1、2018-2019 年广东省广州 XX 中学九年级（上）月考数学试卷（10 月份）一选择题（每题 3 分，共 30 分）1 （3 分）16 平方根是（ ）A4 B4 C4 D82 （3 分）方程 2x26x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A6 ，2 ，9 B2，6，9 C2，6， 9 D2，6，93 （3 分）抛物线 y=（x2 ） 23 的顶点坐标是（ ）A （2 ， 3） B （2，3） C （2，3） D （2，3）4 （3 分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）Ax 2+2x=0 B （x 1） 2=0 Cx 2=1 Dx 2+1=05 （3 分）如图，是一
2、条抛物线的图象，则其解析式为（ ）Ay=x 22x+3 By=x 22x3 Cy=x 2+2x+3 Dy=x 2+2x+36 （3 分）直角三角形两条直角边的和为 7，面积是 6，则斜边长是（ ）A B5 C D77 （3 分）把 160 元的电器连续两次降价后的价格为 y 元，若平均每次降价的百分率是x，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）Ay=320（x1） By=320（1x）C y=160（1 x2） Dy=160 （1 x） 28 （3 分）已知函数 y=（ k3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak 4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk 4 且 k
3、39 （3 分）三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x216x+60=0 一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A24 B48 C24 或 8 D810 （3 分）函数 y=ax22x+1 和 y=ax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A BC D二填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）已知（1，y 1） ， （2，y 2） ， （ 3，y 3）都在函数 y=x2 图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系为 （用“” 连接） 12 （3 分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场设共有x 个队参加比赛，
4、则依题意可列方程为 13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x25x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 可取的最大整数为 14 （3 分）已知点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1） 23 的图象上，当2x1 时，y的取值范围是 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（0，2） ， （1，0） ，顶点 C 在函数 y= x2+bx1 的图象上，将正方形 ABCD 沿 x 轴正方形平移后得到正方形 ABCD，点 D 的对应点 D落在抛物线上，则点 D 与其对应点D间的距离为 16 （3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与
5、 x 轴的两个交点分别为（ 1，0） ，（3，0）对于下列命题：b 2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的有 三、解答题（共 102 分）17 （10 分）解方程（1）x 24x=0（2）2x 2+3=7x18 （8 分）已知 x1=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x219 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2） ， （0， 2） ，函数的最小值是4（1）求二次函数的解析式（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案20 （10 分）某商店进行促销活动，如果将进价为 8 元/件的商品按每
6、件 10 元出售，每天可销售 100 件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 mx2（2m 2）x +m=0 有实根（1）求 m 的取值范围；（2）若原方程两个实数根为 x1，x 2，是否存在实数 m，使得 + =1？请说明理由22 （8 分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度 AB=8m，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6m（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是
7、 4.4m，货车的宽度是 2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道23 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m2（2）当 BC 为何值时，矩形 ABCD 的面积有最大值？并求出最大值24 （10 分）如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，4） 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q从点
8、O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q也停止运动连接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 ，点 D 的坐标为 （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值时， PBE 为等腰三角形？（3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值25 （10 分）已知直线 l：y=2，抛物线 C：y=ax 21 经过点（2 ，0）（1）求 a 的值；（2）如图，点 P 是抛物线 C 上
9、任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1如图，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足分别为 M，N ，连接 ON， OM，求证：OMON；2如图，点 D（1，1） ，使探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一选择题（每题 3 分，共 30 分）1 （3 分）16 平方根是（ ）A4 B4 C4 D8【分析】依据平方根的定义和性质求解即可【解答】解：16 平方根是4故选：C【点评】本题主要考查的是
10、平方根的定义和性质，掌握平方根的性质是解题的关键2 （3 分）方程 2x26x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A6 ，2 ，9 B2，6，9 C2，6， 9 D2，6，9【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0） ，特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式【解答】解：方程 2x26x=9 化成一般形式是 2x26x9=0，二次项系数为 2，一次
11、项系数为6，常数项为 9故选：C【点评】注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号3 （3 分）抛物线 y=（x2 ） 23 的顶点坐标是（ ）A （2 ， 3） B （2，3） C （2，3） D （2，3）【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决【解答】解：抛物线 y=（x 2） 23，该抛物线的顶点坐标是（2，3） ，故选：A【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答4 （3 分）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）Ax 2+2x=0 B （x 1） 2=0 Cx 2=1 Dx 2+1=
12、0【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式的值，取其为零的选项即可得出结论【解答】解：A、=2 2410=40 ，一元二次方程 x2+2x=0 有两个不相等的实数根；B、原方程可变形为 x22x+1=0，= （ 2） 2411=0，一元二次方程（x1） 2=0 有两个相等的实数根；C、原方程可变形为 x21=0，=0 241（1）=4 0，一元二次方程 x2=1 有两个不相等的实数根；D、=0 2411=40，一元二次方程 x2+1=0 没有实数根故选：B【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当=0 时，方程有两个相等的实数根 ”是解题的关键5 （3 分）如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为
13、（ ）Ay=x 22x+3 By=x 22x3 Cy=x 2+2x+3 Dy=x 2+2x+3【分析】先利用抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，则可设交点式为y=a（x+1） （x 3） ，然后把（0， 3）代入求出 a 的值即可【解答】解：因为抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，可设交点式为 y=a（x+1） （x3） ，把（0，3）代入 y=a（x+1） （x 3） ，可得：3=a（0+1） （03） ，解得：a=1，所以解析式为：y=x 22x3，故选：B【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
14、题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质6 （3 分）直角三角形两条直角边的和为 7，面积是 6，则斜边长是（ ）A B5 C D7【分析】设其中一条直角边的长为 x，则另一条直角边的长为（ 7x） ，根据三角形的面积为 x 建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边【解答】解：设其中一条直角边的长为 x，则另一条直角边的长为（ 7x） ，由题
15、意，得x（7x）=6，解得：x 1=3 ， x2=4，由勾股定理，得斜边为： =5故选：B【点评】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据面积公式建立方程求出直角边是关键7 （3 分）把 160 元的电器连续两次降价后的价格为 y 元，若平均每次降价的百分率是x，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）Ay=320（x1） By=320（1x）C y=160（1 x2） Dy=160 （1 x） 2【分析】由原价 160 元可以得到第一次降价后的价格是 160（1x） ，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为 160（1 x） （1x）
16、 ，由此即可得到函数关系式【解答】解：第一次降价后的价格是 160（1x） ，第二次降价为 160（1x）（1x）=160（1 x） 2则 y 与 x 的函数关系式为 y=160（1x） 2故选：D【点评】此题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于 x 的二次函数8 （3 分）已知函数 y=（ k3）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak 4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk 4 且 k3【分析】分为两种情况：当 k30 时， （k 3）x 2+2x+1=0，求出=b 24ac=4
17、k+160的解集即可；当 k3=0 时，得到一次函数 y=2x+1，与 x 轴有交点；即可得到答案【解答】解：当 k30 时， （k 3）x 2+2x+1=0，=b 24ac=224（k3）1=4k+160，k4 ；当 k3=0 时，y=2x +1，与 x 轴有交点故选：B【点评】本题主要考查对抛物线与 x 轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的 k 是解此题的关键9 （3 分）三角形两边长分别是 8 和 6，第三边长是一元二次方程 x216x+60=0 一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A24 B48 C24 或 8 D8【分析】先利用因式分解法
18、解方程得到所以 x1=6，x 2=10，再分类讨论：当第三边长为6 时，如图，在ABC 中， AB=AC=6，BC=8 ，作 ADBC，则 BD=CD=4，利用勾股定理计算出 AD=2 ，接着计算三角形面积公式；当第三边长为 10 时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积【解答】解：x 216x+60=0（x6） （x10）=0，x6=0 或 x10=0，所以 x1=6，x 2=10，当第三边长为 6 时，如图，在ABC 中，AB=AC=6，BC=8，作 ADBC ，则 BD=CD=4，AD= = =2，所以该三角形的面积= 82 =8 ；当第三
19、边长为 10 时，由于 62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积= 86=24，即该三角形的面积为 24 或 8 故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 10 （3 分）函数 y=ax22x+1 和 y=ax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A BC D【分析】可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二
20、次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数 y=ax+a 的图象可得： a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的图象应该开口向下，故选项错误；C、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴 x= 0，故选项正确；D、由一次函数 y=ax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴x= 0，故选项错误故选 C【点评】应该熟记一次函数 y=ax+a 在不同情况下所在的象限，以
21、及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等二填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 （3 分）已知（1，y 1） ， （2，y 2） ， （ 3，y 3）都在函数 y=x2 图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系为 y 1y 2y 3 （用“” 连接） 【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解【解答】解：x= 1 时，y 1=2（ 1） 2=2，x=2 时，y 2=222=8，x=3 时，y 3=2（3） 2=18，所以，y 1y 2y 3故答案为：y 1y 2y 3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键12 （
22、3 分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 90 场设共有x 个队参加比赛，则依题意可列方程为 x （x1）=90 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛 90 场，可列出方程【解答】解：设有 x 个队参赛，x（x 1）=90 故答案为：x（x1）=90【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解13 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x25x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 可取的最大整数为 6 【分析】根据判别式的意义得到=（5） 24k0，解不等式得 k ，然后在此范围内
23、找出最大整数即可【解答】解：根据题意得=（5） 24k0，解得 k ，所以 k 可取的最大整数为 6故答案为 6【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根14 （3 分）已知点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1） 23 的图象上，当2x1 时，y的取值范围是 3y 5 【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的 y 的取值范围，本题得以解决【解答】解：二次函数 y=2（x +1） 23，该函数对称轴是直线 x=1，当 x=1 时，取得最小值，此时
24、y=3，点 P（x，y）在二次函数 y=2（x+1） 23 的图象上，当2x1 时，y 的取值范围是：3y 5，故答案为：3y5【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（0，2） ， （1，0） ，顶点 C 在函数 y= x2+bx1 的图象上，将正方形 ABCD 沿 x 轴正方形平移后得到正方形 ABCD，点 D 的对应点 D落在抛物线上，则点 D 与其对应点D间的距离为 2 【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据 A 和 B 的坐标求
25、 OB 和 OA 的长，证明AOBBGC，BG=OA=2，CG=OB=1，写出 C（ 3，1 ） ，同理得：BCGCDH，得出 D 的坐标，根据平移的性质： D 与 D的纵坐标相同，则 y=3，求出 D的坐标，计算其距离即可【解答】解：如图，过 C 作 GHx 轴，交 x 轴于 G，过 D 作 DHGH 于 H，A（0，2 ） ， B（1，0 ） ，OA=2，OB=1，四边形 ABCD 为正方形，ABC=90 ，AB=BC，ABO+CBG=90，ABO+OAB=90，CBG=OAB，AOB= BGC=90，AOBBGC，BG=OA=2， CG=OB=1，C （3，1） ，同理得：BCGCDH，
26、CH=BG=2， DH=CG=1，D（2，3） ，C 在抛物线的图象上，把 C（ 3，1）代入函数 y= x2+bx1 中得：b= ，y= x2 x1，设 D（x ，y） ，由平移得：D 与 D的纵坐标相同，则 y=3，当 y=3 时， x2 x1=3，解得：x 1=4， x2=3（舍） ，DD=42=2，则点 D 与其对应点 D间的距离为 2，故答案为：2【点评】本题考查出了二次函数图象与几何变换平移、三角形全等的性质和判定、正方形的性质，作辅助线，构建全等三角形，明确 D 与 D的纵坐标相同是关键16 （3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点分别为（ 1，
27、0） ，（3，0）对于下列命题：b 2a=0；abc0； a2b+4c08a+c0，其中正确的有 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得 a0，根据图象与 y 轴交点可得 c0，再根据二次函数的对称轴 x= ，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b0，根据a、b、c 的正负即可判断出 的正误；利用 ab+c=0，求出 a2b+4c0，再利用当x=4 时，y0，则 16a+4b+c0，由知，b= 2a，得出 8a+c0【解答】解：根据图象可得：a0，c0 ，对称轴：x= 0，它与 x 轴的两个交点分别为（ 1，0）
28、 ， （3，0） ，对称轴是 x=1， =1，b+2a=0，故错误；a 0，b0，c0，abc0，故错误；a b+c=0，c=ba，a 2b+4c=a2b+4（ba）=2b 3a，又由得 b=2a，a 2b+4c=7a0，故此选项正确；根据图示知，当 x=4 时，y0，16a+ 4b+c0，由知，b=2a，8a+c0；故正确；故正确为：两个故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0
29、） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c ） 三、解答题（共 102 分）17 （10 分）解方程（1）x 24x=0（2）2x 2+3=7x【分析】 （1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x（x4 ）=0 ，x=0 或 x4=0，所以 x1=0，x 2=4；（2）2x 27x+3=0，（2x1） （x3）=0，2x1=0 或 x3=0，所以 x1= ，x 2=3【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：
30、就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 18 （8 分）已知 x1=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2【分析】将 x1=1 代入方程可得关于 m 的方程，解之求得 m 的值，即可还原方程，解之得出另一个根【解答】解：由题意得：（1） 2+（1）m 5=0，解得 m=4；当 m=4 时，方程为 x24x5=0解得：x 1=1，x 2=5所以方程的另一根 x2=5【点评
31、】本题主要考查一元二次方程的解的定义及解方程的能力，解题的关键是根据方程的解的定义求得 m 的值19 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，2） ， （0， 2） ，函数的最小值是4（1）求二次函数的解析式（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案【分析】 （1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1，则抛物线的顶点坐标为（1，4） ，设顶点式 y=a（x1） 24，然后把（0，2）代入求出 a 即可；（2）2（x1） 24=0 得抛物线与 x 轴的交点坐标为（1 ，0） ， （1+ ，0） ，然后写出抛物线在 x 轴上方所对应
32、的自变量的范围即可【解答】解：（1）二次函数的图象经过（2，2 ） ， （0， 2） ，抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线的顶点坐标为（1，4） ，设抛物线的解析式为 y=a（x 1） 24，把（0，2）代入得 a（0 1） 24=2，解得 a=2，抛物线的解析式为 y=2（x 1） 24；（2）当 y=0 时，2（x1） 24=0，解得 x1=1 ，x 2=1+ ，抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 1 ，0） ， （1+ ，0） ，当 x1 或 x1+ 时，y0 ，即当 x1 或 x1+ 时，该二次函数的图象在横轴上方【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+
33、c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化解一元二次方程的问题关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质20 （10 分）某商店进行促销活动，如果将进价为 8 元/件的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润【分析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润销售量，得出销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值【解答】解：设销售价每件定为 x 元，
34、则每件利润为（ x8）元，销售量为10010（x10 ），根据利润=每件利润 销售量，可得销售利润 y=（x 8）100 10（x 10）= 10x2+280x1600=10（x14） 2+360，当 x=14 时，y 的最大值为 360 元，应把销售价格定为每件 14 元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为 360元【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 mx2（2m 2）x +m=0 有实根（1）求 m 的取值范围；（2）若原方程两个实数根为 x1，x 2，是否存在实数 m，
35、使得 + =1？请说明理由【分析】 （1）根据“关于 x 的一元二次方程 mx2（ 2m2）x +m=0 有实根”，判别式0，得到关于 m 的一元一次方程，解之即可，（2）根据“ + =1”，通过整理变形，根据根与系数的关系，得到关于 m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案【解答】解：（1）方程 mx2（2m2）x+m=0 是一元二次方程，m0，= （2m2） 24m2=4m28m+44m2=48m 0，解得：m ，即 m 的取值范围为：m 且 m0，（2） + = = 2=1，x1+x2= ，x 1x2=1，把 x1+x2= ，x 1x2=1 代入 2=1 得：=3，解得：
36、m=4 2 ，m 的取值范围为：m 且 m0，m=42 不合题意，即不存在实数 m，使得 + =1【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式0，列出关于 m 的一元一次方程， （2）正确掌握根与系数的关系，列出一元二次方程22 （8 分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度 AB=8m，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6m（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是 4.4m，货车的宽度是 2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道【分析】 （1）
37、以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题（1）求出 x=1 时的 y 的值，与 4.4+0.5 比较即可解决问题【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy，如图所示A（4 ，0） ，B（4 ，0） ，C （0 ，6） 设这条抛物线的表达式为 y=a（x 4） （x +4） 抛物线经过点 C，16a=6a=抛物线的表达式为 y= x2+6， （ 4x 4） （2）当 x=1 时，y= ，4.4+0.5=4.9 ，这辆货车能安全通过这条隧道【点
38、评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型23 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料（1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m2（2）当 BC 为何值时，矩形 ABCD 的面积有最大值？并求出最大值【分析】 （1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意【解答】解：（1）设 A
39、B 为 xm，则 BC 为（50 2x）m，x（502x）=300，解得，x 1=10， x2=15，当 x1=10 时 502x=3025（不合题意，舍去） ，当 x2=15 时 502x=2025（符合题意） ，答：当砌墙宽为 15 米，长为 20 米时，花园面积为 300 平方米；（2）设 AB 为 xm，矩形花园的面积为 ym2，则 y=x（50 2x）= 2（x ） 2+ ，x= 时，此时 y 取得最大值，502x=25 符合题意，此时 y= ，即当砌墙 BC 长为 25 米时，矩形花园的面积最大，最大值为 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找
40、出所求问题需要的条件24 （10 分）如图，正方形 OABC 的边 OA，OC 在坐标轴上，点 B 的坐标为（4，4） 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向点 O 运动；点 Q从点 O 同时出发，以相同的速度沿 x 轴的正方向运动，规定点 P 到达点 O 时，点 Q也停止运动连接 BP，过 P 点作 BP 的垂线，与过点 Q 平行于 y 轴的直线 l 相交于点 DBD 与 y 轴交于点 E，连接 PE设点 P 运动的时间为 t（s） （1）PBD 的度数为 45 ，点 D 的坐标为 （ t，t） （用 t 表示） ；（2）当 t 为何值时， PBE 为等腰三角形？（
41、3）探索POE 周长是否随时间 t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值【分析】 （1）易证BAPPQD，从而得到 DQ=AP=t，从而可以求出PBD 的度数和点 D 的坐标（2）由于EBP=45，故图 1 是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE由于 PBE 底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的 t 值（3）由（2）已证的结论 EP=AP+CE 很容易得到POE 周长等于 AO+CO=8，从而解决问题【解答】解：（1）如图 1，由题可得：AP=OQ=1t=t（秒）AO=PQ四边形 OABC 是
42、正方形，AO=AB=BC=OC，BAO= AOC=OCB=ABC=90 DPBP ，BPD=90BPA=90DPQ=PDQ AO=PQ，AO=AB，AB=PQ在BAP 和PQD 中，BAPPQD（AAS） AP=QD，BP=PDBPD=90，BP=PD，PBD=PDB=45AP=t，DQ=t点 D 坐标为（ t，t） 故答案为：45 ， （t，t） （2）若 PB=PE，则 t=0，符合题意若 EB=EP，则PBE=BPE=45 BEP=90PEO=90BEC=EBC在POE 和ECB 中，POE ECB（AAS） OE=CB=OC点 E 与点 C 重合（EC=0） 点 P 与点 O 重合（P
43、O=0） 点 B（4，4） ，AO=CO=4此时 t=AP=AO=4若 BP=BE，在 RtBAP 和 RtBCE 中，RtBAPRt BCE （HL） AP=CEAP=t，CE=t PO=EO=4tPOE=90，PE= （ 4t） 延长 OA 到点 F，使得 AF=CE，连接 BF，如图 2 所示在FAB 和ECB 中，FABECBFB=EB，FBA=EBC EBP=45，ABC=90，ABP+EBC=45FBP=FBA+ABP= EBC+ABP=45FBP=EBP在FBP 和 EBP 中，FBP EBP（SAS） FP=EPEP=FP=FA+AP=CE+APEP=t+t=2t （4 t）=
44、2t解得：t=4 4当 t 为 0 秒或 4 秒或（ 4 4）秒时，PBE 为等腰三角形（3）EP=CE+AP，OP+PE +OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8POE 周长是定值，该定值为 8【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强熟悉正方形与一个度数为 45的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键25 （10 分）已知直线 l：y=2，抛物线 C：y=ax 21 经过点（2 ，0）（1）求
45、a 的值；（2）如图，点 P 是抛物线 C 上任意一点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1如图，过原点作直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过此两点作直线 l 的垂线，垂足分别为 M，N ，连接 ON， OM，求证：OMON；2如图，点 D（1，1） ，使探究在抛物线 C 上是否存在点 F，使得 FD+FO 取得最小值？若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）利用待定系数法可求 a 的值；（2）设点 P（a， a21） ，根据两点距离公式可求 PQ，PO 的长度，即可证 PQ=PO；（3）1由（2）可得
46、OB=BN，AM=AO ，即可求BON=BNO，AOM=AMO，根据三角形内角和定理可求 OMON；2过点 F 作 EF直线 l，由（ 2）得 OF=EF，当点 D，点 F，点 E 三点共线时，OF +DF的值最小，此时 DE直线 l，即可求 FD+FO 的最小值【解答】解：（1）抛物线 C：y=ax 21 经过点（2，0）0=4a1a=（2）a=抛物线解析式：y= x21设点 P（a ， a21）PO= = a2+1PQ= a21（2）= a2+1PO=PQ（3）1由（2）可得 OA=AM，OB=BNBON=BNO，AOM=AMOAMMN，BNMNAMBNABN+BAM=180ABN+BON+BNO=180，AOM+AMO +BAM=
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