1、课题23 锐角三角函数,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,A的余弦:cos A= = ; A的正切:tan A= = .,考点二 特殊角的三角函数值,考点三 直角三角形的边角关系 如图所示,在RtABC中,C=90,则有下列结论成立:,1.三边关系:勾股定理: a2+b2=c2 .,2.角的关系:A+B=C= 90 .,3.边角关系:sin A= =cos B,cos A= =sin B,tan A= . 温馨提示 解题时还经常用到同名三角函数之间的关系,如:sin2+cos2=1, sin =cos(90-),tan = 等.,考点四 解直角三角形及解直角三角形的实际应
2、用问题 1.解直角三角形有两种基本类型: (1)已知一个锐角与一条边解直角三角形:如果已知三角形的一个锐角与一条 边,根据“直角三角形两锐角互余”即可求得另一个锐角;根据锐角三角函数 可以求得另外两条边. (2)已知两条边解直角三角形:如果已知三角形的两条边,根据勾股定理即可 求得另一条边;然后根据锐角三角函数可以求得其中一个锐角,进而根据“直 角三角形两锐角互余”求得另一个锐角.,2.利用解直角三角形的知识,可以解决一些简单的实际问题,如视角问题、方 位角问题、坡度与坡角问题等.解题的基本方法是:利用图中的直角三角形或 构造直角三角形,把实际问题转化为解直角三角形问题.,题型一 考查锐角三角
3、函数 该题型主要考查锐角三角函数的概念以及特殊角的三角函数值.,中考题型突破,典例1 (2017承德六校一模)如图,ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则 cos C的值为 ( D )A. B. C. D.,答案 D 过点A作ADBC,交CB的延长线于点D,如图所示,则ACD是直 角三角形,且ADC=90.设网格中每个小正方形的边长均为1,则AD=2,CD=4. 在RtACD中,根据勾股定理,得AC= = =2 , cos C= = = .,名师点拨 根据锐角三角函数的定义知,要想求一个锐角的三角函数值,首先 要找到这个锐角所在的直角三角形,若图中没有直角三角形,则根据已知条件 构造所需要的直
4、角三角形,然后进行求解.,变式训练1 (2018唐山模拟)如图所示,在ABC中,AB=AC=13,BC=24,则tan B 等于 ( B )A. B. C. D.,答案 B 过点A作ADBC于点D,如图,则BD=12.在RtABD中,AB=13,BD=12,根据勾股定理,得AD= = =5. tan B= = .,题型二 解直角三角形 该题型主要考查解直角三角形,主要内容是根据已知的直角三角形的边角求 出该三角形中的其余元素.,典例2 (2018邢台宁晋模拟)如图所示,在ABC中,已知ACB=90,CDAB 于点D,BEAB=35,若CE= ,cosACD= . (1)求cosABC; (2)
5、求AC的长.,答案 (1)在RtACD与RtABC中, ABC+CAD=90,ACD+CAD=90, ABC=ACD, cosABC=cosACD= . (2)由cosABC= ,得 = . 设BC=4k,则AB=5k,根据勾股定理,得AC=3k. 由BEAB=35,得BE=3k,则CE=BC-BE=k.,CE= , k= , AC=3 .,名师点拨 本题的求解体现了两点解题技巧:一是在求三角函数值时,不但要 深刻理解三角函数的定义,还要灵活运用平面几何中角的代换等方法,如(1) 中,根据“同角的余角相等”,把求ABC的余弦转化为求ACD的余弦;二 是注意利用三角函数值是一个比值的特点,由此可
6、把AC、BC等线段都用同 一个辅助未知数k表示,从而顺利求得AC的长.,变式训练2 (2018承德兴隆模拟)在ABC中,AD是BC边上的高, tan B=cosDAC. (1)求证:AC=BD; (2)若sin C= ,AD=24,求BC的长.,答案 (1)证明:AD是BC边上的高,ADBC, ADB=90,ADC=90. 在RtABD和RtADC中, tan B= ,cosDAC= ,tan B=cosDAC, = ,AC=BD. (2)在RtADC中,sin C= = ,即 = , 解得AC=26. CD= = =10.,AC=BD=26, BC=BD+CD=26+10=36.,题型三 解
7、直角三角形的实际应用 该题型主要考查利用解直角三角形的知识解决实际生活中的相关问题.,典例3 2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成 功将第5颗新一代北斗导航卫星送入预定轨道.如图,火箭从地面L处发射,当 火箭到达点A时,从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6 km,仰角为42.4; 1秒后火箭到达点B,此时测得仰角为45.5. (1)求发射台与雷达站之间的距离LR; (2)这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果 精确到0.01)?,(参考数据:sin 42.40.67,cos 42.40.74,tan 42.40.905,sin 45.50.71, cos 45.
8、50.70,tan 45.51.02 ),答案 (1)在RtALR中,AR=6,ARL=42.4, 由cosARL= ,得LR=ARcosARL=6cos 42.44.44. 故发射台与雷达站之间的距离LR约为4.44 km. (2)在RtBLR中,LR4.44,BRL=45.5, 由tanBRL= ,得BL=LRtanBRL=4.44tan 45.54.528 8. 由sinARL= ,得AL=ARsinARL=6sin 42.44.02, AB=BL-AL=4.528 8-4.02=0.508 8. 火箭从A到B需要的时间为1秒,0.508 810.51(km/s). 故这枚火箭从A到B的
9、平均速度约为0.51 km/s.,名师点拨 利用锐角三角函数进行边或角的计算时,一般方法是先找到有关 的直角三角形,当题目中没有解题所必需的直角三角形时,要先通过作辅助线 构造直角三角形,然后根据已知条件选择适当的锐角三角函数,其中容易出现 的错误是没有正确找到已知角的对边、邻边或直角三角形的斜边,从而在利 用锐角三角函数解题时出现错误.本题的解题思路如下:(1)根据题意直接利 用锐角三角函数关系得出LR=ARcosARL,即可求出结果;(2)根据题意直接 利用锐角三角函数关系得出BL=LRtanBRL,再通过AL=ARsinARL,求出 AB的值,进而得出答案.,变式训练3 (2017衡水冀
10、州模拟)如图,在海拔200米的小山顶A处,观察M,N两 地,俯角分别为30,45,则M,N两地的距离为 ( D )A.200 米 B.200 米 C.400 米 D.200( +1) 米,答案 D 过点A作ABMN于点B,如图所示,易知M=30,N=45, 在RtABM中,ABM=90,AB=200米,M=30, tan M= ,即tan 30= , BM=200 米; 在RtABN中,ABN=90,N=BAN=45, BN=AB=200米. MN=BM+BN=200 +200=200( +1)米.,典例1 (2017沧州模拟)计算2cos 30-tan 45- 的正确结果是 ( B ) A.
11、2 -2 B.0 C.2 D.2,易错一 对三角函数值是实数的概念不理解,易混易错突破,易错警示 本题的易错之处是对三角函数值是实数的概念理解不清,因此在 化简 时,误认为 =1-tan 60,由此出现选A的错误.,解析 原式=2cos 30-tan 45-(tan 60-1) =2 -1-( -1) = -1- +1 =0.,解析 在ABC中,A,B均为锐角,且(tan B- )(2sin A- )=0, tan B- =0或2sin A- =0. 由tan B- =0,解得B=60; 由2sin A- =0,得sin A= ,解得A=60. ABC是有一个角是60的三角形.,易错警示 本题
12、容易出现的错误是不理解“或”与“且”的关系,因为tan B - =0与2sin A- =0不一定同时成立,所以A=60与B=60不一定同时成 立,所以ABC是有一个角是60的三角形,不理解这一点,将会出现误选B的 错误.,1.(2018大庆中考)计算2cos 60= ( A ) A.1 B. C. D.,随堂巩固检测,2.如图所示的是一个含有30角的直角三角板,其中AC=30 cm,C=90,则BC 边的长为 ( C )A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm,3.已知锐角,且sin =cos 37,则等于 ( C ) A.37 B.63 C.53 D.45,4.在RtAB
13、C中,C=90,B=60,那么sin A+cos B的值为 ( A ) A.1 B. C. D.,5.如图,ABC的各个顶点都在正方形网格的格点上,且每个小正方形的边长 均为1,则sin A的值为 ( A )A. B. C. D.,7.如图所示,在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则 sin B的值是 .,6.(2018滨州中考)在ABC中,C=90,若tan A= ,则sin B= .,8.如图,ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tanBAC等于 .,答案 过点A作ADBC,垂足为D,则ACD=45,ABD=30,如图所示.设CD=x海里,则AD=x海里. 在RtABD中,BD= = = x,则BC=BD+CD= x+x=( +1)x. 又BC=20(1+ ), ( +1)x=20(1+ ), 解得x=20. AC= CD=20 . 答:A,C之间的距离为20 海里.,
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