1、2017-2018 学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题 5 分）1 （5 分）在数列 1，2， ，中，2 是这个数列的（ ）A第 16 项 B第 24 项 C第 26 项 D第 28 项2 （5 分）在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的取值范围为（ ）A2 ，6 B （，10 C2，10 D （ ，64 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2 等于（ ）A 4
2、B6 C8 D 105 （5 分）若 ab0，下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Ba 2ab C D6 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ，则 a+b 的值是（ ）A10 B14 C14 D 107 （5 分）抛物线 y=2x2 的焦点到准线的距离为（ ）A B C D48 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2n9 （5 分）已知向量 =（ 1，m1） ， =（m，2） ，则“m=2” 是“ 与 共线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
3、 D既不充分也不必要条件10 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 x21 ，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B “x=1”是“x 22x+3=0”的必要不充分条件C命题“ xR，使得 x2+x+10”的否定是“x R，均有 x2+x+10”D命题“若 x=y，则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题11 （5 分）已知 x，y0，且 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A B C D12 （5 分）已知椭圆 （ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，若椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分
4、）13 （5 分）若当 x2 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c 若（a 2+c2b2）tan B= ac，则角 B 的值为 15 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于A、B 两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB |= 16 （5 分）设双曲线 C： 分别为双曲线 C 的左、右焦点若双曲线 C 存在点 M，满足 |（O 为原点） ，则双曲线 C 的离心率为 三、解答题17 （10 分）在等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（1）求数列a n的通项公式；
5、（2）设 ，求 b1+b2+b3+b10 的值18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB= （1）求 b 的值；（2）求 sinC 的值19 （12 分）已知集合 A 是函数 y=lg（208xx 2）的定义域，集合 B 是不等式x22x+1a20（a0）的解集，p：x A，q：xB（1）若 AB= ，求实数 a 的取值范围；（2）若p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围20 （12 分）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD ，AB CD，AB=AD=2 ，CD=4 ，M 为 C
6、E 的中点（1）求证：BC平面 BDE；（2）求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值21 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2ax1（aR ） （1）若对任意实数 x，f（ x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 f（x）2x322 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设点 N（3，2） ，记直线AN，BN 的斜率分别为 k1，k 2，问：k 1+k2
7、是否为定值？并证明你的结论2017-2018 学年兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题 5 分）1 （5 分）在数列 1，2， ，中，2 是这个数列的（ ）A第 16 项 B第 24 项 C第 26 项 D第 28 项【解答】解：数列 1，2， ，就是数列 ， ， ， ，a n= = ， =2 = ，n=26，故 2 是这个数列的第 26 项，故选：C2 （5 分）在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形【解答】解析：2cosBsinA=sinC=sin（A +B）si
8、n （A B）=0，又 B、A 为三角形的内角，A=B答案：C3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=xy 的取值范围为（ ）A2 ，6 B （，10 C2，10 D （ ，6【解答】解：根据变量 x，y 满足约束条件 画出可行域，由 A（3，3） ，由图得当 z=xy 过点 A（3， 3）时，Z 最大为 6故所求 z=xy 的取值范围是（，6故选：D4 （5 分）已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4 成等比数列，则 a2 等于（ ）A 4 B6 C8 D 10【解答】解：等差数列a n的公差为 2，a 1，a 3，a 4 成等比数列，（a 1+4） 2=a1
9、（a 1+6） ，a 1=8，a 2=6故选：B5 （5 分）若 ab0，下列不等式成立的是（ ）Aa 2 b2 Ba 2ab C D【解答】解：方法一：若 ab0，不妨设 a=2，b=1 代入各个选项，错误的是 A、B、D，故选 C方法二：ab0a 2b2=（ab ） （a+b）0 即 a2b 2，故选项 A 不正确；a b 0 a2ab=a（ab ）0 即 a2ab，故选项 B 不正确；a b 0 1= 0 即 1，故选项 C 正确；a b 0 0 即 ，故选项 D 不正确；故选 C6 （5 分）不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ，则 a+b 的值是（ ）A10 B14 C1
10、4 D 10【解答】解：不等式 ax2+bx+20 的解集是（ ， ） ， ， 是方程 ax2+bx+2=0 的两个实数根，且 a0， = + ， = ，解得 a=12，b=2，a +b=14故选：B7 （5 分）抛物线 y=2x2 的焦点到准线的距离为（ ）A B C D4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y=2x2，其标准方程为 x2= y，其中 p= ，则抛物线的焦点到准线的距离 p= ，故选：C8 （5 分）设命题 p：nN ，n 22 n，则p 为（ ）A nN，n 22 n BnN，n 22 n Cn N，n 22 n Dn N，n 2=2n【解答】解：命题的否定是：nN，n
11、22 n，故选：C9 （5 分）已知向量 =（ 1，m1） ， =（m，2） ，则“m=2” 是“ 与 共线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若 与 共线，则 12m（m 1）=0，即 m2m2=0，得 m=2 或 m=1，则“m=2”是“ 与 共线” 的充分不必要条件，故选：A10 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 x21 ，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B “x=1”是“x 22x+3=0”的必要不充分条件C命题“ xR，使得 x2+x+10”的否定是“x R，均有 x2+x+10”D命题“若 x=y
12、，则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“ 若 x2 1，则 x1”的否命题为：“若 x21，则 x1”，故 A错误；“x=1”是“x 22x+3=0”的既不充分又不必要条件，故 B 错误；命题“x R，x 2+x+10” 的否定是：“x R，x 2+x+10”，故 C 错误；若 x=y，则 x 与 y 的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故 D 正确；故选 D11 （5 分）已知 x，y0，且 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A B C D【解答】解：由 得， ， ，当且仅当 x= y=时取等号故选：D12 （5 分）已知椭圆 （ab0）的两个焦点分别为 F1，
13、F 2，若椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：点 P 取端轴的一个端点时，使得F 1PF2 是最大角已知椭圆上不存在点 P，使得F 1PF2 是钝角，bc，可得 a2c2c 2，可得：a 故选：A二、填空题（每小题 5 分）13 （5 分）若当 x2 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围是 （，2+2 【解答】解：当 x2 时，不等式 恒成立，即求解 x+ 的最小值， x+ =x2+ +2 =2+2 ，当且仅当 x=2+ 时，等号成立所以 a 的取值范围是：（，2+2 故答案为：（，2+2 14 （5 分）在ABC 中，角 A
14、，B ，C 的对边分别为 a，b ，c 若（a 2+c2b2）tan B= ac，则角 B 的值为 或 【解答】解： ，cosBtanB=sinB=B= 或故选 B15 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于A、B 两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB |= 8 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为 ，则 a=5，由椭圆的定义得，|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF2|=20，又由|F 2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：816 （5 分）设双曲线 C： 分别为双曲线
15、 C 的左、右焦点若双曲线 C 存在点 M，满足 |（O 为原点） ，则双曲线 C 的离心率为 【解答】解：如图，由题意可设 M（ ） ，代入双曲线方程，可得 ， ，由 ，可得|MF 1|=3|MF2|，又|MF 1|MF2|=2a，则|MF 2|=a， ，整理得：c 2=2a2，即 故答案为： 三、解答题17 （10 分）在等差数列a n中，a 2=4，a 4+a7=15（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，求 b1+b2+b3+b10 的值【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，由已知得解得 （4 分）a n=3+（n1 ）1 ，即 an=n+2（6 分）（2）由（1）知 ，b
16、1+b2+b3+b10=21+22+210= （10 分）=2046（12 分）18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB= （1）求 b 的值；（2）求 sinC 的值【解答】解：（1）由余弦定理 b2=a2+c22accosB，代入数据可得 b2=4+25225 =17，b= ；（2）cosB= ，sinB= =由正弦定理 = ，即 = ，解得 sinC=19 （12 分）已知集合 A 是函数 y=lg（208xx 2）的定义域，集合 B 是不等式x22x+1a20（a0）的解集，p：x A，q：xB（1）若 AB= ，求
17、实数 a 的取值范围；（2）若p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由条件得：A=x|10x2，B=x|x1+a 或 x1a若 AB=，则必须满足所以，a 的取值范围的取值范围为：a11；（2）易得：p：x2 或 x10，p 是 q 的充分不必要条件，x|x2 或 x10是 B=x|x1+a 或 x1a的真子集，则a 的取值范围的取值范围为：0a120 （12 分）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD ，AB CD，AB=AD=2 ，CD=4 ，M 为 CE 的中点（1）求证：BC平面 BDE；（2）求平面 BEC 与平面 AD
18、EF 所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）ADEF 为正方形，ED AD 又平面 ADEF平面 ABCD，且平面 ADEF平面 ABCD=AD又ED平面 ADEF，ED平面 ABCD 又BC平面 ABCD，EDBC ADCD ， ABCD，AB=AD=2 ，CD=4 ，BD=BC= =2 ，BD 2+BC2=CD2，BD BC，BDED=D，BC平面 BDE解：（2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，B（2 ，2，0 ） ，E（0 ，0， 2） ，C（0，4，0） ，=（2，2，2） ， =（0 ，4，2） ，设平面 BEC 的法向量
19、 =（x，y，z ） ，则 ，取 y=1，得 =（1，1，2） ，平面 ADEF 的法向量 =（0，1，0） ，设平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角为 ，则 cos= = = 平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值 21 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2ax1（aR ） （1）若对任意实数 x，f（ x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 f（x）2x3【解答】解：（1）对任意实数 x，f （x）0 恒成立，即有 a=0 时，10 恒成立；a 0 时，判别式小于 0，即为 a2+4a0，解得 4a 0；a 0 时，不等式不恒成立综上
20、可得，a 的范围是（4，0；（2）由题意可得 ax2（2+a）x+20，可化为（x1） （ax2）0，a0，10 当 0a 2 时， 1，其解集为（1， ） ；20 当 a=2 时，即 =1，其解集为 ，30 当 a2，即 1，其解集为（ ，1） 22 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，设点 N（3，2） ，记直线AN，BN 的斜率分别为 k1，k 2，问：k 1+k2 是否为定值？并证明你的结论【解
21、答】解：（1）椭圆 C： + =1（ab 0）的两个焦点分别为F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，以椭圆短轴为直径的圆经过点 M（1，0） ， ，解得 ，b=1，椭圆 C 的方程为 =1（2）k 1+k2 是定值证明如下：设过 M 的直线： y=k（x1）=kx k 或者 x=1x=1 时，代入椭圆，y= ，令 A（1， ） ，B（1， ） ，k1= ，k 2= ，k 1+k2=2y=kxk 代入椭圆， （3k 2+1）x 26k2x+（3k 23）=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 则 x1+x2= ，x 1x2= ，y1+y2= 2k= ，y1y2=k2x1x2k2（x 1+x2）+k 2= ，k1= ，k 2= ，k 1+k2= =2
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