1、2016-2017 学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）命题“x 0，使 2x3 x”的否定是（ ）A x0，使 2x3 x B x0，使 2x3 x Cx0，使 2x3 xDx 0，使 2x3 x2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程为（ ）Ay= By= xCy= x Dy= x3 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BB 1 的中点，则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是（ ）A B C D4 （5 分）已
2、知直线 l1：ax +（a+2）y +1=0，l 2：x+ay +2=0，则“l 1l 2”是“a=1” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 a、b、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论： 若a b，a c 则 bc；若 ab ，a c 则 bc ；若 ab，bc 则 ac其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个6 （5 分）设点 P 为椭圆 上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，且F 1PF2=60，则PF 1F2 的面积为（ ）A B C D7 （5 分）已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点
3、，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B C D4+28 （5 分）已知圆 O 为 RtABC 的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心 O 的直线 l交圆 O 于 P，Q 两点，则 的取值范围是（ ）A 8，1 B8，0 C 16，1 D 16，09 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F 作直线 y= x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D10 （5 分）在四面体 SABC 中， ，二面角 SACB的余弦值为 ，则该四面体外接球的表面
4、积是（ ）A B C24 D611 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|=2，|AD|=1 ，|CD|=2x 其中x（0，1） ，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 te 1+e2 恒成立，则 t 的最大值为（ ）A B C2 D12 （5 分）已知底面为边长为 2 的正方形，侧棱长为 1 的直四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，P 是面 A1B1C1D1 上的动点给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）与点 D 距离为 的点 P 形成一条曲线，则该曲线的长度是 ；若 DP
5、面 ACB1，则 DP 与面 ACC1A1 所成角的正切值取值范围是 ；若 ，则 DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）直线 的倾斜角为 14 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为 15 （5 分）已知直线 l：x+y 6=0 和圆 M：x 2+y22x2y2=0，点 A 在直线 l 上，若直线 AC 与圆 M 至少有一个公共点 C，且MAC=30，则点 A 的横坐标的取值范围为 16 （5 分）已知 m，n，s ，t R+，m+
6、n=2， ，其中 m、n 是常数，当s+t 取最小值 时，m 、n 对应的点（m，n）是双曲线 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知 p：“ 直线 x+ym=0 与圆（x 1） 2+y2=1 相交”；q：“ 方程mx22x+1=0 有实数解”若“pq” 为真， “q” 为假，则实数 m 的取值范围18 （12 分）已知线段 AB 的端点 B 在圆 C1：x 2+（y 4） 2=16 上运动，端点 A 的坐标为（4，0） ，线段 AB 中点为 M，（）试求 M 点的轨 C2 方程；（）
7、若圆 C1 与曲线 C2 交于 C，D 两点，试求线段 CD 的长19 （12 分）如图 1 所示，在 RtABC 中，AC=6 ，BC=3，ABC=90，CD 为ACB 的平分线，点 E 在线段 AC 上，CE=4如图 2 所示，将BCD 沿 CD 折起，使得平面 BCD平面 ACD，连接 AB，设点 F 是 AB 的中点（1）求证：DE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点，求三棱锥 BDEG的体积20 （12 分）已知点 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，点 P 是准线 l 上的动点，直线 PF 交抛物线 C 于 A，B 两点，若点
8、 P 的纵坐标为 m（m0） ，点 D 为准线 l与 x 轴的交点（）求直线 PF 的方程；（）求DAB 的面积 S 范围；（）设 ， ，求证 + 为定值21 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面，平面 ABCD平面 ABPE=AB，且 AB=BP=2，AD=AE=1，AEAB ，且 AEBP（）设点 M 为棱 PD 中点，求证： EM平面 ABCD；（）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定
9、点 F（1，0）的距离与 P到定直线 x=4 的距离之比为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）设点 A、B 是轨迹 C 上两个动点，直线 OA、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1、B 1，且直线 OA、OB 的斜率之积等于 ，问四边形 ABA1B1 的面积 S 是否为定值？请说明理由2016-2017 学年晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）命题“x 0，使 2x3 x”的否定是（ ）A x0，使 2x3 x B x0，使 2x3
10、 x Cx0，使 2x3 xDx 0，使 2x3 x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即x 0，使2x3 x，故选：A2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程为（ ）Ay= By= xCy= x Dy= x【解答】解：由题意，a=4，b=3 ，渐近线方程为 y= x，故选 C3 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BB 1 的中点，则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是（ ）A B C D【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为
11、 2，则 E（2，1 ， 0） ，F（2 ， 2，1） ，B（2，2，0） ，C 1（0，2，2） ，=（ 2，0，2） ， =（ 0，1，1） ，设直线 BC1 与 EF 所成角为 ，则 cos=|cos ， |= = = 直线 BC1 与 EF 所成角的余弦值是 故选：B4 （5 分）已知直线 l1：ax +（a+2）y +1=0，l 2：x+ay +2=0，则“l 1l 2”是“a=1” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：直线 l1： ax+（a+2）y+1=0 ，l 2：x +ay+2=0，且 l1l 2，a 2a2=0，解得：a=
12、2 或 a=1，故 a=2 或 a=1 是 a=1 的必要不充分条件，故选：B5 （5 分）已知 a、b、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论： 若a b，a c 则 bc；若 ab ，a c 则 bc ；若 ab，bc 则 ac其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故不正确，若 ab，bc 则 ac，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故正确，综上可知有一个正确的说法，故选 B6 （5 分）设点 P 为椭圆 上一点，F 1，F 2 分别为 C 的左、右焦点，且F 1PF2=60
13、，则PF 1F2 的面积为（ ）A B C D【解答】解：椭圆 ，b=2，c= 又P 为椭圆上一点， F 1PF2=60，F 1、F 2 为左右焦点，|F 1P|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2 ，|F 1F2|2=（|PF 1|+|PF2|） 22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos60=4a23|F1P|PF2|=4a216，|F 1P|PF2|= = |F1P|PF2|sin60= = 故选：C7 （5 分）已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B
14、C D4+2【解答】解：|AF|=4，由抛物线的定义得，A 到准线的距离为 4，即 A 点的横坐标为2，又点 A 在抛物线上，从而点 A 的坐标 A（ 2，4） ；坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（4，0）则|PA|+| PO|的最小值为：|AB|= =故选 C8 （5 分）已知圆 O 为 RtABC 的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心 O 的直线 l交圆 O 于 P，Q 两点，则 的取值范围是（ ）A 8，1 B8，0 C 16，1 D 16，0【解答】解：【解法一】以 O 为坐标原点，BC 所在的直线为 x 轴，BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示；在 RtABC 中
15、，AB=AC，BC=4 ，所以ABC 的外接圆圆心是 BC 的中点，半径为 r= BC=2，所以 A（0，2） ，B（2 ，0） ，C （2 ，0） ，圆 O 的方程为：x 2+y2=4；当直线 PQ 的斜率不存在时，有 P（0，2） ，Q（0，2） ，=（2，2） ， =（2，2） ，则 =44=8；当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 l 为：y=kx，代入圆的方程可得 P（ ， ） ，Q （ ， ） ，则 =（ 2 ， ） ， =（ 2， ） ，所以 =（ 2 ） （ 2）+（ ）=8+ ，由 1+k21 可得 0 8，所以88 + 0；又题目中没有要求 P、Q 的具体位置，所以 P、Q
16、坐标互换时，比如，当 k=0 时，若 P（2，0） ，Q（2，0） ，则向量 =（ 4，0） ，向量 =（ 4，0） ，所以 =16故选：D【解法二】以 O 为坐标原点，BC 所在的直线为 x 轴，BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示；在 RtABC 中，AB=AC，BC=4 ，所以ABC 的外接圆圆心是 BC 的中点，半径为 r= BC=2，所以 A（0，2） ，B（2 ，0） ，C （2 ，0） ，圆 O 的方程为：x 2+y2=4；设 P（ 2sin，2cos） ，Q（ 2sin，2cos） ，把 转化为三角函数计算更简单9 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的右焦点
17、F 作直线 y= x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【解答】解：设 F（c，0） ，则直线 AB 的方程为 y= （xc ）代入双曲线渐近线方程 y= x 得 A（ ， ） ，由 =2 ，可得 B（ ， ） ，把 B 点坐标代入双曲线方程 =1，即 =1，整理可得 c= a，即离心率 e= = 故选：C10 （5 分）在四面体 SABC 中， ，二面角 SACB的余弦值为 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C24 D6【解答】解：取 AC 中点 D，连接 SD，BD，因为 AB=BC= ，所以 BDAC ，因为 SA=
18、SC=2，所以 SDAC，AC平面 SDB所以SDB 为二面角 SACB在ABC 中，AB BC，AB=BC= ，所以 AC=2取等边SAC 的中心 E，作 EO平面 SAC，过 D 作 DO平面 ABC，O 为外接球球心，所以 ED= ，二面角 SACB 的余弦值是 ，所以 cosEDO= ，OD= ，所以 BO= =OA=OS=OC所以 O 点为四面体的外接球球心，其半径为 ，表面积为 6故选：D11 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|=2，|AD|=1 ，|CD|=2x 其中x（0，1） ，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且
19、过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 te 1+e2 恒成立，则 t 的最大值为（ ）A B C2 D【解答】解：在等腰梯形 ABCD 中，BD 2=AD2+AB22ADABcosDAB=1+4212（1x）=1+4x ，由双曲线的定义可得 a1= ，c 1=1，e 1= ，由椭圆的定义可得 a2= ，c 2=x，e 2= ，则 e1+e2= + = + ，令 t= （0， 1） ，则 e1+e2= （t + ）在（0， 1）上单调递减，所以 e1+e2 （ 1+ ）= ，故选：B12 （5 分）已知底面为边长为 2 的正方形，侧棱长为 1 的直四棱柱ABCDA1B1
20、C1D1 中，P 是面 A1B1C1D1 上的动点给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）与点 D 距离为 的点 P 形成一条曲线，则该曲线的长度是 ；若 DP面 ACB1，则 DP 与面 ACC1A1 所成角的正切值取值范围是 ；若 ，则 DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A0 B1 C2 D3【解答】解：如图，错误，与点 D 距离为 的点 P 形成以 D1 为圆心，半径为 的 圆弧 MN，长度为 = ；错误，因为面 A1DC1面 ACB1，所以点 P 必须在面对角线 A1C1 上运动，当 P在 A1（或 C1）时， DP 与面 ACC1A1 所成角DA 1O（或 DC 1O
21、）的正切值为最小，当 P 在 O1 时，DP 与面 ACC1A1 所成角DO 1O 的正切值为 最大，所以正切值取值范围是 ；正确，设 P（x ，y，1） ，则 x2+y2+1=3，即 x2+y2=2，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为 ，所以六个面上的正投影长度之和为 ，当且仅当 P 在O1 时取等号故选 B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）直线 的倾斜角为 150 【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式 y= x ，可得直线的斜率为 ，设直线的倾斜角为 ，则 tan= ，可得 =150故答案为：15014 （5 分）如图，网格纸上小正方
22、形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为 16 【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 OABCD，正方体的棱长为 4，O、A、D 分别为棱的中点，OD=2 ，AB=DC=OC=2 ，做 OECD，垂足是 E，BC 平面 ODC，BC OE、BCCD，则四边形 ABCD 是矩形，CDBC=C，OE平面 ABCD，ODC 的面积 S= =6，6= ，得 OE= ，此四棱锥 OABCD 的体积 V= =16，故答案为 1615 （5 分）已知直线 l：x+y 6=0 和圆 M：x 2+y22x2y2=0，点 A 在直线 l 上，若直线 AC 与圆 M 至少有
23、一个公共点 C，且MAC=30，则点 A 的横坐标的取值范围为 1，5 【解答】解：如图，设点 A 的坐标为（x 0，6 x0） ，圆心 M 到直线 AC 的距离为 d，则 d=|AM|sin30，直线 AC 与 M 有交点，d=|AM|sin302 ，（x 01） 2+（5x 0） 216，1x 05，故答案为1，516 （5 分）已知 m，n，s ，t R+，m+n=2， ，其中 m、n 是常数，当s+t 取最小值 时，m 、n 对应的点（m，n）是双曲线 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 x2y+1=0 【解答】解：由已知得 =，由于 s+t 的最小值是 ，因此 ，又m+n=2，所以
24、 m=n=1设以点（m，n ）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则有 又该两点在双曲线上，则有 ， ，两式相减得，把代入得 ，即所求直线的斜率是 ，所求直线的方程是 ，即 x2y+1=0故答案为 x2y+1=0三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知 p：“ 直线 x+ym=0 与圆（x 1） 2+y2=1 相交”；q：“ 方程mx22x+1=0 有实数解”若“pq” 为真， “q” 为假，则实数 m 的取值范围【解答】解：直线 x+ym=0 与圆（x1） 2+y2=1 相交，（1
25、，0）到 x+ym=0 的距离小于 1，即 1，解得：1 1+ ，故 p：m（1 ，1+ ） ；m=0 时，方程 mx22x+1=0 有实数解，m0 时，若方程 mx22x+1=0 有实数解，则=44m 0，解得：m1，故 q：m（，1，若“pq”为真， “q” 为假，则 p 真 q 真或 p 假 q 真，故 m（，118 （12 分）已知线段 AB 的端点 B 在圆 C1：x 2+（y 4） 2=16 上运动，端点 A 的坐标为（4，0） ，线段 AB 中点为 M，（）试求 M 点的轨 C2 方程；（）若圆 C1 与曲线 C2 交于 C，D 两点，试求线段 CD 的长【解答】解：（）设 M（
26、x，y） ，B（x，y） ，则由题意可得： ，解得： ，点 B 在圆 C1：x 2+（y4） 2=16 上，（x） 2+（y4 ） 2=16，（2x4） 2+（2y4） 2=16，即（x2） 2+（y 2） 2=4轨迹 C2 方程为（x2） 2+（y2） 2=4；（）由方程组 ，解得直线 CD 的方程为 xy1=0，圆 C1 的圆心 C1（0，4）到直线 CD 的距离为 ，圆 C1 的半径为 4，线段 CD 的长为 19 （12 分）如图 1 所示，在 RtABC 中，AC=6 ，BC=3，ABC=90，CD 为ACB 的平分线，点 E 在线段 AC 上，CE=4如图 2 所示，将BCD 沿
27、CD 折起，使得平面 BCD平面 ACD，连接 AB，设点 F 是 AB 的中点（1）求证：DE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点，求三棱锥 BDEG的体积【解答】解：（1）取 AC 的中点 P，连接 DP，因为在 RtABC 中，AC=6，BC=3 ，ABC=90，CD 为ACB 的平分线，所以A=30，ADC 是等腰三角形，所以 DPAC，DP= ，DCP=30，PDC=60，又点 E 在线段 AC 上，CE=4所以 AE=2，EP=1 ，所以EDP=30，EDC=90，EDDC；将BCD 沿 CD 折起，使得平面 BCD平面 ACD，
28、平面 BDC平面 EDC=DCDE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点，G 为 EC 的中点，此时 AE=EG=GC=2，因为在 RtABC 中，AC=6，BC=3，ABC=90，CD 为ACB 的平分线，所以 BD= ，DC= ，所以 B 到 DC 的距离 h= = = ，因为平面 BCD平面 ACD，平面 BDC平面 EDC=DC，所以 B 到 DC 的距离 h 就是三棱锥 BDEG 的高三棱锥 BDEG 的体积：V= = = 20 （12 分）已知点 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，点 P 是准线 l 上的动点，直线 PF 交抛
29、物线 C 于 A，B 两点，若点 P 的纵坐标为 m（m0） ，点 D 为准线 l与 x 轴的交点（）求直线 PF 的方程；（）求DAB 的面积 S 范围；（）设 ， ，求证 + 为定值【解答】解：（）由题知点 P，F 的坐标分别为（ 1，m） ， （1，0） ，于是直线 PF 的斜率为 ，所以直线 PF 的方程为 ，即为 mx+2ym=0 （3 分）（）设 A，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 得 m2x2（2m 2+16）x +m2=0，所以 ，x 1x2=1于是 点 D 到直线 mx+2ym=0 的距离 ，所以 因为 mR 且 m0，于是 S4，所以D
30、AB 的面积 S 范围是（4，+） （9 分）（）由（）及 ， ，得（1x 1，y 1）=（x 21，y 2） ，（1 x1，my 1）=（x 2+1，y 2m） ，于是 ， （x 21） 所以 所以 + 为定值 0 （14 分）21 （12 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面，平面 ABCD平面 ABPE=AB，且 AB=BP=2，AD=AE=1，AEAB ，且 AEBP（）设点 M 为棱 PD 中点，求证： EM平面 ABCD；（）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点 N 的位置；若不存
31、在，请说明理由【解答】 （）证明：平面 ABCD平面 ABEP，平面 ABCD平面ABEP=AB，BPABBP 平面 ABCD，又 ABBC ，直线 BA，BP，BC 两两垂直，以 B 为原点，分别以 BA，BP，BC 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则 P（ 0，2，0） ，B（0，0，0） ，D（2，0，1） ，E（2，1，0） ，C（0，0，1） ，M（ 1，1， ） ， =（ 1，0， ） ， =（0，2，0） BP 平面 ABCD， 为平面 ABCD 的一个法向量， =10+02+ =0， 又 EM平面 ABCD，EM平面 ABCD（）解：当点 N 与点 D 重
32、合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 理由如下： =（ 2，2，1） ， =（ 2，0，0） ，设平面 PCD 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 令 y=1，得 =（0，1 ，2） 假设线段 PD 上存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 的正弦值等于 设 = =（ 2，2，） （0 1 ） ， = + =（2 ，2 2，） |cos ， |= = 9 281=0，解得 =1 或 （舍去） 当 N 点与 D 点重合时，直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定点 F（1，0）的距离与 P到定直线
33、 x=4 的距离之比为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）设点 A、B 是轨迹 C 上两个动点，直线 OA、OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1、B 1，且直线 OA、OB 的斜率之积等于 ，问四边形 ABA1B1 的面积 S 是否为定值？请说明理由【解答】解：（1）设 P（x ，y） ，由题意可得， ，化简得 3x2+4y2=12，所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 （2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，得 ，因为点 A、B 在椭圆 C 上，所以 ， ，所以， = ，化简得 当 x1=x2 时，则四边形 ABA1B1 为矩形，y 2=y1，则 ，由 ，得 ，解得 ， ，S=|AB|A 1B|=4|x1|y1|= ；当 x1x 2 时，直线 AB 的方向向量为 ，直线 AB 的方程为（y 2y1）x（x 2x1）y +x2y1x1y2=0，原点 O 到直线 AB 的距离为 ，所以AOB 的面积 ，根据椭圆的对称性，四边形 ABA1B1 的面积 S=4SAOB =2|x1y2x2y1|，所以，= ，所以 所以，四边形 ABA1B1 的面积为定值
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