） ，即 tanEAB=当 AG=FG，GFB=90时，设 FH=a，则 AH=2a，设 AG=FG=x，则 GH=2ax来源:学#科#网FH 2+GH2=FG2a 2+（2ax） 2=x2x= aGH= aFHAB，GFFBFBG=GFHtanGFH=tanFBGBH= aAH+BH=AB=32a+ a=3a=OG=AGAOOG= =G（ ，0）如图 4当 FG=BG，AGF=90时，设 GF=a，则 AG=2a，BG=aAB=AG+BG=3a=3a=G（ ，0）如图 5当 FG=BG，AFG=90时，设 GF=a，则 BG
30、=a，AG= aAB=AG+BG= a+a=3a=OG=AGAO= a =G（ ，0）综上所述 G（ ，0） ， （ ，0） ， （ ，07解：（1）把 y=0代入 y= x+2得：0= x+2，解得：x=4，A（4，0） 把点 A的坐标代入 y= x2+mx2 得：m= ，抛物线的解析式为 y= x2+ x2（2）过点 D作 DHy 轴，交 AB于点 H，设 D（n， n2+ n2） ，H（n， n+2） DH=（ n+2）（ n2+ n2）= （n+1） 2+ 当 n=1 时，DH 最大，最大值为 ，此时ABD 面积最大，最大值为 4=9（3）把 y=0代入 y= x2+ x2，得：x 2
31、+3x4=0，解得：x=1 或 x=4，C（1，0） 设直线 CQ的解析式为 y=axa，CP 的解析式为 y=bxb ，解得：x=1 或 x=2a4x Q=2a4同理：x P=2b4设直线 PQ的解析式为 y=kx+b，把 M（4，1）代入得：y=kx+4k+1 x 2+（32k）x8k6=0，x Q+xP=2a4+2b4=2k3， xQxP=（2a4） （2b4）=8k6，解得：ab= 又OE=b，OF=a，OEOF=ab= 8解：（1）OA=4A（4，0）16+8a=0a=2，y=x 24x，当 x=1 时，y=1+4=3，B（1，3） ，将 A（4，0）B（1，3）代入函数解析式，得，解得直线 AB的解析式为 y=x+4，
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