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    2018年长沙市中考数学试卷及答案解析.doc

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    2018年长沙市中考数学试卷及答案解析.doc

    p2018 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分1. (3.00 分) ﹣2 的相反数是( nbsp;)A.﹣ 2 B.﹣ C.2 D.2. (3.00 分)据统计, 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部 ”,数据 10200 用科学记数法表示为( nbsp;)A.0.102 105 B.10.210 3 C.1.02 104 D.1.0210 33. (3.00 分)下列计算正确的是( nbsp;)A.a 2a3a5 B.3 C. (x 2) 3x5 D.m 5m3m24. (3.00 分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( nbsp;)A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm ,10.6cm,7cm ,14cm5. (3.00 分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( nbsp;)A. B. C. D.6. (3.00 分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( nbsp;)A. B. C.D.7. (3.00 分)将下列如图的平面图形绕轴 l 旋转一周,可以得到的立体图形是( nbsp;)A. B. C. D.8. (3.00 分)下列说法正确的是( nbsp;)A.任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5 次正面向上B.天气预报说“ 明天的降水概率为 40”,表示明天有 40的时间都在降雨C. “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件D. “a 是实数,|a|≥0” 是不可能事件9. (3.00 分)估计 1 的值是( nbsp;)A.在 2 和 3 之间 B.在 3 和 4 之间 C.在 4 和 5 之间 D.在 5 和 6 之间10. (3.00 分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是( nbsp;)A.小明吃早餐用了 25minB.小明读报用了 30minC.食堂到图书馆的距离为 0.8kmD.小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min11. (3.00 分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何” 这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12里,13 里,问这块沙田面积有多大题中“里”是我国市制长度单位,1 里500米,则该沙田的面积为( nbsp;)A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米12. (3.00 分)若对于任意非零实数 a,抛物线 yax2ax﹣2a 总不经过点P(x 0﹣3,x 02﹣16) ,则符合条件的点 P( nbsp;)A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无穷多个二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分13. (3.00 分)化简 nbsp; nbsp; .14. (3.00 分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 nbsp; nbsp; 度.15. (3.00 分)在平面直角坐标系中,将点 A′(﹣2,3 )向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A′的坐标是 nbsp; nbsp; .16. (3.00 分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是 nbsp; nbsp; .17. (3.00 分)已知关于 x 方程 x2﹣3xa0 有一个根为 1,则方程的另一个根为 nbsp; nbsp; nbsp;.18. (3.00 分)如图,点 A,B,D 在⊙O 上,∠A20,BC 是⊙O 的切线,B 为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则∠OCB nbsp; nbsp; 度.三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第 22、23 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19. (6.00 分)计算( ﹣1) 2018﹣ (π﹣3) 04cos4520. (6.00 分)先化简,再求值(ab ) 2b(a﹣b)﹣4ab ,其中 a2,b﹣ .21. (8.00 分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为 10 分,最低分为 6 分)请根据图中信息,解答下列问题(1)本次调查一共抽取了 nbsp; nbsp; 名居民;(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(3)社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动,得 10 分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品22. (8.00 分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A、B 两地间的公路进行改建.如图,A、B 两地之间有一座山.汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶.已知 BC80千米,∠A45,∠B30.(1)开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米(2)开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米(结果精确到 0.1千米) (参考数据 ≈141, ≈1.73)23. (9.00 分)随着中国传统节日“ 端午节”的临近,东方红商场决定开展 “欢度端午,回馈顾客” 的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒,乙品牌粽子 100 盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱24. (9.00 分)如图,在 △ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,∠BAD∠CAD,CE∥AD ,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC8,AD3.(1)求 CE 的长;(2)求证△ABC 为等腰三角形.(3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离.25. (10.00 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y (m 为常数,m>1,x >0 )的图象经过点 P(m,1)和 Q(1,m) ,直线 PQ 与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点,点 M(x,y )是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B.(1)求∠OCD 的度数;(2)当 m3,1<x<3 时,存在点 M 使得△OPM∽△OCP,求此时点 M 的坐标;(3)当 m5 时,矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1请说明你的理由.26. (10.00 分)我们不妨约定对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 nbsp; nbsp; ;②在凸四边形 ABCD 中,ABAD 且 CB≠CD ,则该四边形 nbsp; nbsp; “十字形”. (填“是”或“不是”)(2)如图 1,A,B,C ,D 是半径为 1 的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点,AC 与 BD 交于点 E,∠ADB﹣ ∠CDB ∠ABD﹣ ∠CBD ,当 6≤AC 2BD2≤7 时,求 OE的取值范围;(3)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2bxc(a ,b,c 为常数,a> 0,c <0)与 x 轴交于 A,C 两点(点 A 在点 C 的左侧) ,B 是抛物线与 y 轴的交点,点 D 的坐标为(0,﹣ ac) ,记“ 十字形”ABCD 的面积为 S,记△AOB ,△COD, △AOD,△BOC 的面积分别为 S1,S 2,S 3,S 4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;① ;② ;③“ 十字形”ABCD 的周长为 12 .2018 年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分1. (3.00 分) ﹣2 的相反数是( nbsp;)A.﹣ 2 B.﹣ C.2 D.【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.【解答】解﹣2 的相反数是 2,故选C.2. (3.00 分)据统计, 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部 ”,数据 10200 用科学记数法表示为( nbsp;)A.0.102 105 B.10.210 3 C.1.02 104 D.1.0210 3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1≤|a |<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.【解答】解102001.0210 4,故选C.3. (3.00 分)下列计算正确的是( nbsp;)A.a 2a3a5 B.3 C. (x 2) 3x5 D.m 5m3m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案.【解答】解A、a 2a3,无法计算,故此选项错误;B、3 ﹣2 ,故此选项错误;C、 ( x2) 3x6,故此选项错误;D、m 5m3m2,正确.故选D.4. (3.00 分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( nbsp;)A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm ,10.6cm,7cm ,14cm【分析】结合“ 三角形中较短的两边之和大于第三边”,分别套入四个选项中得三边长,即可得出结论.【解答】解A、∵549,99,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;B、8 816,16>15,∴该三边能组成三角形,故此选项正确;C、 5510,1010,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;D、6713,13 <14,∴该三边不能组成三角形,故此选项错误;故选B.5. (3.00 分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( nbsp;)A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;故选A.6. (3.00 分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( nbsp;)A. B. C.D.【分析】先求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.【解答】解解不等式 x2>0 ,得x>﹣ 2,解不等式 2x﹣4≤0,得x≤2 ,则不等式组的解集为﹣2< x≤2,将解集表示在数轴上如下故选C.7. (3.00 分)将下列如图的平面图形绕轴 l 旋转一周,可以得到的立体图形是( nbsp;)A. B. C. D.【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析,能求出结果.【解答】解绕直线 l 旋转一周,可以得到圆台,故选D.8. (3.00 分)下列说法正确的是( nbsp;)A.任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5 次正面向上B.天气预报说“ 明天的降水概率为 40”,表示明天有 40的时间都在降雨C. “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件D. “a 是实数,|a|≥0” 是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案.【解答】解A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5 次正面向上,错误;B、天气预报说“ 明天的降水概率为 40”,表示明天有 40的时间都在降雨,错误;C、 “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件,正确;D、 “a 是实数,|a|≥0” 是必然事件,故此选项错误.故选C.9. (3.00 分)估计 1 的值是( nbsp;)A.在 2 和 3 之间 B.在 3 和 4 之间 C.在 4 和 5 之间 D.在 5 和 6 之间【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.【解答】解∵3 29,4 216,∴ ,∴ 1 在 4 到 5 之间.故选C.10. (3.00 分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是( nbsp;)A.小明吃早餐用了 25minB.小明读报用了 30minC.食堂到图书馆的距离为 0.8kmD.小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min【分析】根据函数图象判断即可.【解答】解小明吃早餐用了(25﹣8)17min,A 错误;小明读报用了(58﹣28)30min,B 正确;食堂到图书馆的距离为(0.8﹣ 0.6)0.2km,C 错误;小明从图书馆回家的速度为 0.8100.08km/min, D 错误;故选B.11. (3.00 分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何” 这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12里,13 里,问这块沙田面积有多大题中“里”是我国市制长度单位,1 里500米,则该沙田的面积为( nbsp;)A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.【解答】解∵5 2122132,∴三条边长分别为 5 里,12 里,13 里,构成了直角三角形,∴这块沙田面积为 5500125007500000(平方米)7.5(平方千米).故选A.12. (3.00 分)若对于任意非零实数 a,抛物线 yax2ax﹣2a 总不经过点P(x 0﹣3,x 02﹣16) ,则符合条件的点 P( nbsp;)A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式,然后根据对于任意非零实数 a,抛物线 yax2ax﹣2a 总不经过点 P(x 0﹣3,x 02﹣16) ,即可求得点 P 的坐标,从而可以解答本题.【解答】解∵对于任意非零实数 a,抛物线 yax2ax﹣2a 总不经过点P(x 0﹣3,x 02﹣16) ,∴x 02﹣16≠a (x 0﹣3) 2a(x 0﹣3)﹣ 2a∴(x 0﹣4) (x 04)≠a(x 0﹣1) (x 0﹣4)∴(x 04)≠a(x 0﹣1)∴x 0﹣4 或 x01,∴点 P 的坐标为( ﹣7,0)或(﹣ 2,﹣ 15)故选B.二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分13. (3.00 分)化简 1 .【分析】根据分式的加减法法则同分母分式加减法法则同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减计算即可.【解答】解原式 1.故答案为1.14. (3.00 分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度.【分析】根据圆心角360百分比计算即可;【解答】解“ 世界之窗”对应扇形的圆心角360 (1﹣10﹣30 ﹣20﹣15)90,故答案为 90.15. (3.00 分)在平面直角坐标系中,将点 A′(﹣2,3 )向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A′的坐标是 (1,1) .【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案.【解答】解∵将点 A′( ﹣2,3)向右平移 3 个单位长度,∴得到(1,3) ,∵再向下平移 2 个单位长度,∴平移后对应的点 A′的坐标是( 1,1) .故答案为(1,1) .16. (3.00 分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是 nbsp; nbsp;.【分析】先统计出偶数点的个数,再根据概率公式解答.【解答】解正方体骰子共六个面,点数为 1,2,3,4,5,6,偶数为2,4 ,6 ,故点数为偶数的概率为 ,故答案为 .17. (3.00 分)已知关于 x 方程 x2﹣3xa0 有一个根为 1,则方程的另一个根为 2 .【分析】设方程的另一个根为 m,根据两根之和等于﹣ ,即可得出关于 m 的一元一次方程,解之即可得出结论.【解答】解设方程的另一个根为 m,根据题意得1m3 ,解得m2.故答案为2.18. (3.00 分)如图,点 A,B,D 在⊙O 上,∠A20,BC 是⊙O 的切线,B 为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则∠OCB 50 度.【分析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数,再根据切线的性质定理可得∠OBC90,进而可求出求出∠OCB 的度【解答】解∵∠A20,∴∠BOC40,∵BC 是 ⊙O 的切线,B 为切点,∴∠OBC90,∴∠OCB90﹣4050,故答案为50.三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第 22、23 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19. (6.00 分)计算( ﹣1) 2018﹣ (π﹣3) 04cos45【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答】解原式1﹣2 14 1﹣2 12 2.20. (6.00 分)先化简,再求值(ab ) 2b(a﹣b)﹣4ab ,其中 a2,b﹣ .【分析】首先计算完全平方,计算单项式乘以多项式,然后再合并同类项,化简后,再代入 a、b 的值,进而可得答案.【解答】解原式a 22abb2ab﹣b2﹣4aba2﹣ab,当 a2,b ﹣ 时,原式415.21. (8.00 分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为 10 分,最低分为 6 分)请根据图中信息,解答下列问题(1)本次调查一共抽取了 50 名居民;(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(3)社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动,得 10 分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品【分析】 (1)根据总数个体数量之和计算即可;(2)根据平均数、总数、中位数的定义计算即可;(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可;【解答】解(1)共抽取41015111050(人) ,故答案为 50;(2)平均数 (46 1071581191010)8.26;众数得到 8 分的人最多,故众数为 8.中位数由小到大排列,知第 25,26 平均分为 8 分,故中位数为 8 分;(3)得到 10 分占 105020,故 500 人时,需要一等奖奖品 50020100(份) .22. (8.00 分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A、B 两地间的公路进行改建.如图,A、B 两地之间有一座山.汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶.已知 BC80千米,∠A45,∠B30.(1)开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米(2)开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米(结果精确到 0.1千米) (参考数据 ≈141, ≈1.73)【分析】 (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,在直角△ACD 中,解直角三角形求出 CD,进而解答即可;(2)在直角△CBD 中,解直角三角形求出 BD,再求出 AD,进而求出汽车从 A地到 B 地比原来少走多少路程.【解答】解(1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,∵AB⊥CD,sin30 ,BC80 千米,∴CDBCsin3080 (千米) ,AC (千米) ,ACBC8040 ≈401.4180136.4(千米) ,答开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米;(2)∵cos30 ,BC80(千米) ,∴BDBCcos3080 (千米) ,∵tan45 ,CD40 (千米) ,∴AD (千米) ,∴ABADBD4040 ≈40 401.73109.2(千米) ,∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为ACBC﹣AB136.4﹣ 109.227.2(千米) .答汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米.23. (9.00 分)随着中国传统节日“ 端午节”的临近,东方红商场决定开展 “欢度端午,回馈顾客” 的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒,乙品牌粽子 100 盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱【分析】 (1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元,乙品牌粽子每盒 y 元,根据“打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元”,即可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据节省钱数原价购买所需钱数 ﹣打折后购买所需钱数,即可求出节省的钱数.【解答】解(1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元,乙品牌粽子每盒 y 元,根据题意得 ,解得 .答打折前甲品牌粽子每盒 40 元,乙品牌粽子每盒 120 元.(2)80 40100120﹣800.840﹣1000.751203640(元) .答打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元.24. (9.00 分)如图,在 △ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,∠BAD∠CAD,CE∥AD ,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC8,AD3.(1)求 CE 的长;(2)求证△ABC 为等腰三角形.(3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离.【分析】 (1)证明 AD 为 △BCE 的中位线得到 CE2AD6;(2)通过证明△ABD ≌△CAD 得到 ABAC;(3)如图,连接 BP、BQ、CQ,先利用勾股定理计算出 AB5,设⊙P 的半径为R, ⊙Q 的半径为 r,在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到(R﹣3) 242R2,解得 R,则 PD ,再利用面积法求出 r ,即 QD ,然后计算 PDQD 即可.【解答】 (1)解∵AD 是边 BC 上的中线,∴BDCD,∵CE∥AD,∴AD 为△BCE 的中位线,∴CE2AD6;(2)证明∵BDCD,∠BAD∠CAD ,ADAD ,∴△ABD≌△ CAD,∴ABAC,∴△ABC 为等腰三角形.(3)如图,连接 BP、BQ、CQ,在 Rt△ABD 中,AB 5,设⊙P 的半径为 R,⊙Q 的半径为 r,在 Rt△PBD 中, (R ﹣3) 242R2,解得 R ,∴PDPA﹣AD ﹣3 ,∵S △ABQ S△BCQ S△ACQ S△ABC ,∴ r5 r8 r5 38,解得 r ,即 QD ,∴PQPDQD .答△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 .25. (10.00 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y (m 为常数,m>1,x >0 )的图象经过点 P(m,1)和 Q(1,m) ,直线 PQ 与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点,点 M(x,y )是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B.(1)求∠OCD 的度数;(2)当 m3,1<x<3 时,存在点 M 使得△OPM∽△OCP,求此时点 M 的坐标;(3)当 m5 时,矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1请说明你的理由.【分析】 (1)想办法证明 OCOD 即可解决问题;(2)设 M( a, ) ,由△OPM ∽△OCP,推出 ,由此构建方程求出a,再分类求解即可解决问题;(3)不存在分三种情形说明①当 1<x <5 时,如图 1 中;②当 x≤1 时,如图 2 中;③当 x≥5 时,如图 3 中;【解答】解(1)设直线 PQ 的解析式为 ykxb,则有 ,解得 ,∴y﹣ xm,令 x0,得到 ym1,∴D(0,m1) ,令 y0,得到 xm1,∴C(m1,0) ,∴OCOD,∵∠COD90,∴∠OCD45.(2)设 M( a, ) ,∵△OPM∽△OCP,∴ ,∴OP 2OCOM,当 m3 时,P(3,1) ,C(4,0) ,OP2321210,OC4,OM ,∴ ,∴104 ,∴4a 4﹣25a2360,(4a 2﹣9) (a 2﹣4)0,∴a ,a2,∵1<a<3 ,∴a 或 2,当 a 时,M( ,2) ,PM ,CP ,≠ (舍弃) ,当 a2 时,M(2, ) ,PM ,CP ,∴ ,成立,∴M( 2, ) .(3)不存在.理由如下当 m5 时,P(5,1) ,Q(1,5) ,设 M(x, ) ,OP 的解析式为 y x,OQ 的解析式为 y5x,①当 1<x<5 时,如图 1 中,∴E ( , ) ,F(x, x) ,SS 矩形 OAMB﹣S△OAF ﹣S△OBE5﹣ x x﹣ 4.1,化简得到x 4﹣9x2250,△<O,∴没有实数根.②当 x≤1 时,如图 2 中,SS△OGH <S △OAM 2.5,∴不存在,③当 x≥5 时,如图 3 中,SS△OTS <S △OBM 2.5,∴不存在,综上所述,不存在.26. (10.00 分)我们不妨约定对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 菱形,正方形 ;②在凸四边形 ABCD 中,ABAD 且 CB≠CD ,则该四边形 不是 “十字形”. (填“是”或“不是”)(2)如图 1,A,B,C ,D 是半径为 1 的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点,AC 与 BD 交于点 E,∠ADB﹣ ∠CDB ∠ABD﹣ ∠CBD ,当 6≤AC 2BD2≤7 时,求 OE的取值范围;(3)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax2bxc(a ,b,c 为常数,a> 0,c <0)与 x 轴交于 A,C 两点(点 A 在点 C 的左侧) ,B 是抛物线与 y 轴的交点,点 D 的坐标为(0,﹣ ac) ,记“ 十字形”ABCD 的面积为 S,记△AOB ,△COD, △AOD,△BOC 的面积分别为 S1,S 2,S 3,S 4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式;① ;② ;③“ 十字形”ABCD 的周长为 12 .【分析】 (1)利用“十字形”的定义判断即可;(2)先判断出∠ADB ∠CAD ∠ABD∠CAB,进而判断出∠AED ∠AEB90,即AC⊥BD,再判断出四边形 OMEN 是矩形,进而得出 OE22﹣ (AC 2BD2) ,即可得出结论;(3)由题意得,A( ,0) ,B (0,c ) ,C ( ,0) ,D (0 ,﹣ac ) ,求出 S ACBD﹣ (acc ) ,S 1 OAOB﹣ ,S 2 OCOD﹣,S 3 OAOD﹣ ,S 4 OBOC﹣ ,进而建立方程 ,求出 a1,再求出b0,进而判断出四边形 ABCD 是菱形,求出 AD3 ,进而求出 c﹣9,即可得出结论.【解答】解(1)①∵菱形,正方形的对角线互相垂直,∴菱形,正方形是“ 十字形” ,∵平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,∴平行四边形,矩形不是“十字形” ,故答案为菱形,正方形;②如图,当 CBCD 时,在△ABC 和 △ADC 中, ,∴△ABC≌△ADC(SSS) ,∴∠BAC∠DAC,∵ABAD,∴AC⊥BD,∴当 CB≠CD 时,四边形 ABCD 不是“十字形” ,故答案为不是;(2)∵∠ADB ∠CBD ∠ ABD∠CDB,∠CBD∠CDB∠CAB,∴∠ADB∠CAD∠ABD∠CAB,∴180﹣∠AED180 ﹣∠AEB,∴∠AED ∠AEB90,∴AC⊥BD,过点 O 作 OM⊥AC 于 M,ON⊥BD 于 N,连接 OA,OD,∴OAOD1,OM 2OA2﹣AM2,ON 2OD2﹣DN2,AM AC,DN BD,四边形OMEN 是矩形,∴ONME,OE 2OM2ME2,∴OE 2OM2ON22﹣ (AC 2BD2) ,∵6≤AC 2BD2≤7,∴2﹣ ≤OE 2≤2﹣ ,∴ ≤OE 2≤ ,∴ (OE>0) ;(3)由题意得,A( ,0) ,B (0,c ) ,C ( ,0) ,D (0 ,﹣ac ) ,∵a >0 ,c <0,∴OA ,OB ﹣c,OC ,OD ﹣ac,AC ,BD﹣ac﹣c,∴S ACBD﹣ (acc) ,S 1 OAOB﹣ ,S 2 OCOD﹣,S3 OAOD﹣ ,S 4 OBOC﹣ ,∵ , ,∴ ,∴ 2,∴a1,∴S﹣c ,S 1﹣ ,S 4﹣ ,∵ ,∴SS 1S22 ,∴﹣c ﹣ 2 ,∴﹣ ﹣c ,∴ ,∴b0,∴A(﹣ ,0) ,B(0,c) ,C( ,0) ,d (0,﹣c) ,∴四边形 ABCD 是菱形,∴4AD12 ,∴AD3 ,即AD 290,∵AD 2c2﹣c,∴c 2﹣c90,∴c ﹣9 或 c10(舍) ,即yx 2﹣9./p

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