1、2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （5 分）椭圆 + =1 的一个焦点坐标是（ ）A （0 ，2 ） B （2，0） C （ ，0） D （0， ）2 （5 分）命题“x R，2x 2+10”的否定是（ ）A xR，2x 2+10 BC D3 （5 分）已知某公司现有职员 150 人，其中中级管理人员 30 人，高级管理人员 10 人，要从公司抽取 30 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员 ”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ）A8 ，2 B8，3 C6，
2、3 D6，24 （5 分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（ ）种不同的投放的方式A4 B12 C64 D815 （5 分）与二进制数 110（2） 相等的十进制数是（ ）A6 B7 C10 D116 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 63，98，则输出的a=（ ）A9 B3 C7 D147 （5 分）如图，ABCDA 1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是（ ）ABD平面 CB1D1BAC 1BDC AC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 608 （5 分）已知点 P 在
3、抛物线 y2=4x 上，点 A（5， 3） ，F 为该抛物线的焦点，则PAF 周长的最小值为（ ）A9 B10 C11 D129 （5 分）已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）Ax= By= Cx= Dy=10 （5 分）若关于 x 的方程 kx3+2k=0 有且只有两个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D11 （5 分）命题“对任意实数 x2，3，关于 x 的不等式 x2a0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）Aa 9 Ba9 Ca8 Da812 （5 分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F 2，且两条
4、曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，若|PF 1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e2+1 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）过点（3，1）作圆（x 2） 2+（y2） 2=4 的弦，其中最短的弦长为 14 （5 分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为（0，2） ，则双曲线的标准方程是 15 （5 分）如图在直三棱柱 ABCA1B1C1 中ACB=90，AA 1=2，AC=BC=1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所
5、成角的余弦值是 16 （5 分）已知圆 O：x 2+y2=1，点 M（x 0，y 0）是直线 xy+2=0 上一点，若圆O 上存在一点 N，使得 ，则 y0 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17 （10 分）已知命题 p：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题q：关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 无实根，若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围18 （12 分）某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E销售额 x（千万元） 3 5 6 7 9利润额 y（千万元） 2 3 3 4 5（）
6、用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程 ；（）当销售额为 4（千万元）时，估计利润额的大小附：线性回归方程 中， ， 19 （12 分）已知椭圆 经过点 ，F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， ，P 是椭圆 C 上的一个动点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在第一象限，且 ，求点 P 的横坐标的取值范围20 （12 分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取 200 名学生，得到如下 22 列联表：喜欢数学课 不喜欢数学课 合计男 30 60 90女 20 90 110合计 50 150 200（1）根据独立性检验的基
7、本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取 5 人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取 2 人，求恰有一男一女的概率21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，P 为 C
8、 上异于原点的任意一点，过点 P 的直线 l 交 C 于另一点 Q，交 x 轴的正半轴于点 S，且有|FP|=|FS|当点 P 的横坐标为 3 时，|PF|=|PS|（）求 C 的方程；（）若直线 l1l ，l 1 和 C 有且只有一个公共点 E，（）OPE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（）证明直线 PE 过定点，并求出定点坐标2017-2018 学年黑龙江省双鸭山高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1 （5 分）椭圆 + =1 的一个焦点坐标是（ ）A （0 ，2 ） B （2，0）
9、 C （ ，0） D （0， ）【解答】解：椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上的椭圆， a=3，b= ，c=2，椭圆的焦点坐标是（2，0） ，故选：B2 （5 分）命题“x R，2x 2+10”的否定是（ ）A xR，2x 2+10 BC D【解答】解：命题xR，2x 2+10 是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“ ”， 故选：C3 （5 分）已知某公司现有职员 150 人，其中中级管理人员 30 人，高级管理人员 10 人，要从公司抽取 30 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员 ”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ）A8 ，2 B
10、8，3 C6，3 D6，2【解答】解：公司现有职员 150 人，其中中级管理人员 30 人，高级管理人员10 人，从公司抽取 30 个人进行身体健康检查，每个个体被抽到的概率是 = ，中级管理人员 30 =6 人，高级管理人员 10 =2 人，故选：D4 （5 分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（ ）种不同的投放的方式A4 B12 C64 D81【解答】解：根据题意，把四封不同的信投到三个不同的信箱里，每封信都有 3 种不同的投放的方式，则四封不同的信有 3333=81 种不同的投放的方式，故选：D5 （5 分）与二进制数 110（2） 相等的十进制数是（ ）A6 B7 C10 D11
11、【解答】解：110 （2） =0+12+122=2+4=6（10 ）故选：A6 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术 ”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 63，98，则输出的a=（ ）A9 B3 C7 D14【解答】解：由 a=63，b=98，不满足 ab，则 b 变为 9863=35，由 ba，则 a 变为 6335=28，由 ab，则，b=3528=7，由 ba，则，b=287=21，由 ba，则，b=217=14，由 ba，则，b=147=7，由 a=b=7，退出循环，则输出的 a 的值为 7故选：C7 （5 分）如图，ABCDA 1B1C
12、1D1 为正方体，下面结论错误的是（ ）ABD平面 CB1D1BAC 1BDC AC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60【解答】解：A 中因为 BDB 1D1，正确；B 中因为 ACBD，由三垂线定理知正确；C 中有三垂线定理可知 AC1B 1D1，AC 1B 1C，故正确；D 中显然异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45故选 D8 （5 分）已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，点 A（5， 3） ，F 为该抛物线的焦点，则PAF 周长的最小值为（ ）A9 B10 C11 D12【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0） ，准线 l：x=1，点 A
13、（5，3）在抛物线内部，丨 FA 丨= =5P 是抛物线上的动点，PD l 交 l 于 D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|；要求|PA |+|PF|取得最小值，即求|PA |+|PD|取得最小，当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，为 5（ 1）=6 ，则（|PA |+|PF|） min=6PAF 周长的最小值为：6+5=11故选 C9 （5 分）已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）Ax= By= Cx= Dy=【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点3m 25n2=2m2+3n2，整理得 m2=8n2， =2双曲线的渐近线方程为 y= = x故选 D1
14、0 （5 分）若关于 x 的方程 kx3+2k=0 有且只有两个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：将方程 转化为：半圆 ，与直线 y=kx+32k 有两个不同交点当直线与半圆相切时，有k=半圆 与直线 y=kx+32k 有两个不同交点时直线 y=kx+32k=k（x2）+3 ，一定过（2，3） ，由图象知直线过（ 2，0）时直线的斜率 k 取最大值为k故选 D11 （5 分）命题“对任意实数 x2，3，关于 x 的不等式 x2a0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）Aa 9 Ba9 Ca8 Da8【解答】解：命题“ 对任意实数 x2，3，关于 x
15、的不等式 x2a0 恒成立”为真命题，a x 2max=9命题“对任意实数 x2，3，关于 x 的不等式 x2a0 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 a8故选：D12 （5 分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，若|PF 1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e2+1 的取值范围是（ ）A （1 ，+） B C D【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF 1|=m，|PF 2|=n， （mn） ，由于PF 1F2 是以 PF1 为底边的等腰三
16、角形若 |PF1|=8，即有 m=8，n=2c，由椭圆的定义可得 m+n=2a1，由双曲线的定义可得 mn=2a2，即有 a1=4+c， a2=4c， （c 4） ，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c=4c8，则 c 2，即有 2c4由离心率公式可得 e1e2= = = ，由于 1 4，则有 则 e1e2+1 +1= e 1e2+1 的取值范围为（ ，+） 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）过点（3，1）作圆（x 2） 2+（y2） 2=4 的弦，其中最短的弦长为 2【解答】解：根据题意得：圆心（2，2） ，半径 r=2， = 2
17、，（3，1）在圆内，圆心到此点的距离 d= ，r=2 ，最短的弦长为 2 =2 故答案为：214 （5 分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为（0，2） ，则双曲线的标准方程是 【解答】解：由题意可设： ， （a0，b0） ，则 ，解得 双曲线的标准方程是 故答案为 15 （5 分）如图在直三棱柱 ABCA1B1C1 中ACB=90，AA 1=2，AC=BC=1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是 【解答】解：A 1C1AC，异面直线 A1B 与 AC 所成角为BA 1C1，易求 ， 故答案为：16 （5 分）已知圆 O：x 2+y2=1，点 M（x
18、0，y 0）是直线 xy+2=0 上一点，若圆O 上存在一点 N，使得 ，则 y0 的取值范围是 2，0 【解答】解：过 M 作O 切线交C 于 R，根据圆的切线性质，有OMROMN反过来，如果OMR ，则O 上存在一点 N 使得OMN= 若圆 O 上存在点 N，使 OMN= ，则OMR |OR|=1 ，ORMR ，|OM|2又M （x 0，2+x 0） ，|OM|2=x02+y02=x02+（2+x 0） 2=2x02 +4x0+4，2x 02+4x0+44，解得， 2x 00x 0 的取值范围是2，0，故答案为：2，0三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17 （10 分）已知命题
19、p：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题q：关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 无实根，若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围【解答】解：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，0m+13m，解得：1m1，若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围是（1，1） ；若关于 x 的方程 x2+2mx+2m+3=0 无实根，则判别式=4m 24（2m+3）0，即 m22m30，得1m3若“pq”为假命题， “pq”为真命题，则 p，q 为一个真命题，一个假命题，若 p 真 q 假，则 ，此时无解，柔 p 假 q 真，则 ，得 1m3综上，实数 m 的取值范围是1，3）
20、 18 （12 分）某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E销售额 x（千万元） 3 5 6 7 9利润额 y（千万元） 2 3 3 4 5（）用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程 ；（）当销售额为 4（千万元）时，估计利润额的大小附：线性回归方程 中， ， 【解答】解：（）设回归直线的方程是： ， ， = =0.5， =0.4，y 对销售额 x 的回归直线方程为： =0.5x+0.4；（8 分）（）当销售额为 4（千万元）时，利润额为： =0.54+0.4=2.4（千万元）（12 分）19 （12 分）已知椭圆 经过点
21、，F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， ，P 是椭圆 C 上的一个动点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在第一象限，且 ，求点 P 的横坐标的取值范围【解答】解：（1）椭圆 经过点 ，F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， |F1F2|=2 ，则 ，解得 a=2，b=1 ，椭圆 C 的标准方程为 +y2=1（2）c= ，F 1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，设 P（x，y） ，则 =（ x，y）（ x，y）=x 2+y23， +y2=1， =x2+y23=x2+1 3= （3x 28） ，解得 x ，点 P 在第一象限， x 0，0x ，点 P 的横坐标的取值范围是（0，
22、20 （12 分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取 200 名学生，得到如下 22 列联表：喜欢数学课 不喜欢数学课 合计男 30 60 90女 20 90 110合计 50 150 200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取 5 人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取 2 人，求恰有一男一女的概率【解答】解：（1） ， （2 分）约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系” （4 分）（2）男生
23、抽取的人数有： （人） （5分）女生抽取的人数有： （人） （6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为 3 人，设为 a，b ，c ，女生抽取的人数为 2 人，设为 d，e，则所有基本事件有：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （ a，e） ， （b，c） ， （b，d） ，（b，e） ， （c，d） ， （c，e） ， （d ，e）共 10 种 （8 分）其中满足条件的基本事件有：（a，d） ， （a，e ） ， （b，d） ， （b ，e ） ， （c，d） ，（c，e）共 6 种， （10 分）恰有一男一女的概率为 P= = （12 分）21 （12 分）如图，四棱锥 PA
24、BCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E 是 PD 的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角MABD 的余弦值【解答】 （1）证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF 是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CE 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2）解：四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面
25、ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90 ，E 是 PD 的中点取 AD 的中点 O，M 在底面 ABCD 上的射影 N 在 OC 上，设 AD=2，则AB=BC=1，OP= ，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1 ，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作 NQAB 于 Q，连接 MQ，ABMN，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ= ，二面角 MABD 的余弦值为： = 22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，P 为 C 上异于原点的任意一点，过点 P 的直线 l
26、交 C 于另一点 Q，交 x 轴的正半轴于点 S，且有|FP|=|FS|当点 P 的横坐标为 3 时，|PF|=|PS|（）求 C 的方程；（）若直线 l1l ，l 1 和 C 有且只有一个公共点 E，（）OPE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（）证明直线 PE 过定点，并求出定点坐标【解答】解：（ I）由题意知 x P=3，则 ，则 S（3+p，0） ，或 S（3，0） （舍）则 FS 中点 因为|PF|= |PS|，则 解得 p=2所以抛物线 C 的方程为 y2=4x（4 分）（ II） （ i）由（ I）知 F（1，0） ，设 P（x 0，y 0） ，
27、（x 0y00） ，S（x S，0）（x S0） ，因为|FP|= |FS|，则|x S1|=x0+1，由 xS0 得 xS=x0+2，故 S（x 0+2，0） 故直线PQ 的斜率 KPQ= 因为直线 l1 和直线 PQ 平行，设直线 l1 的方程为 ，代入抛物线方程得 ，由题意 ，得 设 E（x E，y E） ，则 yk= ，x K= = ，当 y024 时，kPE= = ，可得直线 PE 的方程为 ，则 O 到直线 PE 的距离为 ，（6 分）所以，OPE 的面积当 时，S OPE =2所以，OPE 的面积有最小值，最小值为 2（9 分）（ ii）由（ i）知 时，直线 PE 的方程 ，整理可得 ，直线 PE 恒过点 F（1，0） 当 时，直线 PE 的方程为 x=1，过点 F（1，0） （12 分）
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