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    2018年长沙市中考数学试卷及答案解析.doc

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    2018年长沙市中考数学试卷及答案解析.doc

    1、2018 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分)1 (3.00 分) 2 的相反数是(  )A 2 B C2 D2 (3.00 分)据统计, 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部 ”,数据 10200 用科学记数法表示为(  )A0.102 105 B10.210 3 C1.02 104 D1.0210 33 (3.00 分)下列计算正确的是(  )Aa 2+a3=a5 B3 C (x 2

    2、) 3=x5 Dm 5m3=m24 (3.00 分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(  )A4cm,5cm,9cm B8cm,8cm,15cm C5cm,5cm ,10cmD6cm,7cm ,14cm5 (3.00 分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A B C D6 (3.00 分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )A B CD7 (3.00 分)将下列如图的平面图形绕轴 l 旋转一周,可以得到的立体图形是(  )A B C D8 (3.00 分)下列说法正确的是(  )A任意掷一枚质地均匀的硬币 1

    3、0 次,一定有 5 次正面向上B天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”,表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件D “a 是实数,|a|0” 是不可能事件9 (3.00 分)估计 +1 的值是(  )A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间10 (3.00 分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系根据图象,下列说法正确的是(  )A小明吃早餐用了 25minB小

    4、明读报用了 30minC食堂到图书馆的距离为 0.8kmD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min11 (3.00 分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?” 这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1 里=500米,则该沙田的面积为(  )A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米12 (3.00 分)若对于任意非零实数 a,抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点

    5、P(x 03,x 0216) ,则符合条件的点 P(  )A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无穷多个二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)13 (3.00 分)化简: =     14 (3.00 分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为     度15 (3.00 分)在平面直角坐标系中,将点 A(2,3 )向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A的

    6、坐标是     16 (3.00 分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是     17 (3.00 分)已知关于 x 方程 x23x+a=0 有一个根为 1,则方程的另一个根为      18 (3.00 分)如图,点 A,B,D 在O 上,A=20,BC 是O 的切线,B 为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则OCB=     度三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第

    7、 22、23 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 (6.00 分)计算:( 1) 2018 +(3) 0+4cos4520 (6.00 分)先化简,再求值:(a+b ) 2+b(ab)4ab ,其中 a=2,b= 21 (8.00 分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为 10 分,最低分为 6 分)请根据图中信息,解答下列问题:(1)本次调查一共抽取了   &nb

    8、sp; 名居民;(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(3)社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动,得 10 分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品?22 (8.00 分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图,A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC=80千米,A=45,B=30(1)开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可

    9、以少走多少千米?(结果精确到 0.1千米) (参考数据: 141, 1.73)23 (9.00 分)随着中国传统节日“ 端午节”的临近,东方红商场决定开展 “欢度端午,回馈顾客” 的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒,乙品牌粽子 100 盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?24 (9.00 分)如图,在 ABC

    10、中,AD 是边 BC 上的中线,BAD=CAD,CEAD ,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC=8,AD=3(1)求 CE 的长;(2)求证:ABC 为等腰三角形(3)求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离25 (10.00 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (m 为常数,m1,x 0 )的图象经过点 P(m,1)和 Q(1,m) ,直线 PQ 与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点,点 M(x,y )是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B(1)求OCD 的度数;(2)当 m=3,1x3 时,存在点 M 使

    11、得OPMOCP,求此时点 M 的坐标;(3)当 m=5 时,矩形 OAMB 与OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1?请说明你的理由26 (10.00 分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”(1)在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有     ;在凸四边形 ABCD 中,AB=AD 且 CBCD ,则该四边形     “十字形” (填“是”或“不是”)(2)如图 1,A,B,C ,D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点,AC 与 BD 交于点 E,ADB CDB= ABD CBD ,当 6AC 2+

    12、BD27 时,求 OE的取值范围;(3)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+c(a ,b,c 为常数,a 0,c 0)与 x 轴交于 A,C 两点(点 A 在点 C 的左侧) ,B 是抛物线与 y 轴的交点,点 D 的坐标为(0, ac) ,记“ 十字形”ABCD 的面积为 S,记AOB ,COD, AOD,BOC 的面积分别为 S1,S 2,S 3,S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式; = ; = ;“ 十字形”ABCD 的周长为 12 2018 年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在

    13、答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共 12 个小题, 每小题 3 分 ,共 36 分)1 (3.00 分) 2 的相反数是(  )A 2 B C2 D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案【解答】解:2 的相反数是 2,故选:C2 (3.00 分)据统计, 2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部 ”,数据 10200 用科学记数法表示为(  )A0.102 105 B10.210 3 C1.02 104 D1.0210 3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1|a |10,n 为整数确定 n 的值时,

    14、要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数【解答】解:10200=1.0210 4,故选:C3 (3.00 分)下列计算正确的是(  )Aa 2+a3=a5 B3 C (x 2) 3=x5 Dm 5m3=m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案【解答】解:A、a 2+a3,无法计算,故此选项错误;B、3 2 = ,故此选项错误;C、 ( x2) 3=x6,故此选项错误;D、m 5m3=m2,正确故选:D4 (3.00 分)下列长

    15、度的三条线段,能组成三角形的是(  )A4cm,5cm,9cm B8cm,8cm,15cm C5cm,5cm ,10cmD6cm,7cm ,14cm【分析】结合“ 三角形中较短的两边之和大于第三边”,分别套入四个选项中得三边长,即可得出结论【解答】解:A、5+4=9,9=9,该三边不能组成三角形,故此选项错误;B、8 +8=16,1615,该三边能组成三角形,故此选项正确;C、 5+5=10,10=10,该三边不能组成三角形,故此选项错误;D、6+7=13,13 14,该三边不能组成三角形,故此选项错误;故选:B5 (3.00 分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

    16、  )A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解:A、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;故选:A6 (3.00 分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )A B CD【分析】先求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可【解答】解:解不等式 x+20 ,得:x 2,解不等式 2x40,得:x2 ,则不等式组的解集为2 x2,将解集表示在数轴上如下:故选:C7 (3.00 分)将下列如图

    17、的平面图形绕轴 l 旋转一周,可以得到的立体图形是(  )A B C D【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析,能求出结果【解答】解:绕直线 l 旋转一周,可以得到圆台,故选:D8 (3.00 分)下列说法正确的是(  )A任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5 次正面向上B天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”,表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件D “a 是实数,|a|0” 是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案【解答】解:A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次,一定有 5

    18、 次正面向上,错误;B、天气预报说“ 明天的降水概率为 40%”,表示明天有 40%的时间都在降雨,错误;C、 “篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件,正确;D、 “a 是实数,|a|0” 是必然事件,故此选项错误故选:C9 (3.00 分)估计 +1 的值是(  )A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围【解答】解:3 2=9,4 2=16, , +1 在 4 到 5 之间故选:C10 (3.00 分)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,

    19、小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系根据图象,下列说法正确的是(  )A小明吃早餐用了 25minB小明读报用了 30minC食堂到图书馆的距离为 0.8kmD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min【分析】根据函数图象判断即可【解答】解:小明吃早餐用了(258)=17min,A 错误;小明读报用了(5828)=30min,B 正确;食堂到图书馆的距离为(0.8 0.6)=0.2km,C 错误;小明从图书馆回家的速度为 0.810=0.08km/min, D 错误;故选:B11 (3.00 分)我国

    20、南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?” 这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1 里=500米,则该沙田的面积为(  )A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解:5 2+122=132,三条边长分别为 5 里,12 里,13 里,构成了直角三角形,这块沙田面积为: 550012500=750000

    21、0(平方米)=7.5(平方千米)故选:A12 (3.00 分)若对于任意非零实数 a,抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点P(x 03,x 0216) ,则符合条件的点 P(  )A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式,然后根据对于任意非零实数 a,抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点 P(x 03,x 0216) ,即可求得点 P 的坐标,从而可以解答本题【解答】解:对于任意非零实数 a,抛物线 y=ax2+ax2a 总不经过点P(x 03,x 0216) ,x 0216a (x 03) 2+a(x 03

    22、) 2a(x 04) (x 0+4)a(x 01) (x 04)(x 0+4)a(x 01)x 0=4 或 x0=1,点 P 的坐标为( 7,0)或( 2, 15)故选:B二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)13 (3.00 分)化简: = 1 【分析】根据分式的加减法法则:同分母分式加减法法则:同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减计算即可【解答】解:原式= =1故答案为:114 (3.00 分)某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成了如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 90 度【分析】根据圆心

    23、角=360百分比计算即可;【解答】解:“ 世界之窗”对应扇形的圆心角=360 (110%30% 20%15%)=90,故答案为 9015 (3.00 分)在平面直角坐标系中,将点 A(2,3 )向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,那么平移后对应的点 A的坐标是 (1,1) 【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案【解答】解:将点 A( 2,3)向右平移 3 个单位长度,得到(1,3) ,再向下平移 2 个单位长度,平移后对应的点 A的坐标是:( 1,1) 故答案为:(1,1) 16 (3.00 分)掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6

    24、的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是    【分析】先统计出偶数点的个数,再根据概率公式解答【解答】解:正方体骰子共六个面,点数为 1,2,3,4,5,6,偶数为2,4 ,6 ,故点数为偶数的概率为 = ,故答案为: 17 (3.00 分)已知关于 x 方程 x23x+a=0 有一个根为 1,则方程的另一个根为 2 【分析】设方程的另一个根为 m,根据两根之和等于 ,即可得出关于 m 的一元一次方程,解之即可得出结论【解答】解:设方程的另一个根为 m,根据题意得:1+m=3 ,解得:m=2故答案为:218 (3.00 分)如图,点 A,B,D 在O 上,A=20,BC 是

    25、O 的切线,B 为切点,OD 的延长线交 BC 于点 C,则OCB= 50 度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数,再根据切线的性质定理可得OBC=90,进而可求出求出OCB 的度【解答】解:A=20,BOC=40,BC 是 O 的切线,B 为切点,OBC=90,OCB=9040=50,故答案为:50三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第 22、23 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 (6.00 分)计算:( 1) 2018 +(3) 0+4c

    26、os45【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值 4 个考点在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解:原式=12 +1+4 =12 +1+2 =220 (6.00 分)先化简,再求值:(a+b ) 2+b(ab)4ab ,其中 a=2,b= 【分析】首先计算完全平方,计算单项式乘以多项式,然后再合并同类项,化简后,再代入 a、b 的值,进而可得答案【解答】解:原式=a 2+2ab+b2+abb24ab=a2ab,当 a=2,b= 时,原式=4+1=521 (8.00 分)为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了

    27、若干名居民开展主题为“ 打赢蓝天保卫战” 的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如图条形统计图(得分为整数,满分为 10 分,最低分为 6 分)请根据图中信息,解答下列问题:(1)本次调查一共抽取了 50 名居民;(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(3)社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动,得 10 分者设为“一等奖”,请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品?【分析】 (1)根据总数=个体数量之和计算即可;(2)根据平均数、总数、中位数的定义计算即可;(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可;【解答】解:(1)共抽取:4+10+

    28、15+11+10=50(人) ,故答案为 50;(2)平均数= (46+ 107+158=119+1010)=8.26;众数:得到 8 分的人最多,故众数为 8中位数:由小到大排列,知第 25,26 平均分为 8 分,故中位数为 8 分;(3)得到 10 分占 1050=20%,故 500 人时,需要一等奖奖品 50020%=100(份) 22 (8.00 分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A、B 两地间的公路进行改建如图,A、B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径C 地沿折线 ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC=80千米,A=45

    29、,B=30(1)开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米?(2)开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米?(结果精确到 0.1千米) (参考数据: 141, 1.73)【分析】 (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,在直角ACD 中,解直角三角形求出 CD,进而解答即可;(2)在直角CBD 中,解直角三角形求出 BD,再求出 AD,进而求出汽车从 A地到 B 地比原来少走多少路程【解答】解:(1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,ABCD,sin30= ,BC=80 千米,CD=BCsin30=80 (千米) ,AC= (千米) ,AC+B

    30、C=80+40 401.41+80=136.4(千米) ,答:开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米;(2)cos30= ,BC=80(千米) ,BD=BCcos30=80 (千米) ,tan45= ,CD=40 (千米) ,AD= (千米) ,AB=AD+BD=40+40 40 +401.73=109.2(千米) ,汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为:AC+BCAB=136.4 109.2=27.2(千米) 答:汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米23 (9.00 分)随着中国传统节日“ 端午节”的临近,东方红商场决定开展 “欢度端午,

    31、回馈顾客” 的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200元(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒,乙品牌粽子 100 盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?【分析】 (1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元,乙品牌粽子每盒 y 元,根据“打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元;打折后,买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200

    32、 元”,即可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)根据节省钱数=原价购买所需钱数 打折后购买所需钱数,即可求出节省的钱数【解答】解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元,乙品牌粽子每盒 y 元,根据题意得: ,解得: 答:打折前甲品牌粽子每盒 40 元,乙品牌粽子每盒 120 元(2)80 40+100120800.8401000.75120=3640(元) 答:打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元24 (9.00 分)如图,在 ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,BAD=CAD,CEAD ,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC=8,AD=3(1)求 CE

    33、 的长;(2)求证:ABC 为等腰三角形(3)求ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离【分析】 (1)证明 AD 为 BCE 的中位线得到 CE=2AD=6;(2)通过证明ABD CAD 得到 AB=AC;(3)如图,连接 BP、BQ、CQ,先利用勾股定理计算出 AB=5,设P 的半径为R, Q 的半径为 r,在 RtPBD 中利用勾股定理得到(R3) 2+42=R2,解得 R=,则 PD= ,再利用面积法求出 r= ,即 QD= ,然后计算 PD+QD 即可【解答】 (1)解:AD 是边 BC 上的中线,BD=CD,CEAD,AD 为BCE 的中位线,CE=2AD=6;(2)

    34、证明:BD=CD,BAD=CAD ,AD=AD ,ABD CAD,AB=AC,ABC 为等腰三角形(3)如图,连接 BP、BQ、CQ,在 RtABD 中,AB= =5,设P 的半径为 R,Q 的半径为 r,在 RtPBD 中, (R 3) 2+42=R2,解得 R= ,PD=PAAD= 3= ,S ABQ +SBCQ +SACQ =SABC , r5+ r8+ r5= 38,解得 r= ,即 QD= ,PQ=PD+QD= + = 答:ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 25 (10.00 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (m 为常数,m1,x 0 )的

    35、图象经过点 P(m,1)和 Q(1,m) ,直线 PQ 与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点,点 M(x,y )是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B(1)求OCD 的度数;(2)当 m=3,1x3 时,存在点 M 使得OPMOCP,求此时点 M 的坐标;(3)当 m=5 时,矩形 OAMB 与OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1?请说明你的理由【分析】 (1)想办法证明 OC=OD 即可解决问题;(2)设 M( a, ) ,由OPM OCP,推出 = = ,由此构建方程求出a,再分类求解即可解决问题;(3)不存在分三种情形说明:当 1x

    36、5 时,如图 1 中;当 x1 时,如图 2 中;当 x5 时,如图 3 中;【解答】解:(1)设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b,则有 ,解得 ,y= x+m+!,令 x=0,得到 y=m+1,D(0,m+1) ,令 y+0,得到 x=m+1,C(m+1,0) ,OC=OD,COD=90,OCD=45(2)设 M( a, ) ,OPMOCP, = = ,OP 2=OCOM,当 m=3 时,P(3,1) ,C(4,0) ,OP2=32+12=10,OC=4,OM= , = ,10=4 ,4a 425a2+36=0,(4a 29) (a 24)=0,a= ,a=2,1a3 ,a= 或 2,当

    37、 a= 时,M( ,2) ,PM= ,CP= , (舍弃) ,当 a=2 时,M(2, ) ,PM= ,CP= , = = ,成立,M( 2, ) (3)不存在理由如下:当 m=5 时,P(5,1) ,Q(1,5) ,设 M(x, ) ,OP 的解析式为: y= x,OQ 的解析式为 y=5x,当 1x5 时,如图 1 中,E ( , ) ,F(x, x) ,S=S 矩形 OAMBSOAF SOBE=5 x x =4.1,化简得到:x 49x2+25=0,O,没有实数根当 x1 时,如图 2 中,S=SOGH S OAM =2.5,不存在,当 x5 时,如图 3 中,S=SOTS S OBM

    38、=2.5,不存在,综上所述,不存在26 (10.00 分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”(1)在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 菱形,正方形 ;在凸四边形 ABCD 中,AB=AD 且 CBCD ,则该四边形 不是 “十字形” (填“是”或“不是”)(2)如图 1,A,B,C ,D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点,AC 与 BD 交于点 E,ADB CDB= ABD CBD ,当 6AC 2+BD27 时,求 OE的取值范围;(3)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+c(a ,b,c 为常数,a

    39、0,c 0)与 x 轴交于 A,C 两点(点 A 在点 C 的左侧) ,B 是抛物线与 y 轴的交点,点 D 的坐标为(0, ac) ,记“ 十字形”ABCD 的面积为 S,记AOB ,COD, AOD,BOC 的面积分别为 S1,S 2,S 3,S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式; = ; = ;“ 十字形”ABCD 的周长为 12 【分析】 (1)利用“十字形”的定义判断即可;(2)先判断出ADB +CAD= ABD+CAB,进而判断出AED= AEB=90,即:ACBD,再判断出四边形 OMEN 是矩形,进而得出 OE2=2 (AC 2+BD2) ,即可得出结论;(3)由题意得

    40、,A( ,0) ,B (0,c ) ,C ( ,0) ,D (0 ,ac ) ,求出 S= ACBD= (ac+c ) ,S 1= OAOB= ,S 2= OCOD=,S 3= OAOD= ,S 4= OBOC= ,进而建立方程 + = + ,求出 a=1,再求出b=0,进而判断出四边形 ABCD 是菱形,求出 AD=3 ,进而求出 c=9,即可得出结论【解答】解:(1)菱形,正方形的对角线互相垂直,菱形,正方形是:“ 十字形” ,平行四边形,矩形的对角线不一定垂直,平行四边形,矩形不是“十字形” ,故答案为:菱形,正方形;如图,当 CB=CD 时,在ABC 和 ADC 中, ,ABCADC(

    41、SSS) ,BAC=DAC,AB=AD,ACBD,当 CBCD 时,四边形 ABCD 不是“十字形” ,故答案为:不是;(2)ADB +CBD= ABD+CDB,CBD=CDB=CAB,ADB+CAD=ABD+CAB,180AED=180 AEB,AED= AEB=90,ACBD,过点 O 作 OMAC 于 M,ONBD 于 N,连接 OA,OD,OA=OD=1,OM 2=OA2AM2,ON 2=OD2DN2,AM= AC,DN= BD,四边形OMEN 是矩形,ON=ME,OE 2=OM2+ME2,OE 2=OM2+ON2=2 (AC 2+BD2) ,6AC 2+BD27,2 OE 22 ,

    42、OE 2 , (OE0) ;(3)由题意得,A( ,0) ,B (0,c ) ,C ( ,0) ,D (0 ,ac ) ,a 0 ,c 0,OA= ,OB= c,OC= ,OD= ac,AC= ,BD=acc,S= ACBD= (ac+c) ,S 1= OAOB= ,S 2= OCOD=,S3= OAOD= ,S 4= OBOC= , = + , = + , + = + , =2,a=1,S=c ,S 1= ,S 4= , ,S=S 1+S2+2 ,c = +2 , =c , = ,b=0,A( ,0) ,B(0,c) ,C( ,0) ,d (0,c) ,四边形 ABCD 是菱形,4AD=12 ,AD=3 ,即:AD 2=90,AD 2=c2c,c 2c=90,c= 9 或 c=10(舍) ,即:y=x 29


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