1、2017-2018 学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（ ）A2 B4 C2 D42下列运算，正确的是（ ）Aa 2a3=a6 B （a 2） 3=a6 Ca 10a2=a5 Da +a3=a43若等腰三角形的周长为 10cm，其中一边长为 2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）A2cm B4cm C6cm D8cm4等边三角形的边长为 2，则该三角形的面积为（ ）A B C D35一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升长为 13 米，则云梯可以
2、达该建筑物的最大高度是（ ）A12 米 B13 米 C14 米 D15 米6如图，ABC 中，C=90，CAB=50按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 E、F；分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 长为半径画弧，两弧相交于点 G；作射线 AG 交 BC 边于点 D则ADC 的度数为（ ）A65 B60 C55 D457如图，Rt ABC 中，ACB=90，若 AB=15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（ ）A150cm 2 B200cm 2 C225cm 2 D无法计算8武汉市光谷实验中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球
3、类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类） ，下列说法错误的是（ ）A九（1）班的学生人数为 40Bm 的值为 10C n 的值为 20D表示“足球”的扇形的圆心角是 709如图，在ABC 中，AB=4，AC=6 ，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作MNBC 分别交 AB、AC 于 M、N，则AMN 的周长为（ ）A10 B6 C4 D不确定10如图，在ABC 中， A=36，AB=AC，CD、BE 分别
4、是ACB，ABC 的平分线，CD、BE 相交于 F 点，连接 DE，则图中全等的三角形有多少组（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11如果（x+1） （x+m）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为 12当 a+b=3，xy=1 时，代数式 a2+2ab+b2x+y 的值等于 13若 3x=10，3 y=5，则 32xy= 14写出命题：“直角都相等”的逆命题： 15如图所示，AOB 是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF，FG，GH，添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根三、解答题（本题共八个小题，
5、满分 75 分）16 （8 分）计算（1）（2）化简与求值：（x2y） 2+（x2y） （x +2y）2x（2xy）2x，其中 x=5，y=617 （9 分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式 x4y4，因式分解的结果是（ xy） （x+y）（x 2+y2） ，若取 x=9，y=9 时，则各个因式的值是：（ xy）=0 ， （x+y）=18， （x 2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式 4x3xy2，取x=10， y=10 时，写出一个用上述方法产生的密码，并说明理由18 （9 分）如图，
6、一块大的三角板 ABC，D 是 AB 上一点，现要求过点 D 割出一块小的三角板 ADE，使 ADE= ABC，（1）尺规作出ADE （不写作法，保留作图痕迹，要写结论）（2）判断 BC 与 DE 是否平行，如果是，请证明19 （9 分）已知：如图，OM 是AOB 的平分线，C 是 OM 上一点，且 CDOA 于D，CE OB 于 E，AD=EB 求证：AC=CB20 （9 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=4， A=60 ，BC=4 ，CD=8（1）求ADC 的度数；（2）求四边形 ABCD 的面积21 （10 分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“
7、汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写 100 个汉字，每正确听写出一个汉字得 1 分，本次决赛，学生成绩为 x（分） ，且 50x 100 ，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率一 50x60 2 0.04二 60x70 10 0.2三 70x80 14 b四 80x90 a 0.32五 90x100 8 0.16请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有 名学生参加；（2）直接写出表中 a= ，b= ；（3）请补全下面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于 80 分为优秀，则本次大赛的优秀率为 22 （10 分）
8、如图，已知ABC 中，B=90，AB=16cm，BC=12cm，P、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q从点 B 开始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒（1）出发 2 秒后，求 PQ 的长；（2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟后，PQB 能形成等腰三角形？（3）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ 成为等腰三角形的运动时间23 （11 分）如图，ABC 是等边三角形，D 为 BC 边上一个动点（D 与 B、C 均不重合），AD=AE，DAE=60 ，连接 CE（
9、1）求证：ABD ACE；（2）求证：CE 平分ACF ；（3）若 AB=2，当四边形 ADCE 的周长取最小值时，求 BD 的长2017-2018 学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（ ）A2 B4 C2 D4【分析】首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解【解答】解：一个数的平方根是8，这个数为（8） 2=64，故 64 的立方根是 4故选：D【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方由开立方和立方是互逆运算，
10、用立方的方法求这个数的立方根注意一个数的立方根与原数的性质符号相同2下列运算，正确的是（ ）Aa 2a3=a6 B （a 2） 3=a6 Ca 10a2=a5 Da +a3=a4【分析】依据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则进行判断，即可得到正确结果【解答】解：Aa 2a3=a5，故本选项错误；B （a 2） 3=a6，故本选项正确；C a10a2=a8，故本选项错误；Daa 3=a4，故本选项错误；故选：B【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，解题时注意：幂的乘方，底数不变，指数相乘3若等腰三角形的周长为 10cm，其
11、中一边长为 2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）A2cm B4cm C6cm D8cm【分析】分为两种情况：2cm 是等腰三角形的腰或 2cm 是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形【解答】解：若 2cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 1022=6（cm ） ，2+26，不符合三角形的三边关系；若 2cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（102）2=4（cm） ，此时三角形的三边长分别为 2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选：A【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边4等边三角形的边长
12、为 2，则该三角形的面积为（ ）A B C D3【分析】如图，作 CDAB，则 CD 是等边ABC 底边 AB 上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得 AD=1，所以，在直角ADC 中，利用勾股定理，可求出 CD 的长，代入面积计算公式，解答出即可；【解答】解：作 CDAB，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=2，AD=1 ，在直角ADC 中，CD= = = ，S ABC = 2 = ；故选：C【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想5一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大
13、升长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A12 米 B13 米 C14 米 D15 米【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度【解答】解：如图所示，AB=13 米，BC=5 米，由勾股定理可得，AC= =12 米故选：A【点评】此题考查学生善于利用题目信息构成直角三角形，从而运用勾股定理解题6如图，ABC 中，C=90，CAB=50按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 E、F；分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 长为半径画弧，两弧相交于点 G；作射线 AG
14、交 BC 边于点 D则ADC 的度数为（ ）A65 B60 C55 D45【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG 是CAB 的平分线，根据角平分线的性质解答即可【解答】解：解法一：连接 EF点 E、F 是以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径画弧，分别与 AB、AC 的交点，AF=AE；AEF 是等腰三角形；又分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；AG 是线段 EF 的垂直平分线，AG 平分CAB ，CAB=50 ，CAD=25；在ADC 中，C=90，CAD=25，ADC=65（直角三角形中的两个锐角互余） ；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是
15、CAB 的平分线，CAB=50 ，CAD=25；在ADC 中，C=90，CAD=25，ADC=65（直角三角形中的两个锐角互余） ；故选：A【点评】本题综合考查了作图复杂作图，直角三角形的性质根据作图过程推知 AG是CAB 平分线是解答此题的关键7如图，Rt ABC 中，ACB=90，若 AB=15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（ ）A150cm 2 B200cm 2 C225cm 2 D无法计算【分析】小正方形的面积为 AC 的平方，大正方形的面积为 BC 的平方两正方形面积的和为 AC2+BC2，对于 RtABC，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2AB 长度已知
16、，故可以求出两正方形面积的和【解答】解：正方形 ADEC 的面积为：AC 2，正方形 BCFG 的面积为： BC2；在 RtABC 中，AB 2=AC2+BC2，AB=15 ，则 AC2+BC2=225cm2故选：C【点评】本题考查了勾股定理勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中8武汉市光谷实验中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类） ，下列说法错误的是（ ）A九（1）班的学生人数为
17、 40Bm 的值为 10C n 的值为 20D表示“足球”的扇形的圆心角是 70【分析】由条形统计图和扇形统计图得到喜欢篮球的人数而后所占的百分比，求出人数，根据人数求出 m、n，根据表示 “足球”的百分比求出扇形的圆心角【解答】解：由图和图可知，喜欢篮球的人数是 12 人，占 30%，1230%=40，则九（1）班的学生人数为 40，A 正确；440=10%，则 m 的值为 10，B 正确；140%30%10%=20%，n 的值为 20，C 正确；36020%=72，D 错误，故选：D【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的
18、关键9如图，在ABC 中，AB=4，AC=6 ，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作MNBC 分别交 AB、AC 于 M、N，则AMN 的周长为（ ）A10 B6 C4 D不确定【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义可得出AMN=2MBE，结合三角形外角的性质即可得出MBE= MEB，即 MB=ME，同理可得出 NC=NE，再利用三角形的周长公式即可求出AMN 的周长【解答】解：MNBC，AMN= ABCBE 平分ABC，ABC=2MBE ，AMN=2 MBEAMN= MBE+MEB，MBE=MEB，MB=ME同理，NC=NE ，C AMN =AM+ME+EN+AN=AB+AC
19、=10故选：A【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形的周长，利用等腰三角形的性质找出 MB=ME、NC=NE 是解题的关键10如图，在ABC 中， A=36，AB=AC，CD、BE 分别是ACB，ABC 的平分线，CD、BE 相交于 F 点，连接 DE，则图中全等的三角形有多少组（ ）A3 B4 C5 D6【分析】首先根据已知条件，看能得出哪些边和角相等，然后再根据全等三角形的判定方法来判断有多少对全等三角形【解答】解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=72；CD、BE 分别平分ABC、ACB，ABE=ACD= EBC= DCB=36；又AB=A
20、C，A=A；ABEACD；（ASA）BE=CD；又BC=BC，DCB= EBC=36，DBCECB ；（SAS）DEBC，EDF= DEF=36，又DBE= ECD=36，DE=DE，DEB EDC；（AAS）由得：DB=EC ，BDC=CEB；又DFB=EFC ，BFD CFE （AAS）ABC 中，A=36 ，AB=AC，ABC=ACB= =72，BE 是ABC 的平分线，CD 是ACB 的平分线，EBC=DBE=36，ACB=72 ，BE=BC，BC DE，DEB= EBC=36，BCF BED，同理可得，BCF DCE所以本题的全等三角形共 6 组；故选：D【点评】此题主要考查的是全等
21、三角形的判定方法做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11如果（x+1） （x+m）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为 1 【分析】把式子展开，找到所有 x 项的所有系数，令其和为 0，可求出 m 的值【解答】解：（x+1） （x+m）=x 2+（1+m）x+m，结果不含 x 的一次项，1+m=0，解得：m=1故答案为：1【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为 012当 a+b=3，xy=1 时，代数式 a2+2ab+b2x+y 的值等于 8 【分析】本题可先
22、将原代数式化简得出关于 a+b 和 xy 的式子，再把已知代入即可【解答】解：a+b=3，x y=1，a 2+2ab+b2x+y，=（ a+b） 2（xy） ，=91，=8故本题答案为：8【点评】本题考查了完全平方公式法分解因式，整理出已知条件的形式是解题的关键，注意整体代换的思想13若 3x=10，3 y=5，则 32xy= 20 【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案【解答】解；（3 x） 2=32x=102=100，32xy=32x3y=1005=20，故答案为：20【点评】本题考查了同底数幂的除法，利用了幂的乘方，同底数幂的除法14写出命
23、题：“直角都相等”的逆命题： 相等的角为直角 【分析】把原命题的题设和结论交换即可【解答】解：“ 直角都相等” 的逆命题为相等的角为直角故答案为相等的角为直角【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理也考查了逆命题15如图所示，AOB 是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF，FG，GH，添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 8 根【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解【解答】解：添加的钢
24、管长度都与 OE 相等，AOB=10 ，GEF=FGE=20， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是 10，第二个是 20，第三个是 30，四个是 40，五个是50，六个是 60，七个是 70，八个是 80，九个是 90就不存在了所以一共有 8个故答案为：8【点评】此题考查了三角形的内角和是 180 度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键三、解答题（本题共八个小题，满分 75 分）16 （8 分）计算（1）（2）化简与求值：（x2y） 2+（x2y） （x +2y）2x（2xy）2x，其中 x=5，y=6【分析】 （1）原式利
25、用平方根，立方根定义计算即可求出值；（2）原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式=3+3+1=1；（2）原式= （x 24xy+4y2+x24y24x2+2xy）2x= （2x 22xy）2x=xy，当 x=5，y=6 时，原式=5+6=11【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （9 分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式 x4y4，因式分解的结果是（ xy） （x
26、+y）（x 2+y2） ，若取 x=9，y=9 时，则各个因式的值是：（ xy）=0 ， （x+y）=18， （x 2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式 4x3xy2，取x=10， y=10 时，写出一个用上述方法产生的密码，并说明理由【分析】将多项式 4x3xy2，提取 x 后再利用平方差公式分解因式，将 x 与 y 的值分别代入每一个因式中计算得到各自的结果，根据阅读材料中取密码的方法，即可得出所求的密码【解答】解：4x 3xy2=x（4x 2y2）=x（2x+y ） （2xy） ，当取 x=10，y=10 时，各个因式的值是：x=10， 2x+y
27、=30，2xy=10，用上述方法产生的密码是：101030 （5 分）【点评】此题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出取密码的方法是解本题的关键18 （9 分）如图，一块大的三角板 ABC，D 是 AB 上一点，现要求过点 D 割出一块小的三角板 ADE，使 ADE= ABC，（1）尺规作出ADE （不写作法，保留作图痕迹，要写结论）（2）判断 BC 与 DE 是否平行，如果是，请证明【分析】 （1）利用基本作图作ADE=ABC，交 AC 于点 E；（2）根据平行线的判断方法进行判断【解答】解：（1）如图，ADE
28、为所作；（2）BCDE理由如下：ADE= ABC，BC DE【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 19 （9 分）已知：如图，OM 是AOB 的平分线，C 是 OM 上一点，且 CDOA 于D，CE OB 于 E，AD=EB 求证：AC=CB【分析】先由角平分线的性质得出 CD=CE，再由 SAS 证明ADCBEC，得出对应边相等即可【解答】证明：OM 是AOB 的平分线，C 是 OM 上一点，且 CDOA 于 D，CE OB 于 E，CD=CE，ADC= BEC=90
29、，在ACD 和BCE 中，ADCBEC （SAS） ，AC=CB【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键20 （9 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=4， A=60 ，BC=4 ，CD=8（1）求ADC 的度数；（2）求四边形 ABCD 的面积【分析】 （1）连接 BD，首先证明ABD 是等边三角形，可得ADB=60，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明BDC 是直角三角形，进而可得答案；（2）过 B 作 BEAD ，利用三角形函数计算出 BE 长，再利用ABD 的面积加上BDC的面积可得四边形 ABCD 的面积【解答】解
30、：（1）连接 BD，AB=AD， A=60，ABD 是等边三角形，ADB=60 ，DB=4，4 2+82=（4 ） 2，DB 2+CD2=BC2，BDC=90，ADC=60+90=150 ；（2）过 B 作 BEAD ，A=60，AB=4，BE=ABsin60=4 =2 ，四边形 ABCD 的面积为： ADEB+ DBCD= 4 + 48=4 +16【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形21 （10 分）为了提高学生书写汉字的能力，增
31、强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写 100 个汉字，每正确听写出一个汉字得 1 分，本次决赛，学生成绩为 x（分） ，且 50x 100 ，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：组别 成绩 x（分） 频数（人数） 频率一 50x60 2 0.04二 60x70 10 0.2三 70x80 14 b四 80x90 a 0.32五 90x100 8 0.16请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有 50 名学生参加；（2）直接写出表中 a= 16 ，b= 0.28 ；（3）请补全下面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于
32、80 分为优秀，则本次大赛的优秀率为 48% 【分析】 （1）根据表格中的数据可以求得本次决赛的学生数；（2）根据（1）中决赛学生数，可以求得 a、b 的值；（3）根据（2）中 a 的值，可以将频数分布直方图补充完整；（4）根据表格中的数据可以求得本次大赛的优秀率【解答】解：（1）由表格可得，本次决赛的学生数为：100.2=50，故答案为：50；（2）a=500.32=16，b=1450=0.28，故答案为：16，0.28；（3）补全的频数分布直方图如右图所示，（4）由表格可得，决赛成绩不低于 80 分为优秀率为：（0.32+0.16 ）100%=48%，故答案为：48% 【点评】本题考查频数
33、分布直方图、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件22 （10 分）如图，已知ABC 中，B=90，AB=16cm，BC=12cm，P、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q从点 B 开始沿 BCA 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒（1）出发 2 秒后，求 PQ 的长；（2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒钟后，PQB 能形成等腰三角形？（3）当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ 成为等腰三角形的运动时间【分析】 （1）根据点 P、Q 的运动速度求出 AP，再
34、求出 BP 和 BQ，用勾股定理求得 PQ即可；（2）设出发 t 秒钟后， PQB 能形成等腰三角形，则 BP=BQ，由 BQ=2t，BP=8t，列式求得 t 即可；（3）当点 Q 在边 CA 上运动时，能使BCQ 成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当 CQ=BQ 时，则C=CBQ，可证明A=ABQ，则 BQ=AQ，则 CQ=AQ，从而求得t；当 CQ=BC 时，则 BC+CQ=12，易求得 t；当 BC=BQ 时，过 B 点作 BEAC 于点 E，则求出 BE，CE，即可得出 t【解答】解：（1）BQ=22=4 （cm） ，BP=AB AP=1621=14（cm ） ，B=90 ，PQ=
35、= = （cm） ；（2）BQ=2t，BP=16t ，根据题意得：2t=16 t，解得：t= ，即出发 秒钟后，PQB 能形成等腰三角形；（3）当 CQ=BQ 时，如图 1 所示，则C=CBQ，ABC=90 ，CBQ+ABQ=90A+C=90 ，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=10 ，BC +CQ=22，t=222=11 秒当 CQ=BC 时，如图 2 所示，则 BC+CQ=24，t=242=12 秒当 BC=BQ 时，如图 3 所示，过 B 点作 BEAC 于点 E，则 BE= = ，CE= ，CQ=2CE=14.4，BC +CQ=26.4，t=26.42=13.2 秒综上所述：当 t
36、为 11 秒或 12 秒或 13.2 秒时，BCQ 为等腰三角形【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用23 （11 分）如图，ABC 是等边三角形，D 为 BC 边上一个动点（D 与 B、C 均不重合），AD=AE，DAE=60 ，连接 CE（1）求证：ABD ACE；（2）求证：CE 平分ACF ；（3）若 AB=2，当四边形 ADCE 的周长取最小值时，求 BD 的长【分析】 （1）由于 AB=AC，AD=AE，所以只需证BAD=CAE 即可得结论；（2）证明ACE 和ECF 都等于 60即可；（3）将四边形 ADCE 的周长用 AD 表
37、示，AD 最小时就是四边形 ADCE 的周长最小，根据垂线段最短原理，当 ADBC 时，AD 最小，此时 BD 就是 BC 的一半【解答】 （1）证明：ABC 是等边三角形，AB=AC，BAC=60 ，DAE=60 ，BAD+DAC=CAE+DAC，即BAD=CAE ，在ABD 和 ACE 中，ABD ACE（2）证明：ABC 是等边三角形，B= BCA=60，ABD ACE，ACE=B=60，ABD ACE，ACE=B=60，ECF=180ACEBCA=60，ACE=ECF ，CE 平分ACF（3）解：ABD ACE，CE=BD，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=2，四边形 ADCE 的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+2AD，根据垂线段最短，当 AD BC 时，AD 值最小，四边形 ADCE 的周长取最小值，AB=AC，BD= = =1【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理以及垂线段最短原理，关键是找出能使三角形全等的条件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等
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