1、课题37 概 率,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 事件的分类,基础知识梳理,考点二 概率的概念及其计算 1.概率的概念:表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率,事件 A的概率记作P( A ) .,2.概率的计算公式:如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种 结果,那么事件A发生的概率P(A)= .,3.列举法求随机事件的概率 (1)列表法:当一次试验涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不 重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法求事件发生的概率. (2)画树形图法:当一次试验涉及3个或更多的因素时,通常采用画树形图法来 求事件发
2、生的概率. 温馨提示 画树形图法与列表法是求简单事件的概率的两种主要方法,但要 注意:凡是具有两步试验的简单事件,既可以利用树形图法求解,也可以利用列 表法求解,但对于具有三步试验的简单事件,列表法远不如画树形图法方便. (3)用频率估计概率.,考点三 频率与概率的关系 1.频率:试验中,某事件出现的次数与总次数的比值叫做频率.,2.概率是伴随着随机事件客观存在的,只要有一个随机事件存在,就有一个概 率存在,而频率是通过试验得到的,它随着试验次数的变化而变化,但当试验 次数充分大时,频率在概率的附近摆动,为了求出一个事件的概率,我们可以 通过多次试验,用所得的频率来估计事件的概率.,题型一 考
3、查事件的分类 该题型主要考查事件的分类,根据具体问题确定事件类型.,中考题型突破,典例1 (2018邢台宁晋模拟)在一个透明的口袋中装着大小、外形一模一样 的5个黄球,2个红球和2个白球,这些球在口袋中被搅匀了,下列事件:从口袋 中任意摸出一个球是一个黄球或是一个白球;从口袋中一次任意摸出5个 球,全是黄球;从口袋中一次任意摸出8个球,三种颜色都有;从口袋中一次 任意摸出6个球,有黄球和红球,或有黄球和白球,或三种颜色都有.其中,必然 发生的是 ( C ) A. B. C. D.,答案 C 口袋中有三种颜色的球,“任意摸出一个球是一个黄球或 是一个白球”是随机事件;口袋中有三种颜色的球,“一次
4、任意摸出5 个球,全是黄球”是随机事件;从口袋中一次任意摸出8个球的结果有5个 黄球,2个红球,1个白球,或5个黄球,2个白球,1个红球或4个黄球,2个红球,2个 白球,“一次任意摸出8个球,三种颜色都有”是必然事件;同理可知是必 然事件.,名师点拨 对事件进行分类时,要注意两点:一是对事件分类的唯一依据是各 类事件的定义;二是对事件分类时会经常利用日常生活中的经验,因此要求我 们不但要灵活运用所学的知识,还要注意对日常生活中的经验进行积累.,变式训练1 (2017河北模拟)在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全 相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋子中一次摸出3个球.下列事件是 不可
5、能事件的是 ( A ) A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球 C.摸出的是2个白球、1个黑球 D.摸出的是2个黑球、1个白球,答案 A 袋子中只有2个白球,“摸出的是3个白球”是不可能事件.故 选A.,题型二 考查概率的计算 该题型主要考查概率的计算,主要内容包括:利用公式计算只有一步试验的随 机事件的概率;利用列举法求具有两步或两步以上试验的随机事件的概率.,典例2 (2017唐山迁安一模)小伟和小欣玩一种抽卡片游戏:将背面完全相 同、正面分别写有1,2,3,4的四张卡片洗匀后背面向上放置,小伟和小欣各自 随机抽取一张(不放回).将小伟的数字作为十位数字,小欣的数字作为个位数 字,组成
6、一个两位数.如果所组成的两位数为偶数,则小伟胜;否则小欣胜. (1)当小伟抽取的卡片数字为2时,问两人谁获胜的可能性大? (2)通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平.,答案 (1)列表如下:,画树形图如图:由表中数据或树形图知,当小伟抽取的卡片上的数字为2时,共有3种等可能的 情况,其中是偶数的只有1种情况, P(小伟胜)= ,P(小欣胜)= ., , 小欣获胜的可能性大. (2)这个游戏对小伟和小欣是公平的.理由如下: 由(1)可知共有12种等可能的结果,其中是偶数的有6种情况,是奇数的有6种 情况, P(小伟胜)= = ,P(小欣胜)= = . 这个游戏对小伟和小欣是公平的.,名师点拨
7、 列表法或画树形图法可以不重复不遗漏地列出所有可能结果,适 合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同,游戏就公平,否则游戏就不 公平.,变式训练2 (2018青岛中考)小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明 想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过做游戏来决 定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游戏规则是在三张完全相同的卡 片上分别标记4、5、6三个数字,一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数 字后放回,另一人再从中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的 数字之和为偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动,若抽出的两张卡片标 记的数字之和为奇数,则按照小亮的想
8、法参加文明礼仪宣传活动.你认为这个 游戏公平吗?请说明理由.,答案 不公平.列表表示所有可能的结果:,由上表可知,共有9种等可能的结果,其中和为偶数的有5种结果,和为奇数的有4种结果, 设事件A为“参加敬老服务活动”,事件B为“参加文明礼仪宣传活动”, P(A)= ,P(B)= ., ,这个游戏不公平.,题型三 考查频率与概率的关系 该题型主要考查用频率估计概率以及概率的有关计算.,典例3 (2017河北模拟)在一个不透明的口袋中,红色、黑色、白色的球共有 60个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现,摸到红色球、 黑色球的频率稳定在15%、40%,则口袋中白色球的个数很可能是 (
9、 D ) A.25 B.26 C.29 D.27 答案 D 摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%、40%, 摸到白色球的频率为1-15%-40%=45%,即摸到白色球的概率为0.45. 口袋中白色球的个数可能是600.45=27个. 名师点拨 本题求解的关键是理解频率估计概率,属容易题.,变式训练3 (2018石家庄模拟)在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、 白两种颜色的球共4个,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一 个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中的一组统计数 据:,(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 0.5 ;(精确到0.1) (2)试
10、估算口袋中白球有多少个; (3)若从中先摸出一球,放回后再摸出一球,请用列表或画树状图的方法(只选 其中一种),求两次摸到的球颜色相同的概率.,答案 (1)0.5. (2)设口袋中白球有x个. 由(1)可得,P(从中随机摸出一个球是白球)=0.5, =0.5,解得x=2. 答:估计口袋中白球有2个. (3)列表得:,由列表可得,共有16种等可能结果,其中两个球颜色相同的有8种可能. P(两次摸到的球颜色相同)= = .,题型四 统计与概率的综合应用 该题型主要考查统计与概率的综合应用,以统计知识为题干,通过计算统计问 题,再进一步进行有关概率的计算.,典例4 (2018河北模拟)老师随机抽查了
11、本学期学生读课外书册数的情况,绘 制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其中条形图被墨迹遮盖了一部分. (1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数; (2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的 概率; (3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发 现册数的中位数没改变,则最多补查了 3 人.,答案 (1)抽查的学生总数为625%=24(人). 读书为5册的学生数为24-5-6-4=9(人), 条形图中被遮盖的数为9. 则册数的中位数为5. (2)读书超过5册的学生人数为6+4=10(人), P(选中读书超过5册的学生)= =
12、. (3)读书4册和5册的人数和为14,中位数没改变, 总人数不能超过27,即最多补查了27-24=3人. 故答案为3.,名师点拨 在概率与统计图相结合的题目中,求概率的基本方法仍然是利用 概率计算公式P(A)= ,即根据统计图的相关知识求得事件A可能出现的结果 数k与所有结果数n,代入公式即可求得答案.,变式训练4 (2017河北中考)编号为15号的5名学生进行定点投篮,规定每人 投5次,每命中1次记1分,没有命中记0分.如图是根据他们各自的累积得分绘 制的条形统计图.之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次,其命中率为 40%. (1)求第6号学生的积分,并将图增补为这6名学生积分的条形
13、统计图; (2)在这6名学生中,随机选一名学生,求选上命中率高于50%的学生的概率; (3)最后,又来了第7号学生,也按同样记分规定投了5次.这时7名学生积分的众 数仍是前6名学生积分的众数,求这个众数以及第7号学生的积分.,答案 (1)6号学生的积分为540%1=2(分). 增补的条形统计图如图.(2)这6名学生中,有4名学生的命中率高于50%,P(选上命中率高于50%的学生)= . (3)前6名学生的积分中,3出现的次数最多,众数是3. 7名学生积分的众数是3,7号命中3次或没有命中. 7号的积分是3分或0分.,易错一 对事件分类的概念不理解而导致错解,易混易错突破,典例1 事件“任意写出
14、一个实数,这个实数的平方是正数”是 ( C ) A.必然事件 B.不可能事件 C.随机事件 D.大部分情况下是必然事件,易错警示 本题易错的原因有两种:一是对实数的概念不理解:二是对事件分 类的概念不理解.每个事件要么是必然事件,要么是不可能事件或随机事件, 三者必居其一,没有第四种事件.,解析 当这个实数不为0时,其平方是正数;当这个实数为0时,其平方仍是0.所 以该事件是随机事件.故选C. 答案 C,典例2 下列说法正确的是 ( D ) A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨 B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 C.“彩票中奖的概率为1%
15、”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为 ”表示随着抛掷次 数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在 附近,易错二 不理解概率的意义而导致错解,易错警示 本题的易错点是不理解概率的意义,从而混淆了概率与频率的区 别,实际上,概率是一个统计数据,反映了事物总体的变化规律,所以对于有限 次的试验,频率与概率的值并不一定相等.,解析 “明天降雨的概率是80%”表示降雨的可能性为80%,A不正确;B、C 混淆了频率与概率的区别,故不正确;只有D正确. 答案 D,易错三 混淆“放回型”与“不放回型”试验的区别典例3 现有四张完全相同的卡片,上面
16、分别标有数字-1,-2,3,4.把卡片背面朝 上洗匀,然后从中随机抽取两张,则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 .,易错警示 本题的易错点是混淆“放回型”与“不放回型”试验的区别.随 机抽取两张卡片等同于先抽一张,然后不放回地再抽一张.,解析 画树形图如下:本次试验共有12种等可能的结果,两张卡片上的数字之积为负数的情况为(- 1,3),(-1,4),(-2,3),(-2,4),(3,-1),(3,-2),(4,-1),(4,-2),共有8种,所以两张卡片上的数 字之积为负数的概率是 = .,答案,1.下列事件中是不可能事件的是 ( B ) A.抛一枚硬币正面朝上 B.三角形中有两个角为直
17、角 C.打开电视正在播广告 D.两实数和为正,随堂巩固检测,2.(2018廊坊安次一模)下列事件中,属于必然事件的是 ( B ) A.三条线段围成一个三角形 B.1小时等于60分钟 C.三角形的内角和为360 D.数轴上一点表示有理数,3.在一个不透明的盒子中装有12个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余 均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是 ,则黄球的个数为 ( C ) A.18 B.20 C.24 D.28,4.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中,统计了某一结果出现的 频率,并绘制出统计图如图所示,则符合这一结果的试验可能是 ( B )A.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出
18、现1点的概率 B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率,C.抛一枚硬币,出现正面朝上的概率 D.任意写一个整数,它能被2整除的概率,5.(2018广西贵港中考)笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔,将它们逐 一标上110的号码,若从笔筒中任意抽出一支铅笔,则抽到编号是3的倍数的 概率是 ( C ) A. B. C. D.,6.(2018扬州中考)有4根细木棒,长度分别为2,3,4,5,从中任选3根,恰好能搭成 一个三角形的概率是 .,7.有5张卡片,上面分别画有圆、正方形、等边三角形、正五边形、线段,将 卡片画面朝下随意放在桌上,任取一张,那么取到卡片对应的图形是中心
19、对称 图形的概率是 .,8.(2018石家庄长安一模)如图所示,在33的正方形网格中,点A,B,C,D,E,F,G 都是格点,从C,D,E,F,G五个点中任意取一点,以所取点及AB为顶点画三角形, 所画三角形是等腰三角形的概率是 .,9.在校园文化艺术节中,九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖,另有2 名男生和2名女生获得音乐奖. (1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会,求刚好是男生 的概率; (2)分别从获得美术奖和音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会,用列表或 画树形图的方法求刚好是一名男生与一名女生的概率.,答案 (1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会,则P(刚 好是男生)= = . (2)设获得美术奖的学生为男1,女1,女2,获得音乐奖的学生为男2,男3,女3,女4. 列表如下:,根据表格可知,共有12种等可能的结果,其中刚好是一名男生与一名女生的结 果有6种, P(刚好是一名男生与一名女生)= = .,
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