1、课题12 反比例函数的图象和性质,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 反比例函数的概念 形如 y= (k0,k为常数)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量,y是x 的函数,k称为比例系数. 某些情况下,反比例函数的关系式还可以表示为y=kx-1或xy=k(k0,且k为常 数).,基础知识梳理,考点二 反比例函数的图象与性质,1.反比例函数y= (k0)的图象是 双曲线 ,由分别位于 两个 象限 内的两条曲线组成.,2.反比例函数y= (k0)的图象和性质,3.反比例函数图象的对称性:反比例函数y= (k0)的图象是中心对称图形,对 称中心是 坐标原点 ;反比例函数的
2、图象也是轴对称图形,当k0时,对称 轴是第 一、三 象限角平分线所在的直线;当k0)的图象 是( D ),答案 D 对于y=-x2+3,当y=0时,x= ;当x=1时,y=2;当x=0时,y=3,抛物线 y=-x2+3与x轴围成封闭区域内(边界除外)的整点(点的横、纵坐标都是整数) 为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4个,k=4,反比例函数y= 的图象经过点(4,1). 故选D.,名师点拨 本题求解的关键环节有两个,一是根据抛物线与x轴围成封闭区 域内整点的个数求得k,由此确定反比例函数的表达式,进而确定双曲线的大 致范围;二是找到双曲线上的某个特殊点,由此确定题目的答案
3、.,变式训练1 (2017山东日照中考)反比例函数y= 的图象如图所示,则一次函 数y=kx+b(k0)的图象大致是 ( D ),答案 D y= 的图象经过第一、三象限,kb0,k,b同号. A中的图象过第一、二、四象限,则k0,此时,k,b 异号,不合题意;B中的图象经过原点,则b=0,k,b不能同号,不合题意;C中的图 象过第一、三、四象限,则k0,图象经过y轴负半轴,则b0,图象经过y轴正半轴,则b0,此 时,k,b同号,符合题意.,题型二 考查确定反比例函数的表达式 该题型主要考查利用待定系数法确定反比例函数的表达式,大致有四种类型: 已知反比例函数的一组对应值,求反比例函数表达式;已
4、知函数图象上的 一点的坐标,求反比例函数表达式;已知函数图象上某个与k有关的图形面 积,求反比例函数表达式;与一次函数、平面几何等知识相结合,求反比例 函数表达式.,典例2 (2018承德模拟)如图,一次函数y=kx-2的图象与反比例函数的图象交 于A、B两点,过点A作ACx轴于点C.已知cosAOC= ,OA= . (1)求反比例函数及直线AB的解析式; (2)求AOB的面积.,答案 (1)ACx轴,cosAOC= ,OA= , = ,解得OC=2. AC= = =1. 点A(-2,1). 设反比例函数的解析式为y= (a0),把点A的坐标代入,得a=-21=-2, 反比例函数的解析式为y=
5、- . 把(-2,1)代入y=kx-2中,得1=-2k-2,解得k=- , 直线AB的解析式为y=- x-2. (2)令一次函数y=- x-2=0, 解得x=- , 一次函数图象与x轴交于点 . 解方程组 得- x-2=- ,即3x2+4x-4=0,解得x1=-2,x2= . 在y=- x-2中,当x= 时,y=-3, B . SAOB= 1-(-3)= .,名师点拨 确定反比例函数表达式的主要方法是待定系数法,由于反比例函 数y= 中只有一个常数k,因此,解题的关键是找到函数的一组对应值或其图 象上的一点.通过本题的求解过程可以看出,利用待定系数法确定反比例函数 表达式,与利用待定系数法确定
6、一次函数表达式基本相同.,变式训练2 (2016定州一模)如图,四边形OABC是矩形,四边形CDEF是正方 形,点C,D在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,点F在BC上,点B,E在反比例 函数y= 的图象上,OA=2,OC=1,则正方形CDEF的面积为 ( B ),A.4 B.1 C.3 D.2,答案 B OA=2,OC=1,点B的坐标为(1,2). 又点B在函数y= 的图象上, k=12=2,反比例函数的表达式为y= . 设CD=t,则OD=1+t,E(1+t,t). 又点E在函数y= 的图象上,(1+t)t=2, 整理,得t2+t-2=0,解得t1=1,t2=-2(舍去), CD=1,
7、即正方形CDEF的边长为1,面积为1.,题型三 k的几何意义 该题型主要考查利用反比例函数解决实际问题,在这类问题中,根据实际问题 建立反比例函数模型或根据反比例函数的图象求其函数表达式是问题求解 的关键.,典例3 (2018石家庄模拟)如图,一次函数y=kx+b(k”“”或“=”).,易错警示 本题容易出现的错误是盲目套用反比例函数的性质,从而根据 “当k0时,y随x的增大而增大”得出y1y2.,答案 ,典例2 如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点P是双 曲线y= (x0)上的一个动点,PBy轴于点B,当点P的横坐标逐渐增大时,四边 形OAPB的面积将会 ( C )A.
8、逐渐增大 B.不变 C.逐渐减小 D.先增大后减小,易错二 不理解k的几何意义,易错警示 本题容易出现的错误是不理解k的几何意义,因此,不能运用k的几 何意义解决问题,所以当点P的横坐标逐渐增大时,误认为四边形OAPB的面 积会随着PB的增加而逐渐增加,由此出现误选A的错误.,解析 连接OP.设点P的坐标为(x,h).PBy轴于点B, S四边形OAPB =SPOB+ SPOA= + OAh. 通过观察函数图象可知,当x逐渐增大时,h逐渐减小. 点A是x轴正半轴上的一个定点, OA为一个定值, OAh 的值逐渐减小,即SPOA的值逐渐减小, 四边形OAPB的面积逐渐减小.故选C.,答案 C,1.
9、下列函数中,是反比例函数的为 ( C ) A.y=2x+1 B.y= C.y= D.2y=x,随堂巩固检测,2.已知y是x的正比例函数,x是z的反比例函数,则 ( B ) A.y是z的正比例函数 B.y是z的反比例函数 C.y是z的函数但不一定是反比例函数 D.y是z的函数但不一定是正比例函数,3.已知y是x的反比例函数,比例系数k=12,那么x=3时的函数值为 ( A ) A.4 B.9 C.15 D.36,4.下列各点中,在函数y=- 图象上的是 ( A ) A.(-2,4) B.(2,4) C.(-2,-4) D.(8,1),6.若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限内,则m的取值范围
10、是 m0 D.y1y20,7.如图,A是反比例函数y= 图象上的一点,过点A作ABy轴于点B,点P在x轴 上,ABP的面积为2,则这个反比例函数的解析式为 y= .,8.如图,已知双曲线y= (k0)的图象经过点D,点P是一次函数y=kx+3-3k(k0)的图象与该反比例函 数图象的一个公共点. (1)求反比例函数的表达式; (2)通过计算,说明一次函数y=kx+3-3k(k0) 的图象一定过点C; (3)对于一次函数y=kx+3-3k(k0),当y随x的增大而增大时, 确定点P的横坐标的取值范围(不必写出过程).,答案 (1)由题意得,AD=BC=2,故点D的坐标为(1,2). 反比例函数y= (x0)的图象经过点D(1,2),2= ,m=2. 反比例函数的表达式为y= . (2)当x=3时,y=3k+3-3k=3, 一次函数y=kx+3-3k(k0)的图象一定过点C. (3)设点P的横坐标为a, 其取值范围为 a3.,
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